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Difficile
Intégration et dérivation fractionnaires : fonction Gamma, transformation de Laplace, opérateurs de Riemann-Liouville et de Caputo
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Le problème cherche à définir des opérateurs d'intégration et de dérivation d'ordre réel quelconque, qui prolongent les itérées usuelles et se composent raisonnablement. Des préliminaires installent les outils (fonction Gamma, théorème de Fubini sur un triangle, produit de convolution, transformation de Laplace et son injectivité). Viennent ensuite l'intégration fractionnaire, les dérivées fractionnaires de Riemann-Liouville et de Caputo, puis deux équations différentielles fractionnaires simples.

  1. 1PréliminairesDéfinition et équation fonctionnelle de Γ, version simple du théorème de Fubini, convolution, transformation de Laplace et injectivité via le théorème de Weierstrass.
  2. 2Partie A : intégration fractionnaireItérées de l'intégration par un opérateur à noyau, fonctions Φ_α et définition de J^α avec sa loi de composition et sa transformée de Laplace.
  3. 3Partie B : dérivées fractionnairesFormule de Taylor avec reste intégral, dérivée de Riemann-Liouville, défaut de la loi des exposants et dérivée de Caputo.
  4. 4Partie C : deux équations différentielles fractionnairesÉquation d'Abel, série entière E_α et résolution de l'équation D^α_* u = -u par transformation de Laplace.

Difficile. Le jury indique que les dernières questions n'ont pas été abordées en raison de la longueur du sujet, et que plusieurs questions de la partie B ont été très mal traitées ou presque jamais abordées.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Convergence de Γ mal justifiée · Paramètre présent dans les bornes · Majorations inutilement compliquées
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Le cours est globalement connu, mais souvent appliqué de façon approximative, en particulier le théorème de convergence dominée. Les majorations et la manipulation des inégalités posent des difficultés. Les questions classiques ou calculatoires ont été plutôt réussies, alors que les questions ouvertes et la fin de la partie B ont peu abouti.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Convergence de Γ mal justifiée1a, 1b

    L'intégrande de Γ ne se prolonge pas toujours par continuité en 0, et une limite nulle à l'infini ne suffit pas à conclure à la convergence.

  2. 2
    Paramètre présent dans les bornes2a, 2b, 3a

    Peu de candidats remarquent que la variable apparaît à la fois dans l'intégrande et dans les bornes, et la dérivation sous le signe intégrale est rarement bien justifiée.

  3. 3
    Majorations inutilement compliquées4c, 5b, 5c

    En 4c, beaucoup se perdent dans des sous-cas alors qu'il suffisait d'établir une convergence, sans optimiser la majoration ; les majorations de 5b et 5c sont aussi rarement abouties.

  4. 4
    Questions ouvertes mal traitées7a, 7c, 10b

    La formule de dérivation de Φ_α est rarement donnée, et les questions ouvertes 7c et 10b ont conduit à de nombreuses erreurs.

  5. 5
    Loi de composition des dérivées fractionnaires10d, 11, 12

    Les calculs de 11 étaient simples car les effets de D^α et J^α sur les Φ_γ étaient connus, mais les bonnes réponses ont été très rares ; 10d et 12 ont été presque délaissées.

  6. 6
    Règle de d'Alembert mal appliquée14b

    La règle de d'Alembert pour le rayon de convergence est identifiée mais rarement appliquée correctement.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 3b et 3c sur la convolution ont été plutôt bien réussies.
  • La linéarité de la transformation de Laplace en 5 a été plutôt bien vue.
  • Le calcul de 7b et les questions relativement faciles de 8 ont été plutôt bien réussis.
  • La formule de Taylor avec reste intégral en 9 a souvent été reconnue ou redémontrée par récurrence.
  • La question 10c a été bien faite, et ceux qui ont abordé 13 l'ont bien réussie.

