X ENS Mathématiques PSI 2002Sujet et corrigé

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Pour tout entier m ∈ ℕ, on note C^m(ℝ; ℂ) l'espace vectoriel des fonctions de classe C^m sur ℝ à valeurs complexes. Soit T un réel strictement positif. On définit l'espace vectoriel E_0 par

et pour k ∈ ℕ,

On munit l'espace vectoriel E_0 du produit scalaire hermitien ( ⋅ | ⋅ ) et des normes ‖ ⋅ ‖_1, ‖ ⋅ ‖_2 et ‖ ⋅ ‖_∞ définies comme suit :

Etant donné g ∈ E_0, on pose pour tout f ∈ E_0 et x ∈ ℝ,

Le but de ce problème est d'étudier les propriétés de l'opérateur A_g : f ↦ A_g f défini sur E_0 en fonction de la régularité et de l'intégrabilité de g.

I. 1 Soit g ∈ E_0 à valeurs réelles, telle qu'en tout point x_0, g soit continue à droite ou continue à gauche. On suppose que pour toute fonction f dans E_0 à valeurs réelles satisfaisant f ≥ 0, on a .A_g f ≥ 0. Montrer que g ≥ 0.
I. 2 Montrer que si (f, g) ∈ E_0 × E_0, alors A_g f = A_f g.
I. 3 Soit y_0 ∈ E_0 définie sur [0, T] par g_0(t) = 1 si t ∈ [0, T/2[, et g_0(t) = 0 si t ∈ [T/2, T[. Soit f ∈ E_0, et f~ définie sur ℝ par

I.3.1 Exprimer A_(g_0)f à l'aide de la fonction f¯.
I.3.2 Montrer que A_(90)f appartient à F_0.
I. 4 Montrer que si (f, g) ∈ E_0 × E_0, alors A_g f ∈ F_0.
I. 5 Etude des propriétés de régularité de A_g f :
1.5.1 Soient k ∈ ℕ, g ∈ F_k et f ∈ F_0. Montrer que A_g f ∈ F_k.
1.5.2 Soient (k, ℓ) ∈ ℕ^2, g ∈ F_k et f ∈ F_ℓ. Montrer que A_g f ∈ F_(k + ℓ).
I. 6 Etant donnée f ∈ E_0, on introduit ses coefficients de Fourier

Montrer que pour (f, g) ∈ E_0 × E_0, on a

I. 7 Soit g ∈ E_0 et λ ∈ ℂ∖{0} donnés.
I.7.1 Montrer que Card {n ∈ ℤ, c_n(g) = λ} est fini.
I.7.2 A_g étant considéré comme un endomorphisme de E_0, montrer que Ker(A_g − λI_(E_0)) est de dimension finie.
I.7.3 Soit V un sous-espace vectoriel de E_0 de dimension finie, stable par A_g, tel que la restriction A_g|_V de A_g à V soit diagonalisable. Caractériser V.
I. 8 Existe-t-il g ∈ F_0 tel que A_g|F_0 soit bijective de F_0 sur F_0 ?
I. 9 Soit g ∈ E_0. Montrer que

Dans cette partie, on étudie les propriétés de la famille (A_(k_ε))_(ε ∈ [0, T/2]) d'endomorphismes de E_0, où k_E ∈ E_0 est la fonction à valeurs réelles impaire satisfaisant

On introduit la suite (α_n)_(n ∈ ℕ) définie par

II. 1 Calculer la norme

et en déterminer un équivalent lorsque ε tend vers 0 .
II. 2 Soit f ∈ F_1 et p_0 ∈ ℕ tel que p_0 > 2/T.

Pour tout p ∈ ℕ tel que p ≥ p_0, on note

Montrer que (Φ_p)_(p ≥ p_0) converge uniformément sur [0, T] (on note Af sa limite). Montrer que A est une application linéaire de F_1 dans F_0.
II. 3 Etant donnée f ∈ F_1, calculer les coefficients de Fourier de Af en fonction des α_n, n ∈ ℕ, et des coefficients de Fourier de f.
II. 4 Etude de la suite (α_n)_(n ∈ ℕ) :
II.4.1 Montrer que la suite (α_(2n))_(n ∈ ℕ) est croissante, puis que (α_(2n + 1))_(n ∈ ℕ) est décroissante.
II.4.2 Montrer l'existence de ℓ > 0 tel que (α_n)_(n ∈ ℕ) converge vers ℓ lorsque n tend vers + ∞.
II.4.3 En déduire que

II. 5 Calculer

II. 6 Soit f ∈ E_0. Constuire une suite (f_n)_(n ∈ ℕ) d'éléments de F_1 telle que (f_n)_(n ∈ ℕ) converge vers f en movenne quadratique dans E_0 et

Peut-on en déduire un résultat de convergence en moyenne quadratique pour la suite (Af_n)_(n ∈ ℕ) ?