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Mines Physique 1 PSI 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Mécanique des systèmes : problème à deux corps, référentiel barycentrique, particule fictive
  • Théorème de l'énergie cinétique et énergie potentielle d'interaction
  • Conservation de la quantité de mouvement
  • Bilans de matière et équations locales de conservation
  • Propagation d'ondes, équations aux dérivées partielles
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Modélisation des dunes de sable : collisions entre grains et transport éolien
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Première épreuve de physique du concours Mines-Ponts 2008 en filière PSI, consacrée aux milieux granulaires. Les parties I et II étudient la collision de deux grains comme un système à deux corps, sans puis avec perte d'énergie. La partie III modélise la formation des rides de sable par des bilans de matière et conduit à une équation de propagation.

  1. 1Partie I : collisions sans perte d'énergie, le modèle de HertzChoc élastique de deux billes déformables : énergie potentielle d'interaction, durée de la collision et ordres de grandeur.
  2. 2Partie II : collisions avec perte d'énergieCoefficient de restitution, énergie cinétique perdue lors d'un choc de plein fouet et force dissipative liée à la déformation.
  3. 3Partie III : le transport éolien du sable, le modèle d'AndersonSaltation et reptation des grains, conservation locale de la masse sur une tranche de sable et équation aux dérivées partielles vérifiée par la hauteur du lit.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Intégrale calculée sur la moitié de l'interaction · Quantité de mouvement traitée comme un scalaire · Énergie cinétique de deux masses mal écrite
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Le jury a vu des copies très décevantes comme des copies remarquables, et estime le sujet particulièrement classant. Il insiste sur la forme (lisibilité, schémas, résultats encadrés) et sur la vérification de l'homogénéité et de la vraisemblance des résultats. Une erreur de facteur 2 dans l'étude énergétique de la partie I pouvait être corrigée grâce au rappel de la question 14.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Intégrale calculée sur la moitié de l'interactionQ8, Q14

    La durée de la collision et le travail s'obtiennent classiquement à partir du théorème de l'énergie cinétique. Beaucoup ne considèrent que la première moitié de l'interaction.

    « Beaucoup de candidats oublient la moitié de l’intégrale »
  2. 2
    Quantité de mouvement traitée comme un scalaireQ5, Q10, Q11, Q12

    La quantité de mouvement est une grandeur vectorielle. Les termes de choc élastique ou inélastique ne dispensent pas d'un calcul ou d'une explication.

    « Une quantité de mouvement (ou impulsion, ou résultante cinétique) n’est pas une grandeur énergétique, ni même une grandeur scalaire »
  3. 3
    Énergie cinétique de deux masses mal écriteQ11, Q12

    Au lieu d'utiliser la particule fictive suggérée par le coefficient de restitution, de nombreuses copies écrivent une énergie cinétique en fonction de la seule vitesse relative, ce qui est faux en général.

    « un nombre élevé de copies a affirmé sans hésiter que l’énergie cinétique de deux masses égales »
  4. 4
    Résultat numérique invraisemblable non signaléQ9

    Le calcul du rapport entre déformation et rayon sert à vérifier l'hypothèse de l'énoncé. Une durée de collision absurde doit alerter le candidat, et une valeur sans unité n'est pas comptée juste.

    « Obtenir pour durée d’une collision entre grains de sable t ∼ 10-38 s doit faire dresser l’oreille ! »
  5. 5
    Résultat fourni sans démonstrationQ18

    Recopier un résultat donné par l'énoncé n'apporte aucun point. Pour la conservation de la masse, une analogie vague avec l'équation de continuité ne suffit pas.

    « ont vaguement essayé de « remonter » du résultat fourni à une écriture différentielle ont en général échoué »
  6. 6
    Solution triviale mal compriseQ24

    Aucune hypothèse de faible distance de reptation n'était nécessaire, et un lit de sable horizontal ne correspond pas à un mur vertical.

    « la détermination de la solution dite triviale de la question 24 n’était pas une question triviale »

Ce qui a été bien réussi

  • Les candidats qui ont établi avec soin un bilan sur un système bien défini ont obtenu tous les points de la question 18.
  • Le jury a lu de bonnes et très bonnes copies, dont il félicite les auteurs pour leur maîtrise du sujet et la qualité de leur rédaction.

Conseils du jury

  • Lire le rapport avec le sujet en main, après avoir révisé le cours de mécanique des systèmes.
  • Écrire lisiblement, faire des schémas grands et explicites, numéroter les questions et mettre les résultats en valeur.
  • Vérifier systématiquement l'homogénéité et la vraisemblance des résultats, et signaler par écrit une incohérence repérée.
  • Justifier chaque étape avec plus de soin lorsque le résultat est donné par l'énoncé.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2008
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 3 heures)L'usage de la calculatrice est autoriséSujet mis à disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, Télécom SudParis (ex INT), TPE-EIVP, Cycle internationalLes candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE I - PSI.L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages.

