Mines Mathématiques 2 PSI 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

Équation de la chaleur en dimension 2

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Présentation du sujet

Difficile

Résolution de l'équation de la chaleur en dimension 2 par séries de Fourier à deux variables

Le problème porte sur la résolution de l'équation de la chaleur en dimension 2, à travers le calcul différentiel et intégral et les séries de Fourier. Une première partie étudie les séries de Fourier à deux variables, avec convergence, continuité et dérivabilité, avant une seconde partie d'application à l'équation de la chaleur.

1Partie I : série de Fourier à deux variablesÉtude de la convergence, de la continuité et de la dérivabilité d'une série de Fourier à deux variables.
2Partie II : applicationApplication des résultats précédents à la résolution de l'équation de la chaleur en dimension 2.

Difficile. Le rapport qualifie la prestation moyenne des candidats de décevante et décrit un effet « tout ou rien » où les candidats réussissent soit beaucoup de questions, soit très peu.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Continuité sous le signe somme mal justifiée · Simulacre de démonstration de convergence normale · Définition personnelle de la convergence d'une série double

Le problème demandait une maîtrise approfondie du programme et des théorèmes de cours (convergence dominée, Parseval, intégration terme à terme), souvent mal connus ou mal appliqués. Les prestations sont globalement décevantes, les candidats négligeant les justifications et appliquant abusivement des théorèmes valables pour une variable à des fonctions de deux variables.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Continuité sous le signe somme mal justifiéeQ1
Pour appliquer le théorème de continuité par rapport à chaque variable, il faut remarquer que les intervalles d'intégration sont compacts, ce qui n'est pas toujours fait.
« il faut remarquer que les intervalles d’ intégration sont compacts, ce qui n’est pas toujours »
2
Simulacre de démonstration de convergence normaleQ2
Certains candidats considèrent un réel y qui rendrait maximaux tous les termes de la suite, ce qui ne constitue pas une démonstration valide.
« on considère un réel y qui rendrait maximaux tous les »
3
Définition personnelle de la convergence d'une série doubleQ4
De nombreux candidats inventent leur propre définition, différente de celle donnée par l'énoncé.
« inventent leur définition personnelle, différente de celle de l’énoncé. »
4
Continuité en x et en y confondue avec continuité par rapport au coupleQ5
Démontrer la continuité séparément par rapport à chaque variable n'entraîne pas la continuité par rapport au couple (x,y).
« mais ceci n’entraîne pas la continuité par rapport au couple »
5
Théorème de dérivation terme à terme mal connuQ6
Beaucoup de candidats pensent à tort qu'une série normalement convergente de fonctions dérivables est automatiquement dérivable.
« une série normalement convergente de fonctions dérivables est dérivable. »

Ce qui a été bien réussi

Le théorème de Parseval est à peu près correctement utilisé en général, avec ses hypothèses rappelées, à la question 1.
Certains candidats ont su donner la solution correcte de la question 8 en reliant les coefficients de Fourier de u et v.
La question 14, indépendante, a été traitée par de nombreux candidats et témoigne d'un bon travail de préparation.

Conseils du jury

Énoncer précisément tout théorème utilisé et vérifier explicitement que ses hypothèses sont satisfaites.
Ne jamais utiliser dans une démonstration l'objet mathématique dont on doit encore prouver l'existence.
Rédiger avec qualité les questions que l'on sait traiter plutôt que de vouloir aborder la totalité du problème.
Se méfier des théorèmes valables pour une variable et vérifier leur adaptation exacte au cas de deux variables.
Prendre le temps de réfléchir avant de rédiger, puis de se relire.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.

ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2008

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Équation de la chaleur en dimension 2

Dans ce qui suit, on dira qu'une fonction de plusieurs variables est de classe

𝒞^\infty

si elle admet des dérivées partielles de tous ordres et si toutes ces dérivées partielles sont continues.

