Mines Mathématiques 1 PSI 2009Sujet et rapport du jury

Étude spectrale d'un opérateur de transfert

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Présentation du sujet

Difficile

Opérateur de transfert sur les fonctions continues 1-périodiques et propriété du trou spectral

Le sujet étudie, dans l'espace des fonctions continues et 1-périodiques, un opérateur de transfert T, dans le but de mettre en évidence la propriété de « trou spectral ». Il combine algèbre et analyse : après des préliminaires sur les fonctions périodiques et les espaces vectoriels normés, il étudie la stabilité de sous-espaces par T, la diagonalisation d'endomorphismes associés, puis des séries de Fourier et des majorations d'intégrales.

1Partie I : préliminairesPropriétés de base des fonctions continues 1-périodiques et de l'opérateur T.
2Partie II : outils et propriétésStabilité de sous-espaces par un endomorphisme, projection sur une droite parallèlement à un hyperplan, diagonalisation, transformée de Fourier, convergence de séries de fonctions.
3Partie III : restrictions de l'opérateur et trou spectralÉtude de diverses restrictions de l'opérateur T à des sous-espaces invariants pour mettre en évidence la propriété de trou spectral.

Difficile. Les correcteurs ont été surpris par le niveau assez bas des copies, évoquant une « crise » de la moyenne, bien que le sujet ait semblé aisé au premier regard et ait permis à quelques très bonnes copies de le traiter dans sa quasi-totalité.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Diagonalisation d'une matrice 5x5 très mal réussie · Démonstration de l'égalité laissée de côté · Changements de variables mal faits

Le sujet, plein de questions à difficultés plus que raisonnables, semblait aisé au premier regard, mais de nombreux élèves se sont trompés dans les calculs après un changement de variables faux ou une majoration trop hâtive. Les correcteurs signalent un grand manque de rigueur dans les raisonnements et des fautes d'étourderie, avec un niveau des copies jugé préoccupant.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Diagonalisation d'une matrice 5x5 très mal réussieQ6
La question 6, portant sur la diagonalisation d'une matrice 5x5 contenant 22 zéros et trois 1, n'a été résolue correctement par moins de 10 % des candidats.
« seulement moins de 10% de réponses correctes »
2
Démonstration de l'égalité laissée de côtéQ2, Q11
La plupart des candidats démontrent l'inégalité large mais laissent de côté la démonstration de l'égalité, alors qu'il suffisait de prendre une fonction particulière pour l'obtenir.
3
Changements de variables mal faitsQ3
On voit encore souvent des changements de variables mal faits, notamment des bornes d'intégration laissées inchangées.
4
P-stabilité négligéeQ5
La plupart des candidats ont négligé ou oublié d'étudier la P-stabilité des espaces En, alors que la T-stabilité s'apercevait facilement en distinguant les cas k pair et k impair.
5
Découpage de l'intégrale non maîtriséQ16
Il fallait découper l'intégrale en petits morceaux pour appliquer la propriété höldérienne sur des intervalles adaptés, ce qui a échappé à la majorité des candidats.
6
Question sur le trou spectral peu aboutieQ18
La question finale, difficile, a été abandonnée ou survolée très superficiellement par la majorité des candidats, qui n'ont pas réussi à conclure sur l'existence du trou spectral.

Ce qui a été bien réussi

La question 1 a été bien traitée dans l'ensemble.
L'inégalité large de la question 2 a été bien démontrée par la plupart des candidats.
La convergence normale de la série de la question 12 a été bien maîtrisée dans l'ensemble.
La question 14 a été bien traitée, facile en faisant référence aux questions 3 et 10.

Conseils du jury

Bien lire le sujet et prendre le temps de la réflexion, plutôt que de se laisser impressionner par un vocabulaire technique comme opérateur de transfert ou trou spectral.
Bien apprendre le cours : ne pas connaître la définition de la convergence normale ou le calcul des valeurs propres et sous-espaces propres est inadmissible.
Être rigoureux dans les démonstrations et expliquer logiquement les réponses, les formules parachutées étant mal vues.
Répondre clairement à la question posée en évitant le grappillage de points.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2009

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Étude spectrale d'un opérateur de transfert

Soit

V

C

-espace vectoriel et

T

un endomorphisme de

V :

on dira que le complexe

λ

est une valeur propre de

T

s'il existe un élément

f

V

non nul tel que

Tf = λf

Soit

C^0

l'espace des fonctions de

R

dans

C

qui sont continues et 1 -périodiques. Cet espace est normé par

‖f‖_∞ = sup{|f(x)|, x ∈ R}.

On désigne par

e_0

la fonction constante égale à 1 sur tout

R

et par

D

le sous-espace vectoriel de

C^0

engendré par

e_0

f \in C^0

on définit

Tf(x) = 1/2(f(x/2) + f((x + 1)/2))

L'objet du problème est l'étude des propriétés spectrales de diverses restrictions de

T

à des sous-espaces invariants de

C^0

. On mettra notamment en évidence sur certains de ces espaces la propriété de «trou spectral» : il existe

0 < r < 1

tel que les valeurs propres autres que 1 sont de module inférieur ou égal à

r

I Préliminaires

Montrer que si $f$ appartient à $C^0$ alors $Tf$ aussi.
Montrer que pour tout élément $f$ de $C^0$ on a l'inégalité $‖Tf‖_\infty ⩽ ‖f‖_\infty$ puis que

sup_(‖f‖_\infty = 1)‖Tf‖_\infty = 1

On appelle

H^0

l'hyperplan de

C^0

des fonctions

f

telles que

\int_0^1 f(t)dt = 0

Montrer que $H^0$ est stable par $T$ .
Expliciter la projection $P$ sur $D$ parallèlement à $H^0$ .