Conseils du jury

  • Justifier précisément la convergence d'une intégrale généralisée, en 0 comme à l'infini.
  • Repérer si le paramètre figure dans les bornes d'une intégrale avant de choisir le théorème de continuité ou de dérivation.
  • Adapter une majoration à ce qui est demandé, par exemple une simple convergence, sans chercher à l'optimiser.
  • Vérifier les signes avant de multiplier des inégalités.
  • Appliquer le théorème de convergence dominée en vérifiant rigoureusement toutes ses hypothèses.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Écoles Normales Supérieures - École Polytechnique Concours d'admission 2021
Filière PSI
Épreuve de mathématiques
Durée : quatre heures
(calculatrices interdites)

Préambule

On s'intéresse dans ce problème à certains sous-ensembles de l'espace des fonctions à valeurs réelles et continues sur ]0, + ∞[. On peut classiquement définir les opérations d'intégration J et de dérivation D de sorte qu'en particulier la composition D ∘ J soit l'opérateur identité, où la notation o désigne l'opérateur de composition usuel.
On cherche alors à définir pour tout réel α > 0 des opérateurs fractionnaires d'intégration J^α et de dérivation D^α tels que D^α ∘ J^α soit l'identité et tels que pour tout α, β > 0 on ait :
J^α ∘ J^β = J^(α + β) et D^α ∘ D^β = D^(α + β)
En particulier pour α = 1/2, on cherche à définir une racine carrée de D, i.e. un opérateur D^(1/2) tel que D^(1/2) ∘ D^(1/2) = D.
Parmi les nombreuses approches possibles, nous allons suivre celles de Riemann-Liouville et Caputo.
  • On commence par des préliminaires sur la fonction Gamma;
  • on démontre ensuite une version simple du théorème de Fubini pour des fonctions continues sur un carré et qu'on s'autorisera à utiliser dans la suite du problème dans un cadre plus général, cf. la question 2) ;
  • on introduit enfin la transformation de Laplace et on prouve son caractère injectif sur les fonctions continues.
    L'intégration fractionnaire est définie dans la partie A alors que les dérivées fractionnaires le seront dans la partie B. Dans la dernière partie on s'intéressera enfin à deux équations différentielles fractionnaires simples.
Le candidat est libre d'admettre les résultats de la partie Préliminaires, pour aborder les parties A, B et C. Pour simplifier les arguments dans les préliminaires on se restreint aux fonctions continues sur [0, + ∞[, alors qu'on aura parfois besoin de considérer des fonctions continues sur ]0, + ∞[ intégrables au voisinage de 0 . Le candidat est autorisé à utiliser les résultats des préliminaires dans ce cadre plus général.