Définition 1. Soit

(a_n)_(n \in Z)

une suite de réels positifs indexée par

Z

. La série de terme général (

a_n, n \in Z

) est convergente lorsque les séries

\sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n et \sum_(n = 1)^(+ \infty)a_(- n)

sont convergentes. On a alors

\sum_(n \in Z)a_n = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n + \sum_(n = 1)^(+ \infty)a_(- n)

Définition 2. Soit

(a_(m, n))_((m, n) \in Z^2)

une suite double (indexée par

Z^2

) de nombres complexes telle que la série

\sum_(n \in Z)(\sum_(m \in Z)|a_(m, n)|)[ respectivement \sum_(m \in Z)(\sum_(n \in Z)|a_(m, n)|)]

converge. On admet alors que la série

\sum_(m \in Z)(\sum_(n \in Z)|a_(m, n)|)[ respectivement \sum_(n \in Z)(\sum_(m \in Z)|a_(m, n)|)]

converge également. On dira alors que la série double

\sum_(m, n \in Z)a_(m, n)

est sommable. En outre, on a :

\sum_(n \in Z)(\sum_(m \in Z)a_(m, n)) = \sum_(m \in Z)(\sum_(n \in Z)a_(m, n)).

La valeur commune de ces deux nombres complexes sera notée

\sum_(m, n \in Z)a_(m, n)

et appelée somme de la série double

\sum_(m, n \in Z)a_(m, n)

Pour

u

fonction bornée de

R^2

dans

C

, on note

‖u‖_\infty = sup_(x, y)|u(x, y)|.

Soit (

u_n(x, y), n \in Z

) une suite de fonctions bornées de

R^2

dans

C

.
Définition 3. La série de terme général (

u_n(x, y), n \in Z

) est dite normalement convergente sur

R^2

lorsque la série de terme général (

‖u_n‖_\infty, n \in Z

) est convergente.

On admet le théorème suivant :
Théorème 1. Si
a) pour tout entier relatif

n, u_n

est continue sur

R^2

,
b) et la série de terme général (

u_n(x, y), n \in Z

) est normalement convergente alors la fonction u définie par

u(x, y) = \sum_(n \in Z)u_n(x, y)

est continue sur

R^2

I Série de Fourier à deux variables

Dans les questions 1 à

9, u

est une fonction de classe

𝒞^\infty

sur

R^2

, à valeurs complexes et doublement

2π

-périodique, c'est-à-dire que pour tous les entiers relatifs

k, l

et tout couple de réels

(x, y)

, on a :

u(x, y) = u(x + 2kπ, y + 2lπ).

On pose pour chaque couple d'entiers relatifs

(m, n)

a_(m, n)(u) = 1/(4π^2)\int_0^(2π)\int_0^(2π)u(x, y)e^(- imx)e^(- iny) dx dy.

Pour tout entier relatif

m

, on introduit la fonction

u_m

définie pour tout réel

y

, par

u_m(y) = 1/(2π)\int_0^(2π)u(x, y)e^(- imx) dx.

Montrer, pour tout entier relatif $m$ , que $u_m$ est $2π$ -périodique, continue sur $R$ et que l'on a la relation suivante:

\int_0^(2π)|u_m(y)|^2 dy = 2π\sum_(n \in Z)|a_(m, n)(u)|^2.

Pour tout réel $y$ , établir l'identité

\sum_(m \in Z)|u_m(y)|^2 = 1/(2π)\int_0^(2π)|u(x, y)|^2 dx.

Prouver que la série double

\sum_(m \in Z)\sum_(n \in Z)|a_(m, n)(u)|^2

converge et établir l'identité

\sum_(m \in Z)\sum_(n \in Z)|a_(m, n)(u)|^2 = 1/(4π^2)\int_0^(2π)\int_0^(2π)|u(x, y)|^2 dx dy

On suppose maintenant, que pour tous les entiers positifs

k

l

, la suite double

(|a_(m, n)(u)|(1 + |m|)^k(1 + |n|)^l)_((m, n) \in Z^2)

est bornée.
4. Prouver que pour tout couple de réels

(x, y)

, la série double suivante est sommable :

\sum_(m \in Z)\sum_(n \in Z)a_(m, n)(u)e^(imx + iny)

On pose alors

v(x, y) = \sum_(m \in Z)\sum_(n \in Z)a_(m, n)(u)e^(imx + iny)

Prouver que $v$ ainsi définie est continue.
Démontrer que $v$ est de classe $𝒞^\infty$ sur $R^2$ et que pour tout couple ( $k, l$ ) d'entiers naturels :

(\partial^(k + l)v)/(\partialx^k\partialy^l)(x, y) = \sum_(m \in Z)\sum_(n \in Z)(im)^k(in)^l a_(m, n)(u)e^(imx + iny)

Soit un réel $y$ . Montrer que pour tout entier relatif $k$ ,

1/(2π)\int_0^(2π)v(x, y)e^(- ikx) dx = \sum_(n \in Z)a_(k, n)(u)e^(iny)

Pour tout couple ( $k, l$ ) d'entiers relatifs, calculer $a_(k, l)(v)$ .
En déduire que $u = v$ .

