E3A Mathématiques A PSI 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Matrices nilpotentes, noyaux itérés et exponentielle de matrice

L'épreuve comporte quatre questions de cours suivies d'un problème d'algèbre linéaire couvrant la plus grande partie du programme de Sup et Spé. Après une partie calculatoire de familiarisation en dimension 3, le problème étudie les propriétés d'une matrice nilpotente type J(0), les noyaux itérés d'un endomorphisme, la caractérisation des endomorphismes nilpotents de rang n-1, puis la résolution de l'équation exp(X) = J(mu) à l'aide des nombres complexes.

1Questions de courspremière et deuxième annéesRang d'une matrice, théorème du rang, matrices semblables, polynôme annulateur.
2Partie 1 : calculs préliminairesÉléments propres et réduction d'une matrice 3x3 en exemple introductif.
3Partie 2 : propriétés de la matrice J(0)Rang, puissances et nilpotence de J(0), exponentielle de matrice.
4Partie 3 : noyaux itérés d'un endomorphismeCroissance des noyaux itérés et existence d'un rang de stabilisation.
5Partie 4 : endomorphismes nilpotents de rang n-1Caractérisation et classification à similitude près des endomorphismes nilpotents de rang maximal.
6Partie 5 : résolution de l'équation exp(X) = J(mu)Résolution d'équations du type e^z = mu dans C, puis application matricielle.

Difficile. Le rapport signale des notions simples du programme mal assimilées, y compris des règles de manipulation des puissances non acquises dans 80 % des copies.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées

Erreurs de calcul imputées à tort au sujet · Règles de manipulation des puissances non maîtrisées · Formule du binôme de Newton mal connue ou réinventée

Le sujet, de difficulté graduée, couvrait une grande partie du programme d'algèbre linéaire des deux années de CPGE. Le jury s'étonne que des notions simples du cours soient aussi mal assimilées en deuxième année, et regrette que de nombreux candidats attribuent au concepteur du sujet leurs propres erreurs de calcul plutôt que de les corriger.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Erreurs de calcul imputées à tort au sujetPartie 1
Face à une erreur de calcul, de nombreux candidats préfèrent affirmer que le sujet est faux plutôt que de reprendre leurs calculs, alors que la solution était donnée.
« La solution étant donnée, il leur est souvent plus simple de dire que le sujet est faux plutôt que de reprendre leurs calculs. »
2
Règles de manipulation des puissances non maîtriséesPartie 2
Les règles de manipulation des puissances, pourtant du programme de la classe de cinquième, ne sont pas acquises dans 80 % des copies.
« Les règles de manipulation des puissances du programme de la classe de cinquième ne sont pas acquises dans 80 % des copies. »
3
Formule du binôme de Newton mal connue ou réinventéePartie 2
Certains candidats ignorent la formule du binôme de Newton et, pire, en inventent une autre.
« en inventer une autre. »
4
Nature des objets manipulés mal identifiéePartie 3
Des fautes graves sur la manipulation des vecteurs révèlent que certains candidats ne savent pas toujours quelle est la nature de ce qu'ils manipulent (vecteur, nombre, matrice, endomorphisme).
« savent-ils toujours la nature de ce qu’ils manipulent »

Ce qui a été bien réussi

La partie 4, la plus abstraite, a été traitée avec une grande réussite sur ses dernières questions, plus simples, par les candidats qui les ont abordées.
Un peu de bon sens a permis à certains candidats d'éviter des erreurs grossières sur les équations simples de la partie 5.

Conseils du jury

Toujours démontrer un résultat plutôt que de l'énoncer de façon péremptoire, même s'il semble évident.
Se relire avant de rendre sa copie, en particulier pour vérifier des calculs basiques.
Revoir les notions de base du programme de Sup, comme la matrice d'un endomorphisme dans une base donnée.
Bien identifier la nature de chaque objet manipulé (vecteur, matrice, endomorphisme, scalaire) avant d'effectuer une opération.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Épreuve de Mathématiques A PSI
durée 3 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est interdit

Questions de cours.

Donner la définition du rang d'une matrice.
Citer sans démonstration le théorème du rang.
Quand dit-on que deux matrices sont semblables ? Ont-elles alors même rang ? (On ne demande pas de justifier votre réponse)
Qu'appelle-t-on polynôme annulateur d'un endomorphisme, d'une matrice?

Problème.

Dans tout le problème,

n

est un entier naturel non nul et

M_n(ℂ)

désigne l'espace vectoriel normé des matrices carrées d'ordre

n

à coefficients complexes.

