Mines Physique 1 PSI 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Optique physique (interférences, diffraction)
Amplitude complexe et intensité lumineuse
Électromagnétisme et induction
Dynamique des fluides (couche limite)
Électronique (amplificateur opérationnel, détection synchrone, diagramme de Bode)

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BanqueMines Année2007 FilièrePSI MatièrePhysique

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Présentation du sujet

Accessible

Physique I Mines PSI : le bain de bébé, thermomètre à cristaux liquides et débitmètre électromagnétique

Le sujet, intitulé le bain de bébé, comporte deux parties. La partie A étudie un thermomètre à cristaux liquides à travers l'optique physique (interférences, diffraction). La partie B étudie un débitmètre électromagnétique, mobilisant la dynamique des fluides, l'électromagnétisme, puis un dispositif électronique de détection synchrone pour mesurer la force électromotrice induite.

1Partie A : thermomètre à cristaux liquidesÉtablissement de résultats d'optique physique sur les amplitudes complexes et l'intensité, questions sur les interférences à deux ondes et à N ondes, domaines spectraux.
2Partie B : débitmètre électromagnétiqueChamp magnétique et potentiel vecteur, force électromotrice induite par le débit, couche limite en dynamique des fluides, puis mesure par détection synchrone et filtre passe-bande.

Accessible. Le rapport indique que le sujet était court et comportait de nombreuses vérifications directes des connaissances du programme, ainsi que quelques questions plus difficiles, permettant même à des candidats de niveau plus faible de trouver matière à s'exprimer.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Confusion amplitude complexe et intensité · Ordre des domaines spectraux ignoré · Aire d'un disque erronée

Le sujet a permis un bon classement des candidats, avec de nombreuses bonnes copies et parfois d'excellentes notes. Le jury insiste sur la nécessité d'expliciter effectivement la démarche complète pour établir un résultat déjà fourni par l'énoncé, et non de le recopier ou de le commenter.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion amplitude complexe et intensitéquestions 1 à 4
L'énoncé insistait suffisamment sur les termes amplitude complexe et intensité pour sanctionner les confusions entre ces deux notions.
2
Ordre des domaines spectraux ignoréquestion 8
Le jury a été surpris de constater que certains candidats ignorent l'ordre des domaines spectraux (ultraviolet, visible, infrarouge) exprimés en longueurs d'onde.
3
Aire d'un disque erronée
Il est surprenant qu'un candidat au concours pense que l'aire d'un disque de rayon a est 2 pi a carré, ou qu'il ne sache pas relier fréquence et pulsation.
4
Condensateur de valeur irréaliste proposéquestion 18
On est toujours surpris de voir des candidats proposer d'utiliser des condensateurs de 1 farad, une valeur totalement irréaliste en pratique.
5
Chiffres significatifs et unités négligésquestion 13
Un minimum de justification et le respect d'un nombre de chiffres significatifs raisonnable avec une unité correcte étaient attendus pour toute application numérique.

Ce qui a été bien réussi

Le jury a lu bon nombre de copies très satisfaisantes, rédigées par des candidats capables de retrouver correctement et rapidement les résultats les plus classiques de l'optique physique.
Les montages amplificateur et passe-bas de la question 18 n'ont en général guère posé de problème aux candidats.
La question 15 sur la couche limite a été traitée avec bonheur par la plupart des candidats qui l'ont abordée.

Conseils du jury

Expliciter effectivement la démarche complète, hypothèses et calculs compris, même lorsque le résultat est déjà donné dans l'énoncé.
Vérifier systématiquement l'homogénéité et la vraisemblance des résultats obtenus.
Nommer et graduer soigneusement les axes des courbes tracées, en signalant les particularités comme une échelle logarithmique.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÊRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2007

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PSI(Durée de l'épreuve: 3 heures)L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I -PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques qui vous sembleront pertinents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

LE BAIN DE BÉBÉ

Le bain est une activité quotidienne très appréciée du jeune enfant. Le bien-être de ce dernier lors du bain est, selon toute vraisemblance, lié au caractère aquatique de sa vie intra-utérine. Les jeux qu'il y pratique sont très différents de ceux qu'il effectue durant le reste de la journée. Le problème étudie, en deux parties indépendantes

A

B

, d'une part le thermomètre utilisé pour contrôler la température, d'autre part le principe de fonctionnement d'un débitmètre électromagnétique mesurant le débit lors du remplissage de la baignoire. Les parties B1 et B2 sont largement indépendantes.
Dans toute l'épreuve, exprimer signifie donner l'expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique.