II Application

Soit

u_0(x, y)

une fonction de classe

𝒞^\infty

sur

R^2

à valeurs complexes et doublement

2π

-périodique. On cherche à déterminer l'existence et l'unicité d'une fonction

u(t, x, y)

a) continue sur

[0, + \infty[ \times R^2

,
b) doublement

2π

-périodique en

(x, y)

,
c) de classe

𝒞^\infty

sur

R_+^* \times R^2

d) et dont toutes les dérivées partielles en (

t, x, y

) admettent un prolongement continu à

[0, + \infty[ \times R^2

,
e) qui soit solution du problème suivant :

\forall(x, y) \in R^2, u(0, x, y) = u_0(x, y), et; \forall(t, x, y) \in R_+^* \times R^2, (\partialu)/(\partialt)(t, x, y) - (\partial^2 u)/(\partialx^2)(t, x, y) - (\partial^2 u)/(\partialy^2)(t, x, y) = 0.

Pour tout couple d'entiers relatifs ( $m, n$ ), exprimer $a_(m, n)((\partialu_0)/(\partialx))$ en fonction de $a_(m, n)(u_0)$ .
Démontrer, pour tous les entiers naturels $k$ et $l$ , que la suite double

(|a_(m, n)(u_0)|(1 + |m|)^k(1 + |n|)^l)_((m, n) \in Z^2)

est bornée.
12. Construire une fonction

u

qui soit solution du problème posé.

Indication : on pourra chercher

u

sous la forme

u(t, x, y) = \sum_(m \in Z)\sum_(n \in Z)φ_(m, n)(t)α_(m, n)e^(imx + iny)

Soit

u(t, x, y)

une solution du problème précédent. Pour

t

réel positif, on pose

E_u(t) = 1/2\int_0^(2π)\int_0^(2π)| u(t,, x, y)|^2 dx dy; + \int_0^t(\int_0^(2π)\int_0^(2π)|(\partialu)/(\partialx)(s, x, y)|^2 + |(\partialu)/(\partialy)(s, x, y)|^2 dx dy)ds

Montrer que la fonction $E_u$ est continue sur $R^+$ et dérivable sur $R_+^*$ . Exprimer sa dérivée sous forme d'une intégrale sur $[0, 2π]^2$ .
Pour tout ( $t, x, y$ ) appartenant à $R_+^* \times R^2$ , établir l'identité suivante :

((\partialu)/(\partialx)(\partialu¯)/(\partialx) + (\partialu)/(\partialy)(\partialu¯)/(\partialy), + u/2(\partialu¯)/(\partialt) + (u¯)/2(\partialu)/(\partialt))(t, x, y); = 1/2(\partial/(\partialx)(u(\partialu¯)/(\partialx) + u¯(\partialu)/(\partialx)) + \partial/(\partialy)(u(\partialu¯)/(\partialy) + u¯(\partialu)/(\partialy)))(t, x, y)

Prouver que $E_u(t) = E_u(0)$ pour tout $t ⩾ 0$ .
Montrer que le problème posé possède au plus une solution.

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de Mathématiques II Mines PSI 2008 ?

Le sujet porte sur la résolution de l'équation de la chaleur en dimension 2, à travers l'étude des séries de Fourier à deux variables.

Ce sujet de Mathématiques II Mines PSI 2008 est-il difficile ?

Le rapport qualifie la prestation moyenne des candidats de décevante, avec un effet tout ou rien selon la maîtrise des théorèmes de convergence et d'intégration.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines Maths II PSI 2008 ?

Le jury relève des démonstrations de convergence normale non rigoureuses, une définition personnelle de la convergence d'une série double, et une confusion entre continuité séparée et continuité par rapport au couple de variables.

Faut-il bien connaître son cours pour ce sujet Mines Maths II PSI 2008 ?

Oui, le rapport insiste sur la nécessité de connaître précisément les énoncés des théorèmes du programme (convergence dominée, Parseval, intégration terme à terme) et de vérifier leurs hypothèses.

Pas de description pour le moment

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