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Mines Mathématiques 1 PSI 2010Sujet et rapport du jury

Théorème de la limite centrale

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Présentation du sujet

Difficile
Démonstration d'une version allégée du théorème de la limite centrale
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Le problème vise à démontrer une version allégée du théorème de la limite centrale, résultat bien connu en probabilités, en utilisant des outils d'analyse : intégrales généralisées, théorèmes de domination et majorations. Il s'appuie sur l'étude d'opérateurs de convolution appliqués à des suites de fonctions convergeant faiblement.

  1. 1Partie I : préliminairesÉtablir des propriétés de base sur les espaces de fonctions utilisés dans le problème.
  2. 2Partie II : une classe d'opérateurs sur C0(R)Étudier des opérateurs de convolution définis sur l'espace des fonctions continues tendant vers 0 en l'infini.
  3. 3Partie III : lois normalesÉtudier des propriétés des lois normales, dont l'espérance et la variance.
  4. 4Partie IV : convergence faible sur P(R)Établir progressivement le théorème de la limite centrale à l'aide de suites de fonctions convergeant faiblement.

Difficile. Le rapport qualifie l'ensemble des résultats obtenus de « un peu décevant », avec peu de très bonnes copies malgré un nombre significatif de bonnes copies.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Confusion sur la convergence d'une intégrale à l'infini · Domination globale au lieu d'une domination locale · Justification par interversion des limites non démontrée
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Le jury relève une très mauvaise interprétation par un grand nombre de candidats de la notion de convergence d'une intégrale à l'infini, ce qui conduit à un excès de mauvaises copies. Les résultats intermédiaires admis dans l'énoncé ont été mal exploités par de nombreux candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion sur la convergence d'une intégrale à l'infiniQ1

    De nombreux candidats affirment par exemple qu'une fonction tendant vers 0 en l'infini est intégrable, ou qu'une fonction constante non nulle est intégrable sur R.

  2. 2
    Domination globale au lieu d'une domination localeQ12

    La majorité des candidats se contentent d'une domination globale inexacte, alors qu'il fallait introduire une domination locale sur les segments.

  3. 3
    Justification par interversion des limites non démontréeQ14

    Dire « par interversion des limites » n'est pas considéré comme une démonstration par le jury.

    « Dire "par interversion des limites" n'est pas une démonstration »
  4. 4
    Méconnaissance des développements limités d'ordre 2Q17

    Plusieurs candidats tentent de grappiller des points sur la première partie de la question 17 mais méconnaissent les développements limités d'ordre 2.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 4 et 5 sont dans l'ensemble traitées correctement.
  • La récurrence de la question 7 est correctement présentée par la majorité des candidats.
  • L'espérance et la variance de la question 8 sont souvent bien calculées.

Conseils du jury

  • Analyser et résoudre par blocs les questions très comparables plutôt qu'une à une.
  • Écrire en détail l'énoncé d'un théorème utilisé, ce qui guide la démarche.
  • Toujours citer avec précision le numéro de la question d'un résultat antérieur utilisé.
  • Éviter de donner un résultat sec ou de paraphraser l'énoncé sans démonstration.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2010

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : trois heures)Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Théorème de la Limite Centrale.