PARTIE A : THERMOMÈTRE À CRISTAUX LIQUIDES

Fig. 1 - Thermomètre à cristaux liquides.

Le thermomètre utilisé est en matière plastique, en forme de poisson (Fig. 1). Il possède une bande rectangulaire contenant des zones à cristaux liquides. Celles-ci dessinent les températures comme par exemple

34^\circC, 36^\circC, 40^\circC

OKBaby

pour

37^\circC

. Le principe de fonctionnement est le suivant: si l'eau est à

36^\circC

, seule l'inscription

36^\circC

apparaît visible sur la bande rectangulaire sensible du thermomètre. Il est ainsi possible de contrôler rapidement la température du bain.

Fig. 2 - Diffraction par un miroir de dimension finie selon une direction.

On considère un miroir de longueur

e

, placé dans l'air assimilé au vide, éclairé par une onde lumineuse monochromatique de longueur d'onde dans le vide

λ

(Fig. 2). La lumière incidente fait un angle

θ

avec le plan du miroir ; on étudie la diffraction à l'infini dans l'angle d'émergence

i

, comme indiqué Fig. 2. Bien noter le choix de repérage des angles, par rapport au plan du miroir.
. 1 - Établir, à partir des expressions des amplitudes complexes des ondes lumineuses, que l'intensité lumineuse diffractée est donnée par

ù I_1 = I_0 sinc^2[(πe)/λ(cosθ - cosi)], où sinc(u) = (sin(u))/u.

Fig. 3 - Deux miroirs identiques ... et transparents !

प्र 2 - Tracer l'allure de l'intensité diffractée en fonction de l'angle

i

dans les cas suivants : (cas a), la longueur

e

du miroir est légèrement supérieure à la longueur d'onde (

e > λ, e \approx λ

) et (cas b),

e

est très grand devant

λ

. On ne manquera pas de commenter ces résultats.
? 3 - On étudie maintenant les interférences entre les ondes diffractées à l'infini par deux miroirs identiques à celui des questions précédentes. L'étude s'effectue pour un angle d'émergence

i

. Ces deux miroirs, toujours disposés dans l'air, sont séparés par la distance

d

. Ils sont éclairés de façon cohérente par la même source (Fig. 3). Pour les besoins de la modélisation, on ne se préoccupera pas d'une éventuelle «interception» du rayon (2) par le miroir (1).
Montrer que la différence de marche entre les deux ondes passant par

P_1

P_2

est

δ = d(sinθ + sini)

. En déduire l'expression suivante de l'intensité lumineuse résultant des interférences et de la diffraction de ces deux ondes d'amplitude identique:

I_(1, 2) = 1/2I_(max)sinc^2[C(θ, i)] × {1 + cos[S(θ, i)]}; avecC(θ, i) = πe/λ[cos(θ) − cos(i)] et S(θ, i) = 2πd/λ[sin(θ) + sin(i)]

◻4

- Vérifier que la fonction de diffraction par un miroir est maximale dans le cas où

i = θ

. Comment alors choisir

d

pour que la fonction d'interférence entre les deux miroirs soit elle aussi maximale ? Réciproquement,

i = θ

étant l'un et l'autre fixés, donner l'allure de l'intensité lumineuse

I_(1, 2)

en fonction de la distance

d

◻

5- La relation

i = θ

étant toujours satisfaite, on utilise maintenant un nombre

N

(grand devant 2 ) de miroirs identiques tous disposés à la distance

d

les uns des autres. Indiquer, par une représentation graphique ou par une phrase claire, comment évolue la courbe donnant l'intensité lumineuse en fonction de

d

.
La bande sensible du thermomètre utilisé pour le contrôle de la température du bain est composée de «cristaux liquides » présentant une structure hélicoïdale stable, dite cholestérique. Les molécules constituant les cristaux liquides sont des molécules allongées, représentées par des ellipsoïdes sur la Fig. 4, et qui sont disposées dans des plans perpendiculaires à un axe

Oz

; chaque molécule fait un angle fixe par rapport à la précédente, les extrémités forment donc une double structure hélicoïdale, de période spatiale

L

. Cette période dépend de la température

T

du milieu (et bien sûr de la molécule constituant le cristal liquide). Lorsque l'on utilise comme cristal liquide un mélange binaire de deux cristaux liquides, la période spatiale

L

de l'hélice dépend de la composition du binaire.