  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. La barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

MODÉLISATION DES DUNES DE SABLE

Ce problème, dont la source est la thèse de F. RIOUAL (2002), aborde quelques aspects des propriétés des milieux granulaires. Les différentes parties de cette épreuve sont largement indépendantes entre elles. Les deux premières concernent la description microscopique des interactions entre particules de milieux granulaires. La troisième partie concerne la dynamique de la formation de rides de sable dans les déserts. Dans toute l'épreuve, exprimer signifie donner une expression littérale et calculer signifie donner une valeur numérique. La quantité x^′ désigne la dérivée totale de x par rapport au temps t. Les vecteurs sont notés avec un chapeau s'ils sont unitaires uˆ_x, avec une flèche v⃗ dans le cas contraire.

I. - Collisions sans perte d'énergie : Le modèle de Hertz

Lors d'un choc frontal entre deux billes sphériques homogènes, l'énergie cinétique initiale est d'abord convertie en énergie de déformation E_d puis restituée sous forme d'énergie cinétique.
Figure 1
Lorsque les deux billes sont en compression l'une par rapport à l'autre, un méplat circulaire de diamètre a apparaît autour du point de contact initial (Fig. 1). On note 2δ la longueur d'interpénétration des deux billes que l'on considère identiques de masse m, de rayon R et de masse volumique ρ_b = 3m/(4πR^3). Dans le référentiel du centre de masse, elles se déplacent sur un axe horizontal avec des vitesses de même module v et de sens opposés. Le contact avec la surface (S) se fait sans frottement et on néglige le mouvement de rotation des billes.
Quand la distance entre les deux centres de billes devient inférieure au diamètre d'une bille, elles entrent en contact et subissent une déformation élastique, sous l'action d'une force, qui n'a de sens physique que pour δ ≥ 0, dont le module est noté F_(de). Si l'on note P la pression moyenne agissant sur la surface de contact, la loi de Hooke stipule que
P = (F_(de))/(4πa^2) = εδ/a
où ε est une constante positive appelée module de Young de la bille et qui caractérise son élasticité. Dans cette partie, la collision est supposée être élastique, c'est-à-dire que l'énergie mécanique totale du système des deux billes est identique avant et après le choc (après que les billes se sont séparées). On considère dans toute cette partie que δ≪R.
◻1 - Vérifier que ε est homogène à une pression. Montrer qu'à l'ordre 1 en δ/R, le diamètre du méplat s'écrit a = 2√(2Rδ). On conservera cette expression dans tout le problème.
◻2 - Donner l'expression du module F_(de) de la force de déformation en fonction de R, δ et ε. En déduire, l'énergie potentielle E_p dont dérive cette force. On prendra E_p ≥ 0.
Figure 2
◻3 —On note x_1 et x_2 les abscisses respectives des centres des billes (Fig. 2). Quand la distance entre ces centres est inférieure au diamètre, donner la relation entre δ, x_1, x_2 et R. En déduire x_1^′ = dx_1/dt en fonction de δ^′ = dδ/dt.
-4 - Exprimer l'énergie mécanique totale E_m des deux billes pendant le choc en fonction de R, ε, m, δ et δ^′ ?
  • 5 - Pourquoi la quantité de mouvement du système constitué par les deux billes est-elle la même avant et après le choc ? Quelle est la relation simple liant les vitesses w_1^(→−) et w_2^(→−) des billes une fois qu'elles se sont séparées?
    ◻6 - Quelle est la relation liant v à la norme des vecteurs w⃗ de la question 5 ?
    ◻7 - Déterminer la valeur maximale δ_m atteinte par δ au cours de la collision en fonction de ρ_b, v, ε et R. Que constatez-vous pour la déformation maximale u_m = δ_m/R ?
    ◻8 - En utilisant l'expression de l'énergie mécanique totale E_m, déterminer la durée τ de la collision, c'est-à-dire le temps pendant lequel les billes restent en contact. On exprimera τ en fonction de ε, m, v, R et de l'intégrale
I = ∫_0^1(du)/(√(1 − u^(5/2)))
◻ 9-Application numérique : calculer τ et u_m pour des particules de sable de vitesse v = 3, 00 m.s^(− 1), de module de Young ε = 7, 00 × 10^(10) Pa et de masse volumique ρ_b = 2, 50 × 10^3 kg.m^(− 3) dans les deux cas suivants : R = 1, 00 × 10^(− 4) m et R = 1, 00 × 10^(− 3) m. On donne I ≈ 1, 47. On vérifiera que le résultat est exprimé en secondes.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Collisions avec perte d'énergie