Notations

On introduit les trois espaces vectoriels sur ℝ de fonctions suivants
  • C_0(ℝ), l'espace des fonctions continues u de ℝ dans ℝ telles que
lim_(x → − ∞)u(x) = 0 = lim_(x → + ∞)u(x).
On rappelle qu'une telle fonction u est nécessairement bornée sur ℝ.
  • C_0^∞(ℝ), l'espace des fonctions continues et de classe C^∞ (sur ℝ ) u de ℝ dans ℝ telles que
∀k ∈ ℕ, lim_(x → − ∞)u^((k))(x) = 0 = lim_(x → + ∞)u^((k))(x)
On a noté u^((k)) la dérivée k-ième de u.
  • P(ℝ), l'espace des fonctions continues positives bornées de ℝ dans ℝ dont l'intégrale sur ℝ est égale à 1 .
    On munit C_0(ℝ) de la norme de la convergence uniforme ‖‖_∞ : plus précisément, pour toute fonction u ∈ C_0(ℝ), on pose
‖u‖_∞ = sup_(x ∈ ℝ)|u(x)|.
On pourra utiliser librement le théorème de Fubini admis ci-dessous :
Théorème 1. (Fubini) Soit ( x, y ) ↦ F(x, y) une fonction continue de ℝ × ℝ dans ℝ. On suppose que F vérifie les trois propriétés suivantes.
1] Pour tous réels x, y, les deux intégrales ∫_(− ∞)^(+ ∞)|F(v, y)|dv et ∫_(− ∞)^(+ ∞)|F(x, t)|dt convergent.
2] Les fonctions y ↦ ∫_(− ∞)^(+ ∞)|F(x, y)|dx, x ↦ ∫_(− ∞)^(+ ∞)|F(x, y)|dy, y ↦ ∫_(− ∞)^(+ ∞)F(x, y)dx, x ↦ ∫_(− ∞)^(+ ∞)F(x, y)dy sont toutes continues sur ℝ.
3] y ↦ ∫_(− ∞)^(+ ∞)|F(x, y)|dx est intégrable sur ℝ, c'est à dire que l'intégrale :
∫_(− ∞)^(+ ∞)(∫_(− ∞)^(+ ∞)|F(x, y)|dx)dy
converge.
Alors dans ce cas, y ↦ ∫_(− ∞)^(+ ∞)F(x, y)dx et x ↦ ∫_(− ∞)^(+ ∞)F(x, y)dy sont intégrables sur ℝ, et leurs intégrales sur ℝ sont égales. Autrement dit, on peut intervertir les deux intégrales :
∫_(− ∞)^(+ ∞)(∫_(− ∞)^(+ ∞)F(x, y)dx)dy = ∫_(− ∞)^(+ ∞)(∫_(− ∞)^(+ ∞)F(x, y)dy)dx

I. Préliminaires

Pour f et g appartenant respectivement à P(ℝ) et C_0(ℝ), on définit le produit de convolution f∗g par la formule
∀x ∈ ℝ, f∗g(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t)g(x − t)dt
On définit f∗g(x) par la même formule si f ∈ C_0(ℝ) et g ∈ P(ℝ).
Q1 Soient f ∈ P(ℝ) et g ∈ C_0(ℝ). Montrer que l'intégrale ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t)g(x − t)dt converge pour tout réel x. Puis montrer que f∗g définit une fonction continue sur ℝ. (On pourra utiliser le théorème de continuité sous le signe ∫ et on vérifiera avec soin que les conditions de validité sont remplies). Vérifier de plus que
∀x ∈ ℝ, f∗g(x) = g∗f(x)
Q2 Montrer que lim_(x → + ∞)f∗g(x) = 0. (On considèrera une suite réelle quelconque (x_n)_(n ∈ ℕ) tendant vers + ∞. On vérifiera avec soin qu'on peut appliquer le théorème de convergence dominée pour étudier lim_(n → + ∞)f∗g(x_n) ). Montrer de même que
lim_(x → − ∞)f∗g(x) = 0
Q3 Soient f et g appartenant à P(ℝ). Montrer alors que f∗g définit une fonction de P(ℝ). Plus précisément, montrer que f∗g définit une fonction continue sur ℝ, bornée, positive et d'intégrale égale à 1 . (On appliquera le théorème de Fubini à la fonction (x, y) ↦ f(y)g(x − y) et on pourra se contenter de ne vérifier que les conditions 1] et 3]).
Dans la suite on admettra et utilisera librement le résultat suivant. Si f et g appartiennent à P(ℝ) et u est une fonction de C_0(ℝ) alors,
f∗(g∗u) = (f∗g)∗u
Soient f_1, …, f_n des fonctions de P(ℝ). On définit alors le produit de convolution f_1∗…∗f_n par récurrence comme suit :
f_1∗…∗f_k = (f_1∗…∗f_(k − 1))∗f_k, ∀k ∈ {3, …, n}.
Il est clair que f_1∗…∗f_n est une fonction de P(ℝ).
Dans la suite, on notera f^(∗n) la fonction f∗…∗f, la fonction f intervenant n fois.