Fig. 4 - Vue d'artiste d'une structure hélicoïdale et modélisation du comportement optique.

On admet que le comportement optique du cristal liquide est identique à celui des deux miroirs étudiés dans les questions 1 à 4 , ces miroirs étant alors plongés dans un milieu d'indice

n_h

de l'ordre de 1,50 .
-6 - Montrer que l'entrée dans le milieu d'indice

n_h

des deux rayons lumineux correspondant aux rayons (1) et (2) de la Fig. 3 n'introduit pas de différence de marche supplémentaire. Pourquoi en est-il de même à l'émergence lorsqu'ils repassent dans l'air? Soit (Fig. 5)

θ^'

l'angle, dans le cristal, entre le rayon et le miroir

(sin(θ^') = \sqrt(1 - (cos^2(θ))/(n_h^2)));

exprimer, en fonction de

θ^', n_h

d

, la

Fig. 5 : Différence de marche au niveau du dioptre:

DC - n_h AB

différence de marche entre ces deux rayons dans le cas où

i = θ^'

◻7

- L'éclairage incident est désormais normal (

θ = θ^' = π/2

) et monochromatique de longueur d'onde

λ

. Exprimer les valeurs possibles de

d

pour lesquelles on obtient un maximum de lumière réfléchie. Même question pour un minimum de lumière réfléchie.

8 - Rappeler l'étendue du spectre visible ainsi que les couleurs associées aux limites du spectre, puis justifier le choix de la longueur d'onde

λ = 555 nm

. On convient désormais que

d = L

, avec

260 nm \leq L \leq 500 nm

. Calculer les valeurs de

L

correspondant respectivement à un maximum ou à un minimum de lumière réfléchie. On les notera

L_1

(pour un maximum),

ℓ_1

ℓ_2

(pour les minima) et l'on vérifiera que

ℓ_1 < L_1 < ℓ_2

Il s'agit maintenant de déterminer la nature du matériau utilisé pour l'indicateur

40^\circC

et pour l'indicateur

OKBaby(37^\circC)

. L'indicateur

40^\circC

doit apparaître à

40^\circC

sans que l'autre soit visible et réciproquement. Pour ce but, on dispose de deux mélanges binaires

ab

a^' b^'

des molécules

(a, b)

pour le premier et

(a^', b^')

pour le second. Pour chacun des deux mélanges, la période spatiale

L

de l'hélice vérifie

Fig. 6 : Période spatiale

L

en fonction de la concentration en a (ou en

a^'

Composé ab :

L_(40^\circC) = 0, 68L_(37^\circC) \Leftrightarrow L_(37^\circC) = 1, 4L_(40^\circC)

Composé a'b' :

L_(40^\circC) = 0, 74L_(37^\circC) \Leftrightarrow L_(37^\circC) = 1, 35L_(40^\circC)

9-La Fig. 6 montre comment, à $37^\circC$ , $L$ évolue en fonction du pourcentage molaire de $a$ ou de $a^'$ dans le domaine des mélanges réalisables (tous les pourcentages ne sont pas représentés). Pour l'indicateur à $37^\circC$ (par exemple), on doit avoir un maximum de lumière réfléchie correspondant à $37^\circC$ et un minimum correspondant à $40^\circC$ . Quel mélange utiliser pour ce but, et en quelle proportion? Quel est le meilleur choix pour l'indicateur 40 $^\circC$ ?

10-La loi d'évolution de la période de l'hélice en fonction de la température

T

au voisinage de

T_1 = 310 K (37^\circC)estL(T) = L_0 exp(- αT)

, où

L_0

est une constante; calculer

α_(ab)

α_(a^' b^')

. La valeur de

α

est extrêmement variable d'un matériau à l'autre et elle peut atteindre jusqu'à

100^\circC^(- 1)

! Pour quel(s) genre(s) d'application(s) une telle sensibilité peut-elle être utile?