Figure 3
On considère maintenant deux billes déformables inélastiques se déplaçant sur un axe horizontal avec les vitesses v_1^(→−) = v_1 uˆ_x pour la particule à gauche et v_2^(→−) = v_2 uˆ_x pour la particule à droite.
On considère v_1 > v_2 : il y a donc collision; les vitesses après le choc sont notées w_1^(→−) = w_1 u_x ˆ et w_2^(→−) = w_2 uˆ_x. On suppose que la collision est instantanée; le coefficient de restitution, noté e, est défini par la relation
e = − (w_2 − w_1)/(v_2 − v_1)
◻10 - La quantité de mouvement du système constitué par les deux billes est-elle la même avant et après le choc ?
11- Exprimer, en fonction de v_1, v_2, m et e, la perte d'énergie cinétique des deux billes causée par la collision.
◻12 - Pour toute la suite de la partie II, on suppose désormais que v_1 = − v_2 = v (choc de plein fouet). Exprimer la perte d'énergie cinétique des deux billes liée au choc, en fonction de m, e et v.
◻13 - Au cours de la collision, la déformation rapide de la bille, d'amplitude maximale δ_m, est maintenant source de dissipation. Ce phénomène est associé à une force de module F_d. On suppose que cette force est reliée à la force élastique non dissipative F_(de) de la partie I par la relation
F_d = Aδ^′(∂F_(de))/(∂δ)
Quelle est la dimension de la constante positive A ? Exprimer, sous la forme d'une intégrale sur l'intervalle [0, δ_m], l'énergie U_d dissipée au cours de la collision en fonction de A, ε, R, δ, δ^′ et δ_m.
-14 - On suppose que l'énergie dissipée est faible devant l'énergie cinétique initiale. En écrivant un bilan énergétique, justifier que pendant la collision on puisse écrire
δ^(′2) = v^2(1 − (16π√(2R))/(5mv^2)εδ^(5/2))
Exprimer δ^′ en fonction de ε, R, δ_m, m et y = δ/δ_m.
◻15 - Déduire de la question précédente que l'énergie dissipée lors de la collision est de la forme
U_d = Av^β f(ε, R, m)
où β est une constante à déterminer et f une fonction sans intérêt ici. On vérifiera que β est voisin de 2.
16 - La théorie de Kuwabara et Kono prévoit que l'on puisse ramener la collision de plein fouet des deux particules déformables dissipatives, à une collision instantanée avec un coefficient de restitution effectif très proche de 1 qui dépend de la vitesse d'impact de telle manière que 1 − e soit proportionnel à v^(1/5). Justifier cette théorie en considérant que la totalité de la perte d'énergie cinétique est dissipée lors de la collision.
◻17 - Expliquer qualitativement pourquoi le coefficient de restitution tend vers 1 pour les faibles vitesses. Ce coefficient est-il une propriété des particules ou une propriété de la collision?