GL_n(ℂ)

est le groupe des matrices inversibles de

M_n(ℂ)

.
La matrice unité de cet espace sera notée

I_n

et la matrice nulle

O_n

.
L'espace

E = ℂ^n

est rapporté à une base

B = (e_j)_(1 ⩽ j ⩽ n)

et on rappelle que toute matrice carrée d'ordre

n

représente dans cette base un endomorphisme de

E

appelé endomorphisme associé.
Si

v

est un endomorphisme de

E

, on rappelle que :

v^0

est l'endomorphisme identité,
et

\forallm \in ℕ, v^(m + 1) = vov^m

.
L'endomorphisme

ν

sera dit nilpotent s'il existe un entier

r \in ℕ

tel que

ν^r = θ

(endomorphisme nul de

E

).
Pour tout

λ \in ℂ^*

, on note

J(λ)

la matrice carrée d'ordre

n

définie par :

J(λ) = (u_(ij))

avec

{∀i ∈ {1, …, n − 1}, u_(i + 1, i) = 1; ∀i ∈ {1, …, n}, u_(ii) = λ; u_(ij) = 0 sinon

Pour tout nombre complexe

z = x + iy, (x, y) \in ℝ^2

, on rappelle que :

e^z = e^x e^(iy) = e^x(cosy + isiny)

Pour

M \in M_n(ℂ)

, soit

α(M)

la matrice :

α(M) = lim_(m \to + \infty)S_m

avec

S_m = \sum_(k = 0)^m(M^k)/(k!)

On rappelle que pour calculer cette limite, il suffit de calculer la limite de chacun des termes de la matrice

S_m

On admettra et on utilisera sans le démontrer que cette matrice existe toujours et que si

A

B

sont deux matrices de

M_n(ℂ)

qui commutent, alors

α(A + B) = α(A)α(B)

Partie 1: Quelques calculs préliminaires.

Soit $A = (2, - 3, 3; - 3, 3, - 4; - 3, 4, - 5) \in M_3(ℂ)$ .

Déterminer les éléments propres de la matrice

A

.
2. Vérifier que :

ker(A + I_3)^2 \oplus ker(A - 2I_3) = ℂ^3

.
3. En déduire que la matrice

A

est semblable à la matrice :

(- 1, 1, 0; 0, - 1, 0; 0, 0, 2)

Partie 2: Quelques propriétés de la matrice $J(0)$ .

Déterminer le rang de $J(0)$ .
2.1. Déterminer $J(0)^k$ pour $k \in ℕ, k ⩽ n - 1$ , puis pour tout $k \in ℕ, k ⩾ n$ .
2.2. Vérifier que toutes les puissances de $J(0)$ sont des matrices nilpotentes.
Déterminer $α(J(0))$ puis $U = α(J(0)) - I_n$ .
Montrer que toute combinaison linéaire de deux matrices nilpotentes qui commutent est encore une matrice nilpotente.
Montrer que $U$ est une matrice nilpotente de rang $n - 1$ .

Partie 3 : Quelques résultats sur les noyaux itérés d'un endomorphisme.

Soit

u

un endomorphisme de

E

Prouver que $\forall(i, j) \in ℕ^2, ker(u^i) \subset ker(u^(i + j))$ .
Pour tout $m \in ℕ$ , on note $t_m = dim(keru^m)$ .

Prouver que :

r = inf{m ∈ ℕ, t_m = t_(m + 1)}

existe.
3. Montrer que :
(i)

\forallm < r, ker(u^m)

est strictement inclus dans

ker(u^(m + 1))

,
(ii)

ker(u^r) = ker(u^(r + 1))

,
(iii)

\forallm ⩾ r, ker(u^m) = ker(u^(m + 1))

Partie 4 : Recherche des endomorphismes nilpotents de rang

n - 1

.
Soit

V

une matrice de

M_n(ℂ)

, de rang

n - 1

et vérifiant :

V^n = O_n

.
On note

v

l'endomorphisme de

E

associé à

V

Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels et $w$ la restriction de $v^q$ à $Im(v^p)$ .
1.1. Déterminer $Im(w)$ .
1.2. Prouver que : $ker(w) \subset ker(v^q)$ .
1.3. Vérifier alors que l'on a:

dim(ker(v^(p + q))) ⩽ dim(ker(v^p)) + dim(ker(v^q)).

1.4. En déduire :

∀i ∈ {1, …, n}, dim(ker(v^i)) ⩽ i.