Préliminaires

  1. On considère la fonction Gamma définie par : Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)t^(x − 1) dt.
    (a) Montrer que Γ est bien définie pour x réel strictement positif.
    (b) Montrer que pour tout x > 0, on a la relation Γ(x + 1) = xΓ(x) et en déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗ on a Γ(n) = (n − 1) !.
  • On admettra pour la suite que la fonction Gamma précédente peut être prolongée en une fonction qu'on notera encore Γ, définie sur R∖{ − n : n ∈ ℕ} et vérifiant l'équation fonctionnelle Γ(x + 1) = xΓ(x) pour tout x ∈ R∖{ − n : n ∈ ℕ} : l'écriture Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)t^(x − 1) dt n'est alors valable que pour x > 0. Pour tout entier n ∈ ℕ, on pose en outre Γ(− n):= + ∞.
  • On utilisera aussi sans justification l'égalité suivante:
B(p, q):=∫_0^1(1 − u)^(p − 1)u^(q − 1) du = (Γ(p)Γ(q))/(Γ(p + q))
où p, q sont des réels strictement positifs.
2. Soit a ∈ R strictement positif et soit f : [0, a] × [0, a] → R définie et continue. Dans cette question on cherche à établir la version simple suivante du théorème de Fubini :
∫_0^a dt(∫_0^t f(t, u)du) = ∫_0^a du(∫_u^a f(t, u)dt)
que le candidat pourra utiliser dans la suite du problème pour a = + ∞ lorsque ∫_0^(+ ∞)dt(∫_0^t|f(t, u)|du) converge.
(a) i. Pour t ∈ [0, a] fixé, soit h(η) = ∫_0^t|f(t + η, u) − f(t, u)|du définie pour η ∈ [ − t, a − t]. Montrer que h(η) tend vers 0 lorsque η tend vers 0 .
ii. Montrer avec soin la continuité de t ↦ ∫_0^t f(t, u)du sur [0, a].
iii. Calculer la dérivée de la fonction F : x ↦ ∫_0^x dt(∫_0^t f(t, u)du).
(b) Pour tous 0 ⩽ α, β ⩽ a, on introduit h(α, β) = ∫_0^α du(∫_u^β f(t, u)dt).
i. Expliciter la dérivée partielle (∂h)/(∂α).
ii. Expliciter (∂h)/(∂β).
iii. Donner alors une expression de la dérivée de G : x ↦ ∫_0^x du(∫_u^x f(t, u)dt).
(c) Déduire de ce qui précède une preuve de l'égalité ( E_2 ).
3. Pour f, g : [0, + ∞[ → R des fonctions continues, on définit leur produit de convolution :
f∗g(x) = ∫_0^x f(x − t)g(t)dt
(a) Montrer que f∗g est continue sur [0, + ∞[.
(b) Montrer que le produit de convolution est commutatif.
(c) Montrer que le produit de convolution est associatif.
4. Une fonction f : [0, + ∞[ → R continue est dite d'ordre exponentiel s'il existe des réels M > 0 et r tels que pour tout t ⩾ 0, on ait : |f(t)| ⩽ Me^(rt). Pour une telle fonction f, on définit alors sa transformée de Laplace :
L(f)(s):=∫_0^(+ ∞)e^(− st)f(t)dt
(a) Montrer que L(f)(s) est bien définie pour tout réel s assez grand.
(b) Montrer que si f est de classe C^1 avec f et f^′ d'ordre exponentiel, alors pour s assez grand, L(f^′)(s) = sL(f)(s) − f(0).
(c) Soient f et g des fonctions continues sur [0, + ∞[ et d'ordre exponentiel. Montrer que f∗g est d'ordre exponentiel.
(d) Sous les hypothèses de la question précédente, en utilisant ( E_2 ) pour a = + ∞, montrer que, pour s assez grand,
L(f∗g)(s) = L(f)(s)L(g)(s)
  1. On cherche à présent à montrer que L(f)(s) = L(g)(s) pour tout s assez grand si et seulement si f = g.
    (a) Justifier qu'on peut se ramener à chercher les fonctions f telles que L(f)(s) = 0 pour tout s assez grand.
    (b) Soit f : [a, b] → R une fonction continue telle que pour tout n ⩾ 0, on ait : ∫_a^b x^n f(x)dx = 0 . Montrer que ∫_a^b f^2(x)dx = 0, et en déduire que f est la fonction nulle.
    Indication : on pourra utiliser, sans justification, le théorème d'approximation de Weierstrass qui établit l'existence pour tout ε > 0, d'un polynôme p_ε ∈ R[X] tel que : max_(x ∈ [a, b])|f(x) − p_ε(x)| ⩽ ε.
    (c) En déduire que L est injective.
Indication : on pourra utiliser un changement de variable y = e^(− t).
Dans la suite du problème le candidat pourra librement utiliser les résultats de ces préliminaires dans le cas où les fonctions ne sont plus nécessairement continues en 0 mais y sont seulement intégrables.