PARTIE B : DÉBITMÈTRE ÉLECTROMAGNÉTIQUE

Fig. 7-Notations pour le débitmètre.

Le principe du débitmètre électromagnétique (Fig. 7) s'appuie sur le phénomène d'induction électromagnétique. Les bobines de Helmholtz sont disposées de part et d'autre du tuyau d'alimentation en eau (chaude ou froide) de la baignoire. Le rayon du tuyau est

a = 5 mm

. On considère que le champ magnétique créé par les bobines est uniforme dans toute la région de l'écoulement et on le note

B_1^(\to-) = B_1 x^

. On suppose que le tuyau et le fluide qu'il contient ne modifient pas la structure des lignes du champ

B_1

. Sur la Fig. 7, on utilise une base cylindrique adaptée à la description de l'écoulement de l'eau. Cette base n'a rien à voir avec celle qui nous a permis d'étudier le champ magnétique dans les questions précédentes. Il suffit que le fluide circulant dans le tuyau soit très légèrement conducteur pour que le débitmètre fonctionne correctement. C'est à travers la mesure de la force électromotrice induite entre les deux électrodes C et D (isolées électriquement du tuyau),

e_(CD)

, que l'on peut mesurer le débit.
On suppose que l'écoulement se fait en régime permanent. La vitesse de l'eau en un point

M(r, θ)

est donnée par

v\to = v_0 f(r)z^

où le profil de vitesse

f(r)

est une fonction qu'on n'explicite pas pour l'instant mais qui satisfait l'inégalité

0 \leq f(r) \leq 1

dans l'intervalle

[0, a]

. Pratiquement, le débitmètre électromagnétique n'est utilisable que pour les fluides en écoulement possédant un nombre de Reynolds Re supérieur à 2000.

11- Établir l'expression suivante du débit volumique

D_(Vol .) : D_(Vol.) = 2πv_0\int_0^a rf(r)dr

. La vitesse débitante, notée

é v_(moy)^(débit)

, est la vitesse fictive telle que, si tous les points de l'écoulement possédaient cette vitesse, le débit volumique serait

D_(Vol)

. ; exprimer

é v_(moy)^(débit)

en faisant intervenir une intégrale dans laquelle figure la fonction

f(r)

. On note enfin

v_(moy)

la moyenne des vitesses le long d'un rayon d'une section droite du tuyau. Exprimer

v_(moy)

en faisant intervenir une intégrale dans laquelle figure la fonction

f(r)

12- En réalité, le champ magnétique, tout en restant uniforme, est sinusoïdal, de fréquence

f_0 = ω_0/2π = 40 Hz

; on le note

B\to_1 = B_(1m)cos(ω_0 t)x^

, où

B_(1m) = 0, 1 T

. Vérifier que le champ

B_1^(\to-)

au point

M(r, θ)

du plan

Oxy

peut dériver du potentiel vecteur

A\to = B_(1m)rcos(θ)cos(ω_0 t)z^ = A_z(r, θ, t)z^

. Les composantes utiles du rotationnel en coordonnées cylindriques sont ici

rot^(\to-)(A\to) = 1/r(\partialA_z)/(\partialθ)r^ - (\partialA_z)/(\partialr)θ^

Cette expression de

A\to

permet d'établir que la force électromotrice induite

e_(CD) = \oint (v\to \land B\to - (\partialA\to)/(\partialt)) \cdot dl\to

peut se ramener à

e_(CD) = \int_([CD])(v\to \land B\to) \cdot dl\to

, l'intégrale étant calculée le long du segment [CD]. En d'autres termes, le problème se ramène à un phénomène d'induction concernant un conducteur mobile (le fluide) dans un champ magnétique statique, bien que celui-ci soit (lentement) variable.
13- Établir la relation

e_(CD) = 2v_(moy)aB_(1m)cos(ω_0 t) = e_M cos(ω_0 t)

, où

v_(moy) = (1/a)\int_0^a f(r)dr

. Cette force électromotrice est-elle proportionnelle au débit volumique? Calculer

e_M

pour

v_(moy) = 5 m.s^(- 1)

.
14 - Pourquoi ne pas utiliser un champ magnétostatique ? Pourquoi ne pas alimenter les bobines avec une tension alternative de 50 Hz ?