1.5. Démontrer qu'en fait :

∀i ∈ {1, …, n}, dim(ker(v^i)) = i

.
2. Prouver alors que

v^(n - 1) \neq θ

.
3. En déduire qu'il existe un vecteur

e

E

tel que :

B_1 = (e, v(e), v^2(e), \dots, v^(n - 1)(e))

soit une base de

E

.
4. Ecrire la matrice de

v

dans cette base.

Interpréter le résultat obtenu à l'aide des matrices

J(λ)

.
5. Déterminer alors tous les endomorphismes nilpotents de rang

n - 1

et montrer que les matrices de deux tels endomorphismes sont semblables.

Partie 5 : Résolution de l'équation

J(μ) = α(X)

d'inconnue

X \in M_n(ℂ)

Montrer que : $\forallM \in M_n(ℂ), \forallP \in GL_n(ℂ)$ ,

P^(- 1)α(M)P = α(P^(- 1)MP).

Résoudre dans $ℂ$ les équations:

e^z = i, e^z = - 1, e^z = - 3 - 4i.

Plus généralement, soit $μ \in ℂ$ .

Déterminer, lorsque cela est possible, tous les nombres complexes

z = x + iy \in ℂ

tels que :

e^z = μ

.
4. On prend alors

μ \neq 0

et on note

s

un des nombres complexes tel que

: e^s = μ

.
4.1. Déterminer :

α(sI_n)

.
4.2. On écrit alors

J(s)

sous la forme :

J(s) = sI_n + J(0)

Exprimer

α(J(s))

à l'aide de

α(J(0))

et de

μ

.
4.3. Vérifier que la matrice :

μ[α(J(0)) - I_n]

est nilpotente de rang

n - 1

.
4.4. En déduire qu'il existe une matrice inversible

Q \in GL_n(ℂ)

telle que :

Q^(- 1) α(J(s))Q = J(μ)

Donner alors dans $M_n(ℂ)$ une solution à l'équation proposée : $α(X) = J(μ)$ .
En déduire dans $M_n(ℂ)$ une solution à l'équation : $α(X) = ^t J(μ)$ .
Applications
7.1. On considère la matrice $T = (i, 1; 0, i) \in M_2(ℂ)$ , $i^2 = - 1$ .

Déterminer une matrice

X_1

telle que :

α(X_1) = T

.
7.2. On va chercher une matrice

X_2 \in M_3(ℂ)

telle que :

α(X_2) = A

où

A

désigne la matrice de

M_3(ℂ)

définie à la partie 1.
7.2.1. Déterminer une matrice

B_1 \in M_2(ℂ)

telle que :

α(B_1) = (- 1, 1; 0, - 1)

.
7.2.2. Soit

H = (B_1, 0; 0; 0, 0, ln2) \in M_3(ℂ)

. Calculer

α(H)

.
7.2.3. Déterminer alors une matrice

X_2 \in M_3(ℂ)

telle que :

α(X_2) = A

Fin de l'épreuve.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques A PSI e3a 2007 ?

Le sujet porte sur les matrices nilpotentes, les noyaux itérés d'un endomorphisme, la classification des endomorphismes nilpotents de rang n-1, et l'exponentielle de matrice via les nombres complexes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de mathématiques A PSI e3a 2007 ?

Le jury relève des erreurs de calcul imputées à tort au sujet, des règles de manipulation des puissances non acquises dans 80 % des copies, une formule du binôme de Newton mal connue, et une confusion sur la nature des objets manipulés.

Cette épreuve de mathématiques A PSI e3a 2007 est-elle difficile ?

Le rapport la qualifie de difficulté graduée, mais souligne que des notions très simples du programme sont mal assimilées, ce qui a pénalisé de nombreux candidats sur des points censés être acquis.

Cette épreuve de mathématiques A PSI e3a 2007 est-elle un bon entraînement sur les matrices nilpotentes ?

Oui, une grande partie du problème (parties 2 à 4) est consacrée à l'étude des matrices et endomorphismes nilpotents, de leurs noyaux itérés et de leur classification à similitude près.

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Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

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L'usage de la calculatrice est interdit

Problème.

Partie 1: Quelques calculs préliminaires.

Partie 2: Quelques propriétés de la matrice J(0).

Partie 3 : Quelques résultats sur les noyaux itérés d'un endomorphisme.

Fin de l'épreuve.

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques A PSI e3a 2007 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de mathématiques A PSI e3a 2007 ?

Cette épreuve de mathématiques A PSI e3a 2007 est-elle difficile ?

Cette épreuve de mathématiques A PSI e3a 2007 est-elle un bon entraînement sur les matrices nilpotentes ?

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Épreuve de Mathématiques A PSI
durée 3 heures

Partie 2: Quelques propriétés de la matrice $J(0)$ .