A - Intégration fractionnaire

  1. Pour f : ]0, + ∞[ → R une fonction continue en 0 et intégrable au voisinage de 0 , on note I(f)(x) = ∫_0^x f(t)dt et pour tout n ⩾ 2 on définit par récurrence :
I^n(f)(x):=I^(n − 1)(I(f))(x)
Montrer que I^2 f(x) = ∫_0^x(x − t)f(t)dt, puis que :
I^n(f)(x) = 1/((n − 1)!)∫_0^x(x − t)^(n − 1)f(t)dt
  1. Pour tout réel α ∈ R, on note Φ_α : ]0, + ∞[ → R définie par :
Φ_α(t) = (t^(α − 1))/(Γ(α))
en convenant que pour α ∈ Z négatif ou nul, Φ_α est la fonction nulle.
(a) Quelle est la dérivée m^e de Φ_α ?
(b) Montrer, en utilisant ( E_1 ), que pour tous α, β des réels strictement positifs, on a : Φ_α∗Φ_β = Φ_(α + β).
(c) Expliciter L(Φ_α)(s) pour α > 0.
8. Pour tout réel α > 0, on définit :
J^α(f)(x) = Φ_α∗f(x) = 1/(Γ(α))∫_0^x(x − u)^(α − 1)f(u)du
et on note J^0 l'opérateur identité, i.e. J^0(f)(x) = f(x). D'après la question 6 ), pour tout n ∈ ℕ, on a donc J^n = I^n.
(a) Montrer que pour tous réels α, β positifs, on a : J^α ∘ J^β = J^(α + β).
(b) On suppose f d'ordre exponentiel. Pour α > 0, montrer que L(J^α f)(s) est bien défini pour s assez grand, et égal alors à s^(− α)L(f)(s).
(c) Pour α et γ des réels strictement positifs, montrer que J^α Φ_γ = Φ_(γ + α).
(d) Soit f d'ordre exponentiel et soit α > 0. Montrer que J^α f est la fonction nulle si et seulement si f est la fonction nulle.

B - Dérivées fractionnaires

On note D l'opération de dérivation usuel, D(f)(x) = f^′(x) lorsque f est dérivable. Par récurrence, lorsque cela est possible, on définit D^n(f) = D(D^(n − 1)f) de sorte que trivialement D^n ∘ J^n soit l'opérateur identité.
9. Pour f dérivable n fois, montrer que J^n ∘ D^n(f)(x) = f(x) − ∑_(k = 0)^(n − 1)f^((k))(0)(x^k)/(k!).
10. Étant donné un réel α > 0, on note m l'entier tel que m − 1 < α ⩽ m, et on déduit D^α:=D^m ∘ J^(m − α), i.e., sous réserve d'existence,
D^α f(t) = {D^m(1/(Γ(m − α))∫_0^t(f(u))/((t − u)^(α + 1 − m)) du), si, m − 1 < α < m; D^m f(t), si, α = m
et on note D^0 l'opérateur identité.
Remarque: on ne demande pas au candidat de donner des conditions nécessaires pour l'existence de D^α f.
(a) Pour tout α > 0, expliciter D^α ∘ J^α.
(b) Pour f = 𝟙, expliciter D^α 𝟙 et préciser pour quel α, la fonction D^α 𝟙 est la fonction nulle ^1.
(c) Pour α > 0 et γ > 0, montrer que D^α Φ_γ = Φ_(γ − α).
(d) Pour f d'ordre exponentiel, montrer que D^α f est la fonction nulle si et seulement si f s'écrit sous la forme f(x) = ∑_(j = 1)^m c_j x^(α − j), où m − 1 < α ⩽ m.
11. Loi des exposants.
(a) Soient f = Φ_(1/2) et α = β = 1/2. Calculer (D^α ∘ D^β)f et D^(α + β)f.
(b) Soient g = Φ_(3/2), α = 1/2 et β = 3/2. Calculer (D^α ∘ D^β)g, (D^β ∘ D^α)g et D^(α + β)g.
(c) Soit f(t) = t^λ η(t) où λ > − 1 et η(t) = ∑_(n ⩾ 0)α_n(t^n)/(n!) admet un rayon de convergence R > 0.
Montrer alors que pour tous 0 ⩽ t < R, 0 ⩽ β < λ + 1 et α ⩾ 0, on a : (D^α ∘ D^β)f = D^(α + β)f.
12. Soit un réel α > 0 et m − 1 < α ⩽ m. On pose alors, sous réserve d'existence, D_∗^α f:=J^(m − α) ∘ D^m f, i.e.
D_∗^α f(t) = {1/(Γ(m − α))∫_0^t(f^((m))(u))/((t − u)^(α + 1 − m)) du, si, m − 1 < α < m; D^m f(t), si, α = m
(a) Soit une fonction f de classe C^m, telle que D_∗^α f soit bien définie et égale à la fonction nulle. Montrer que f est un polynôme de degré inférieur ou égal à m − 1.
  1. La fonction 𝟙, qui n'est pas définie explicitement dans l'énoncé d'origine, est vraisemblablement la fonction constante égale à 1 .
    (b) Soit f une fonction de classe C^1 sur [0, + ∞[, et soit 0 < α < 1. Montrer que (D ∘ J^α)f(x) = (J^α ∘ D)f(x) + f(0)Φ_α(x).
    (c) Soit m − 1 < α < m et soit f de classe C^m sur [0, + ∞[, à valeurs réelles. Sous réserve d'existence de tous les termes, montrer que :
D^α f(x) = D_∗^α f(x) + ∑_(k = 0)^(m − 1)(x^(k − α))/(Γ(k − α + 1))f^((k))(0)
(d) En déduire que D^α(f(x) − ∑_(k = 0)^(m − 1)(f^((k))(0))/(k!)x^k) = D_∗^α f(x).