II. Une classe d'opérateurs sur C_0(ℝ)

Soit f une fonction de P(ℝ). On lui associe l'opérateur T_f agissant sur C_0(ℝ) défini pour tout u ∈ C_0(ℝ) par
T_f(u) = f∗u
D'après Q1 et Q2, T_f définit un endomorphisme de C_0(ℝ).
Q4 Soit f une fonction de P(ℝ). Prouver que pour tout u ∈ C_0(ℝ),
‖T_f(u)‖_∞ ≤ ‖u‖_∞
Q5 Soient f et g deux fonctions de P(ℝ). Prouver que pour toute fonction u de C_0(ℝ),
T_f T_g(u) = T_g T_f(u)
où T_f T_g désigne la composée des opérateurs T_f et T_g.
Q6 Soient f_1, f_2, g_1, g_2 des fonctions de P(ℝ). Prouver que pour tout u ∈ C_0(ℝ),
‖T_(f_1)T_(f_2)(u) − T_(g_1)T_(g_2)(u)‖_∞ ≤ ‖T_(f_1)(u) − T_(g_1)(u)‖_∞ + ‖T_(f_2)(u) − T_(g_2)(u)‖_∞
Q7 Soient f et g des fonctions de P(ℝ). Prouver que si u ∈ C_0(ℝ), alors pour tout n ∈ ℕ^∗,
‖(T_f)^n(u) − (T_g)^n(u)‖_∞ ≤ n‖T_f(u) − T_g(u)‖_∞.

III. Lois normales

On introduit pour tout réel h > 0, la fonction
g_h(x) = 1/(h√(2π))e^(− (x^2)/(2h^2)), x ∈ ℝ
dite loi normale de paramètre h. On admet que g_1 est une fonction de P(ℝ).
Q8 Pour tout réel h > 0, montrer que g_h est une fonction de P(ℝ), puis calculer les deux intégrales suivantes :
∫_(− ∞)^(+ ∞)xg_h(x)dx, ∫_(− ∞)^(+ ∞)x^2 g_h(x)dx
Soient h_1 > 0 et h_2 > 0 deux réels strictement positifs. On admettra que:
g_(h_1)∗g_(h_2) = g_h,
où h = √(h_1^2 + h_2^2).
Q9 Soit h > 0. Etablir les deux égalités suivantes entre opérateurs :
∀n ∈ ℕ^∗, T_(g_h) = (T_(g_(h/(√n))))^n = T_((g_(h/(√n)))^(∗n))