Fig. 8-Trois profils de vitesse.

15- On modélise l'écoulement du fluide par la relation empirique représentée Fig.

8f(r) = 1 - (r/a)^p

, avec

p > 0

. Rappeler la définition de la couche limite de fluide. Proposer une évaluation de son épaisseur,

δ

, en fonction de

a

p

(on pourra, par exemple, définir le domaine où

|(df)/(dr)|≫1/a

, ou considérer les abscisses des points

A_p

de la Fig. 8). 16 - Établir les expressions de

v_(moy)

et de

é v_(moy)^(débit)

en fonction de

v_0

et de

p

. À partir de quelle valeur de

p

peut-on confondre les deux vitesses à mieux que

1%

près ? Cette évaluation estelle cohérente avec le domaine d'utilisation du débitmètre évoqué plus haut (

Re > 2000

) ? Pour cette question, on admettra que des considérations qualitatives conduisent à l'estimation

δ \approx a(Re)^(- 1/2)

17 - Admettons maintenant que l'on puisse confondre

v_(moy)

é v_(moy)^(débit)

. Établir alors l'expression de la force électromotrice induite

e_(CD)

en fonction du débit volumique

D_(Vol)

. La valeur maximum de la tension mesurée entre les électrodes C et D est 7 mV . Combien faut-il de temps pour que la baignoire contienne 100 L d'eau?

B2 Mesure

Dans la suite de cette étude, on s'intéresse à la mesure de la force électromotrice, que l'on écrira désormais

e_(CD) = βD_(Vol.)cos(ω_0 t)

. Dans la pratique, le signal détecté

V_e(t)

se présente comme la somme de cette force électromotrice et d'une tension de bruit

V_b(t) : V_e(t) = e_(CD) + V_b(t)

. Le spectre de la tension de bruit comporte une multitude de fréquences

f_b > f_0

Afin de réduire l'influence du bruit, on utilise la méthode de détection synchrone dont le principe est décrit sur la Fig. 9. L'amplificateur opérationnel, supposé idéal, fonctionne en régime linéaire. Le circuit multiplieur

\times

, en grisé

Fig. 9 - Principe de la détection synchrone.

sur la Fig. 9, est lui aussi idéal. Sa tension de sortie est

V_X = kV_1(t)V_2(t)

. La tension

V_2(t) = Acos(ω_0 t)

est synchrone avec

e_(CD)

. En sortie, on dispose un filtre

RC

dont la fréquence de coupure est

f_c = 1 Hz

18- Quelle est la relation liant

V_1(t)

V_e(t)

? Quelle est la nature du filtre utilisé en sortie ? Proposer des valeurs de

R

et de

C

. Donner, sans calcul, l'allure du diagramme de Bode asymptotique pour le gain de ce filtre.
19- Montrer que, en ce qui concerne la tension de bruit

V_b(t)

, le dispositif est quasiment équivalent à un passe-bande centré en

f_0

et de facteur de qualité

Q = 40

. Conclure quant à l'intérêt du montage et donner l'expression de la tension de sortie

V_s

en fonction du débit volumique.

FIN DU PROBLÈME
FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte physique I Mines PSI 2007 ?

Le sujet porte sur l'optique physique (interférences, diffraction) pour un thermomètre à cristaux liquides, puis sur la dynamique des fluides, l'électromagnétisme et l'électronique de détection synchrone pour un débitmètre électromagnétique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique I Mines PSI 2007 ?

Une confusion entre amplitude complexe et intensité, une méconnaissance de l'ordre des domaines spectraux, une aire de disque erronée, et une proposition de condensateur de 1 farad totalement irréaliste.

Le sujet physique I Mines PSI 2007 est-il difficile ?

Non, le rapport le décrit comme court avec de nombreuses vérifications directes du cours, permettant même à des candidats de niveau plus faible de s'exprimer, même s'il comportait quelques questions plus difficiles.

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