C - Deux équations différentielles fractionnaires

  1. Pour 0 < α < 1, l'équation d'Abel en g est :
1/(Γ(α))∫_0^t(g(u))/((t − u)^(1 − α))du = f(t)
où f est une fonction dérivable sur [0, + ∞[ et d'ordre exponentiel.
(a) Exprimer g en fonction de f à l'aide de l'opérateur D^α.
(b) On suppose que g est d'ordre exponentiel. Exprimer la transformée de Laplace de g en fonction de celle de f.
14. Pour α ⩾ 0 on introduit la série entière:
E_α(θ) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(θ^k)/(Γ(1 + αk))
(a) Calculer E_0(θ), E_1(θ) et E_2(− θ^2).
(b) Montrer que le rayon de convergence de E_α(θ) est strictement positif.
(c) On pose e_α(t) = E_α(− (t^α)) et on admet qu'il est d'ordre exponentiel. Montrer que pour s > 1, on a L(e_α)(s) = (s^(α − 1))/(s^α + 1).
(d) On pose u_k:=J^k e_α. Montrer que L(u_k)(s) = (s^(α − k − 1))/(s^α + 1).
15. On cherche à résoudre l'équation D_∗^α u = − u. Montrer qu'après application de l'opérateur J^α, cette équation devient :
u(t) = ∑_(k = 0)^(m − 1)c_k(t^k)/(k!) − J^α u(t)
où on précisera les c_k.
16. On suppose que u est d'ordre exponentiel. Montrer que:
L(u)(s) = ∑_(k = 0)^(m − 1)(c_k)/(s^(k + 1)) − 1/(s^α)L(u)(s)
et en déduire que u = ∑_(k = 0)^(m − 1)c_k u_k.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet X-ENS maths PSI 2021 ?
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Sur quoi porte le sujet X-ENS maths PSI 2021 ?

Sur l'intégration et la dérivation fractionnaires : fonction Gamma, convolution et transformation de Laplace en préliminaires, puis dérivées de Riemann-Liouville et de Caputo et deux équations différentielles fractionnaires.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en X-ENS maths PSI 2021 ?

Des convergences d'intégrales mal justifiées, le paramètre situé dans les bornes non repéré, des majorations mal conduites, des inégalités multipliées sans contrôle des signes et un usage approximatif de la convergence dominée.

Le sujet X-ENS maths PSI 2021 est-il long ?

Oui. Le jury note que les dernières questions n'ont pas été abordées, ce qu'il jugeait prévisible vu la longueur du sujet.

Quelles questions de X-ENS maths PSI 2021 étaient les plus accessibles ?

Selon le jury, les questions 3b, 3c, 7b, 8 et 10c ont été plutôt bien réussies. Beaucoup de candidats ont délaissé la question 12 pour les questions plus faciles de la partie C, et une proportion notable a gagné des points aux questions 13 et 14.

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