II Fonctions trigonométriques

Pour tout entier relatif

k

, on note

e_k(x) = e^(2iπkx)

de sorte que

e_k

est continue et 1-périodique, c'est-à-dire que

e_k

appartient à

C^0

. Pour tout entier

n

, on désigne par

E_n

le sous-espace de

C^0

engendré par

e_0, e_1, e_(- 1), \dots, e_n, e_(- n)

.
5) Déterminer

Te_k

(respectivement

Pe_k

) pour tout entier relatif

k

et en déduire que les espaces

E_n

sont

T

-stables (respectivement

P

-stables).

On note

T_n

(respectivement

P_n

) l'endomorphisme de

E_n

induit par

T

(respectivement par

P

).
6) Calculer les valeurs propres de

T_2

. L'endomorphisme

T_2

est-il diagonalisable ?
7) Soit

n \in N^*

k

l'unique entier tel que

2^(k - 1) ⩽ n < 2^k

. Montrer pour tout entier

p ⩾ k

, l'identité suivante :

T_n^p = P_n

Calculer les coefficients de Fourier de $Tf$ en fonction de ceux de $f$ pour tout $f \in C^0$ .
Déterminer le noyau de $T$ .

III Fonctions höldériennes

On rappelle que pour tous les réels

x

y

|e^(ix) - e^(iy)| ⩽ |x - y|

Soit

α \in ]0, 1[

. On appelle

C^α

le sous-espace de

C^0

des fonctions

f

telles que

é{(|f(x) − f(y)|)/(|x − y|^α)/(x, y) ∈ R^2, x ≠ y} soit majoré.

On notera alors

m_α(f) = sup{(|f(x) − f(y)|)/(|x − y|^α)/(x, y) ∈ R^2, x ≠ y}.

On admettra que

‖f‖_α = m_α(f) + ‖f‖_\infty

définit une norme sur

C^α

.
10) Montrer que

C^α

est stable par

T

On note

T_α

l'endomorphisme de

C^α

induit par

T

.
11) Montrer que pour tout

f \in C^α, ‖T_α f‖_α ⩽ ‖f‖_α

puis que

sup_(‖f‖_α = 1)‖T_α f‖_α = 1

Soit

λ

un nombre complexe de module strictement inférieur à 1 . On pose, pour tout réel

x

S_n(x) = \sum_(k = 0)^n λ^k e_(2^k)(x)

Montrer que la série de fonctions $\sum_k λ^k e_(2^k)$ converge normalement sur $R$ vers une fonction $f_λ \in C^0$ .

On admettra, que dans ce cas, la suite (

S_n, n ⩾ 0

) converge dans l'espace vectoriel

(C^0, ‖‖_\infty)

vers

f_λ

lim_(n \to + \infty)‖S_n - f_λ‖_\infty = 0

Montrer qu'alors $Tf_λ = λf_λ$ . Est-ce que $λ$ est une valeur propre de $T$ ?
Soit maintenant $λ$ tel que $|λ| ⩽ 2^(- α)$ et deux réels $x$ et $y$ tels que

2^(- n - 1) < |x - y| ⩽ 2^(- n)

En considérant séparément les sommes avec

k ⩽ n

k > n

dans la série ayant pour valeur

f_λ(x) - f_λ(y)

, montrer que

f_λ \in C^α

.
15) Montrer que

T_α

laisse invariant

H^α = H^0 \cap C^α

.
16) Soit

f \in C^0

, montrer que

T^n f(x) = 2^(- n)\sum_(k = 0)^(2^n - 1)f(k2^(- n) + x2^(- n))

Établir, pour $f \in C^α$ , l'inégalité suivante :

sup_(x \in [0, 1])|T_α^n f(x) - \int_0^1 f(t)dt| ⩽ 2^(- nα)m_α(f)

Montrer que si $f \in H^α$ alors pour tout entier $n$ , l'inégalité suivante est vérifiée :

‖T_α^n f‖_α ⩽ 2^(1 - nα)‖f‖_α

En déduire que l'ensemble des valeurs propres de $T_α$ est la réunion du singleton ${1}$ et du disque fermé de centre 0 et de rayon $2^(- α)$ (phénomène de trou spectral).

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte mines maths 1 PSI 2009 ?

Le sujet porte sur les fonctions continues 1-périodiques, la stabilité de sous-espaces par un endomorphisme, la diagonalisation, les séries de Fourier et la convergence de séries de fonctions.

Ce sujet mines maths 1 PSI 2009 est-il difficile ?

Le rapport indique que le sujet, bien que semblant aisé au premier regard, a donné lieu à un niveau de copies jugé inquiétant par les correcteurs, avec une question de diagonalisation réussie par moins de 10 % des candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur mines maths 1 PSI 2009 ?

Des changements de variables mal faits, une P-stabilité souvent négligée, et une diagonalisation d'une matrice 5x5 très mal maîtrisée, avec un manque général de rigueur dans les démonstrations.

Qu'est-ce que la propriété de trou spectral dans mines maths 1 PSI 2009 ?

C'est la propriété étudiée dans la troisième partie du sujet, mise en évidence à travers l'étude de restrictions de l'opérateur de transfert T à des sous-espaces invariants ; la question finale qui y conduit a été un vrai casse-tête pour l'ensemble des candidats.

Pas de description pour le moment

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