IV. Convergence faible sur P(ℝ)

Définition : Soit (f_n)_(n ∈ ℕ) une suite de fonctions de P(ℝ). On dira que (f_n) converge faiblement vers f, f étant une fonction de P(ℝ), si pour toute fonction u de C_0(ℝ),
lim_(n → + ∞)‖T_(f_n)(u) − T_f(u)‖_∞ = 0
Soit u une fonction de C_0(ℝ). On fixe un réel h > 0 et on considère la fonction T_(g_h)(u) : ℝ → ℝ définie pour x réel par :
(g_h∗u)(x) = T_(g_h)(u)(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)g_h(t)u(x − t)dt = ∫_(− ∞)^(+ ∞)g_h(x − t)u(t)dt
où g_h a été défini au début de la partie III.
Q10 Soit h strictement positif fixé et k ∈ ℕ. Démontrer qu'il existe un polynôme P_(k, h) dont on précisera le degré tel que :
∀x ∈ ℝ, ((d^k)/(dx^k)g_h)(x) = P_(k, h)(x)e^(− (x^2)/(2h^2))
Q11 Soient h, a ∈ ℝ^(+ ∗) et k un entier positif ou nul. Prouver qu' il existe une fonction φ_k : ℝ → [0, + ∞[ continue par morceaux et intégrable sur ℝ telle que :
∀x ∈ [ − a, a], ∀t ∈ ℝ, |P_(k, h)(x − t)e^(− ((x − t)^2)/(2h^2))| ≤ φ_k(t)
La fonction φ_k ne dépend que de h, a et k. (On pourra majorer |P_(k, h)(x − t)e^(− ((x − t)^2)/(4h^2))| indépendamment de (x − t). Ensuite on pourra majorer convenablement e^(− ((x − t)^2)/(4h^2)) pour |t| ≥ 2a et x ∈ [ − a, a]).
Q12 Soient h strictement positif fixé et u ∈ C_0(ℝ). Démontrer que T_(g_h)(u) est une fonction de classe C^1 sur ℝ. Puis montrer que T_(g_h)(u) est de classe C^∞ sur ℝ.
Q13 Pour h strictement positif fixé et u ∈ C_0(ℝ), démontrer que T_(g_h)(u) est une fonction de C_0^∞(ℝ).
Q14 Soit α un réel strictement positif. Déterminer lim_(h → 0^+)∫_(− ∞)^(− α)g_h(t)dt et lim_(h → 0^+)∫_α^(+ ∞)g_h(t)dt. Q15 Soit u ∈ C_0(ℝ). Prouver que
lim_(h → 0^+)‖T_(g_h)(u) − u‖_∞ = 0
Pour cela on utilisera la question précédente ainsi que le résultat admis suivant, valable pour tout u ∈ C_0(ℝ) :
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x, y ∈ ℝ, |x − y| ≤ α ⇒ |u(x) − u(y)| ≤ ε
Q16 Soit (f_n)_(n ∈ ℕ) une suite de fonctions de P(ℝ) et f une fonction de P(ℝ). On suppose que pour toute fonction u de C_0^∞(ℝ),
lim_(n → + ∞)‖T_(f_n)(u) − T_f(u)‖_∞ = 0
Prouver alors que ( f_n ) converge faiblement vers f. (On pourra utiliser les questions 4 et 15).
Dans la suite, f est une fonction de P(ℝ) telle que x → x^2 f(x) est aussi dans P(ℝ). On admet que l'intégrale ∫_(− ∞)^(+ ∞)tf(t)dt converge et on supposera que ∫_(− ∞)^(+ ∞)tf(t)dt = 0. Pour tout n entier strictement positif, on introduit les deux fonctions f_n et f_n^# définies par:
∀x ∈ ℝ, f_n(x) = √nf(√nx), f_n^#(x) = nx^2 f_n(x).
On admettra que f_n et f_n^# appartiennent à P(ℝ).
Q17 Soit x ∈ ℝ et u ∈ C_0^∞(ℝ). Vérifier que t → (u(x − t) − u(x) + tu^′(x))/(t^2) se prolonge continûment en t = 0. Puis montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗ on a :
n(T_(f_n)(u)(x) − u(x)) − 1/2u^(′′)(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)((u(x − t) − u(x) + tu^′(x))/(t^2) − 1/2u^(′′)(x))f_n^#(t)dt,
où u^′ désigne la dérivée première de u et u^(′′) désigne la dérivée seconde de u.
Q18 Démontrer que pour toute fonction u de C_0^∞(ℝ),
lim_(n → + ∞)‖n(T_(f_n)(u) − u) − 1/2u^(′′)‖_∞ = 0
(On pourra considérer les trois intégrales ∫_(− ∞)^(− α), ∫_(− α)^α et ∫_α^(+ ∞), avec α > 0 bien choisi, dans le second membre de la formule de la question précédente).
Q19 Montrer que pour toute fonction u de C_0^∞(ℝ),
lim_(n → + ∞)‖T_(f_n)^n(u) − T_(g_1)(u)‖_∞ = 0
où g_1 a été définie au début de la partie III. (On pourra utiliser les questions 7,9 et 18). Conclure que la suite (f_n^(∗n)) converge faiblement vers g_1; on rappelle que la notation f^(∗n) a été définie juste après la question 3.

FIN DU PROBLÈME.

Ce dernier résultat intervient en théorie des probabilités. Il constitue une version faible du théorème de la limite centrale dans le cas de variables aléatoires à densité de probabilité f continue bornée sur ℝ.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 PSI Mines 2010 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 PSI Mines 2010 ?

Le sujet porte sur les intégrales généralisées, les théorèmes de convergence dominée, la convolution de fonctions et les lois normales, dans le cadre d'une démonstration du théorème de la limite centrale.

Le sujet de maths 1 PSI Mines 2010 est-il difficile ?

Le jury le décrit comme un sujet correctement échelonné mais dont les résultats obtenus par les candidats sont un peu décevants, en particulier à cause de la notion de convergence d'une intégrale à l'infini.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 PSI 2010 ?

Le jury signale surtout une mauvaise compréhension de la convergence des intégrales à l'infini, ainsi que l'usage de dominations globales incorrectes et de justifications non démontrées comme « par interversion des limites ».

Faut-il connaître le théorème de la limite centrale pour ce sujet de maths 1 PSI 2010 ?

Le sujet démontre lui-même une version allégée du théorème, il ne demande donc pas de le connaître au préalable, mais une bonne maîtrise des intégrales généralisées et des théorèmes de domination.

Pas de description pour le moment