FIN DE LA PARTIE II

III. - Le transport éolien du sable : Le modèle d'Anderson

Figure 4
Les rides éoliennes sont des motifs qui se développent, par
Figure 5
exemple dans les déserts, à partir d'un sol plat, perpendiculairement à la direction du vent (Fig. 4). On cherche dans cette partie à modéliser leur formation. Régulièrement, le désert est soumis à un vent suffisamment fort pour emporter des grains de sable sur des distances importantes : ce mécanisme est appelé saltation. Puisque le vent les a triés, on admettra que les grains en saltation sont tous entraînés à la même vitesse, et ont tous à peu près la même masse m. Ainsi, ils suivent tous, en moyenne, la même trajectoire.
En particulier, leurs angles d'impact sur la surface sableuse sont en moyenne égaux et de l'ordre de 14 degrés. On note α cet angle caractéristique (Fig. 5). La collision d'un grain de sable sur le sol produit localement l'éjection de plusieurs particules à des vitesses plus faibles que la vitesse de la particule incidente. Les particules éjectées retombent sur le lit de sable au voisinage du point d'impact; ce phénomène est appelé reptation. La distance caractéristique de parcours des grains en reptation est notée ℓ_r. On suppose que le lit de sable est formé de rides invariantes par translation dans la direction perpendiculaire au vent de sable. La hauteur du lit de sable ne dépend alors que d'une seule variable d'espace notée x et du temps t; on la note h(x, t). On appelle Q(x, t) la masse de grains transportés à l'abscisse x et à l'instant t par unité de temps et par unité de largeur; on rappelle que [Q] = [M][L]^(− 1)[T]^(− 1). Ce flux par unité de largeur est la somme de deux contributions, celle des grains en reptation, notée Q_r, et celle des grains en saltation, notée Q_s. On suppose dans toute cette partie que le flux des grains en saltation est constant et uniforme avec une incidence fixe d'angle α. On note enfin ρ la masse volumique du lit de grains, que l'on suppose uniforme et constante.
18 - En écrivant la conservation locale de la masse sur une tranche de grains d'extension δx et de largeur L, établir la relation
(∂h(x, t))/(∂t) + 1/ρ(∂Q(x, t))/(∂x) = 0
◻19 - Soit N_e(x, t) le nombre de grains éjectés à l'abscisse x par unité de temps et de surface; on rappelle que le flux de reptation est donné par
Q_r(x, t) = m∫_(x − ℓ_r)^x N_e(u, t)du
déterminer l'équation aux dérivées partielles reliant les fonctions h et N_e.
Figure 6 : Saltation sur un lit plat (a), et sur un lit de pente locale θ (b). La quantité dμ repré--sente un volume élémentaire de grains en saltation.
  • 20 - On note N_o le nombre de grains en saltation arrivant sur une surface horizontale par unité de temps et de surface. Soit n la densité de grains de vitesse v arrivant sur une surface horizontale avec une inclinaison α. Le nombre de grains arrivant sur une surface d'aire S pendant le temps dt est donc dN = ndμ (Voir Fig. 6). Exprimer N_o en fonction de n, v et α. En déduire que le nombre N_s de grains en saltation par unité de surface et de temps entrant en collision avec le lit à l'abscisse x est donné par la relation
N_s(θ) = N_o[1 + (tan(θ))/(tan(α))]cos(θ)
  • 21 - Établir l'équation aux dérivées partielles reliant les fonctions θ(x, t) et h(x, t).
    ◻22 - Le modèle d'Anderson consiste à supposer que le nombre de grains éjectés du lit est proportionnel au nombre de grains en saltation N_s : N_e(x, t) = n_o N_s(x, t), où n_o est le nombre de grains éjectés lors d'une collision. Sous cette hypothèse, et en s'appuyant sur le résultat de la question 19, établir l'équation d'évolution de h(x, t) en fonction de m, n_o, ρ, N_s(x, t) et N_s(x − ℓ_r, t).
    ◻23 - Déduire de cette étude l'équation suivante
(∂h)/(∂t) = − (mn_o N_o)/(ρtan(α))[(tan(α) + (∂h)/(∂x))cos(θ)]_(x − ℓ_r)^x
◻24 - Montrer que h(x, t) = h_o = cste est une solution possible de l'équation de la question 23 (on la nomme solution triviale).
On cherche dorénavant à analyser la stabilité de la solution triviale dans le régime des petites inclinaisons. On considère donc que cos(θ(x, t)) = cste ≈ 1
25 - Ecrire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par h en faisant apparaître la constante c_o = mn_o N_o/ρ. Quelle est la dimension de c_o ?
◻26 - On cherche la solution de l'équation de la question 25 sous la forme complexe
h_–(x, t) = h_o + h_1 exp[i(kx − ωt]exp(γt)
avec h_o et h_1 deux réels tels que |h_o|≪|h_1|, puis k, ω et γ trois paramètres réels. Déterminer les expressions de ω et γ en fonction de u = kℓ_r et ω_o = c_o/(ℓ_r tan(α)).
◻27 - A quelle condition sur k et ℓ_r la solution proposée à la question précédente est-elle stable ?
◻28 - On note v_g et v_φ les vitesses de groupe et de phase des rides éoliennes dans le cadre de la solution triviale perturbée décrite dans les questions 26 et 27 . Déterminer la relation entre v_g, v_φ, γ et ℓ_r.
◻29 - On dit d'un milieu qu'il est dispersif lorsque la célérité d'une onde en propagation dans ce milieu dépend de sa fréquence. Le sable vous semble-t-il être un milieu dispersif ou non ? On justifiera soigneusement sa réponse.

FIN DE LA PARTIE III

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 Mines PSI 2008 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 Mines PSI 2008 ?

Les deux premières parties portent sur la mécanique des systèmes à deux corps et les théorèmes énergétiques. La troisième porte sur les bilans de matière en système ouvert puis sur la propagation d'ondes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique 1 Mines PSI 2008 ?

La moitié de l'interaction oubliée dans les calculs intégraux, la quantité de mouvement traitée comme un scalaire, une énergie cinétique de deux corps mal écrite et des résultats numériques absurdes non commentés.

Faut-il connaître la théorie des chocs pour le sujet Mines physique 1 PSI 2008 ?

Non. Le jury précise qu'aucune connaissance sur les chocs n'était nécessaire, mais qu'employer ces termes ne dispense pas d'une explication ou d'un calcul.

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