E3A Mathématiques B PSI 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

On note C l'ensemble des nombres complexes, R l'ensemble des nombres réels et n un entier naturel, n ≥ 2.
1^∘ Soient a_1, a_2, ……, a_n des nombres complexes.
On note V(a_1, a_2, ……, a_n) le déterminant de la matrice carrée d'ordre n telle que, pour ( i, j ) élément de {1, 2, ….., n}^2, le coefficient situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne vaut a_j^(i − 1) (on rappelle que a_j^0 = 1 ).

Pour n ≥ 3, montrer que : V(a_1, a_2, ……, a_n) = V(a_1, a_2, ……, a_(n − 1))∏_(1 ≤ i ≤ n − 1)(a_n − a_i).
Etablir l'égalité : V(a_1, a_2, ……, a_n) = ∏_(1 ≤ i < j ≤ n)(a_j − a_i).
Les questions 2^∘ et 3^∘ qui suivent sont indépendantes l'une de l'autre.
2^∘ On désigne par E l'espace vectoriel des polynômes en X, à coefficients complexes et de degré inférieur ou égal à n. Soient λ_0, λ_1, ……, λ_n des nombres complexes 2 à 2 distincts .
Démontrer que ((X + λ_0)^n, (X + λ_1)^n, ……, (X + λ_n)^n) est une base de E .
3^∘ Soient x_1, x_2, ……, x_n des nombres réels non nuls, 2 à 2 distincts et c_1, c_2, ……, c_n des nombres complexes.
On considère l'application g de R vers C telle que : g(t) = ∑_(k = 1)^n c_k e^(ix_k t).
a) Montrer qu'il existe un réel α strictement positif tel que les n nombres complexes e^(iαx_1), e^(iαx_2), ……, e^(iαx_n) soient 2 à 2 distincts.
b) Pour t réel, on pose : Y(t) = (g(t); g(t + α); g(t + 2α); ⋅; ⋅; ⋅; g(t + (n − 1)α)) et X(t) = (c_1 e^(ix_1 t); c_2 e^(ix_2 t); c_3 e^(ix_3 t); ⋅; ⋅; ⋅; c_n e^(ix_n t))
i) Déterminer une matrice carrée A d'ordre n à coefficients complexes telle que : Y(t) = AX(t).
ii) Montrer que la matrice A est inversible.
c) On suppose que g admet une limite L dans C quand t tend vers + ∞.
i) Démontrer que X(t) admet une limite quand t tend vers + ∞.
ii) En déduire que pour k élément de {1, 2, ….., n}, c_k = 0.

R est le corps des nombres réels, et n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note E le R-espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans R, O_n(R) l'ensemble des matrices orthogonales de E et I_n la matrice unité de E . Pour M élément de E, ^t M et tr(M) désignent respectivement la matrice transposée de M et la trace de M.
Pour (i, j) élément de {1, 2, ….., n}^2, on note E_(ij) la matrice de E dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne qui vaut 1 .

Soient A et B deux éléments fixés de E et f l'endomorphisme de E défini par :

1^∘ Soit C un élément de E . Calculer CE_(ij) et E_(ij)C.
On suppose que pour tout M élément de E, CM = MC. Prouver qu'il existe a dans R tel que : C = aI_n.
2^∘ Pour M et N appartenant à E , on pose : ⟨M|N⟩ = tr(^t MN). Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur E .

Dans la suite de l'exercice, E est muni de ce produit scalaire.
3^∘ On note f^∗ l'endomorphisme adjoint de f. Montrer que :

4^∘ Dans cette question on veut déterminer une condition nécessaire et suffisante sur A et B pour que f soit un endomorphisme orthogonal de E .
a) On suppose que f est un endomorphisme orthogonal de E .
i) Prouver que les matrices ^t AA et B^t B sont inversibles et que l'une est l'inverse de l'autre.
ii) Démontrer qu'il existe un réel a strictement positif tel que ^t AA = aI_n.
b) Démontrer que f est un endomorphisme orthogonal de E si et seulement s'il existe un réel λ strictement positif et deux matrices Ω_1 et Ω_2 appartenant à O_n(R) vérifiant : A = λΩ_1 et B = 1/λΩ_2.

Dans cet exercice, R est l'ensemble des nombres réels et n est un entier naturel.
1^∘ Soit Γ la fonction numérique de la variable réelle suivante : x → Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)t^(x − 1)dt.
a) Montrer que l'ensemble de définition de Γ est ]0, + ∞[.

On rappelle que : ∫_0^(+ ∞)e^(− t^2)dt = (√π)/2. En déduire : Γ(1/2) = √π.
Dans la suite de la question 1^∘, x désigne un réel strictement positif.
b) Pour n ≥ 1, on considère l'application f_n de ]0, + ∞[ vers R définie par :

i) Etablir, pour tout réel u, l'inégalité : 1 + u ≤ e^u.
ii) Montrer que : lim_(n → + ∞)∫_0^(+ ∞)f_n(t)dt = Γ(x).
c) On pose : I_n(x) = ∫_0^1(1 − t)^n t^(x − 1)dt.

Prouver que pour n ≥ 1, on a : ∫_0^(+ ∞)f_n(t)dt = n^x I_n(x) et I_n(x) = n/xI_(n − 1)(x + 1).
d) En déduire : Γ(x) = lim_(n → + ∞)n^x(n!)/(x(x + 1)(x + 2)…(x + n)).
2^∘ Soit p un entier naturel non nul et a_n = ∫_0^1(1 − t^p)^n dt.
a) Prouver que pour n ≥ 1, on a : a_n = np(a_(n − 1) − a_n).
b) En déduire une expression de a_n en fonction de n et de p ne comportant pas de signe d'intégrale.
c) Etablir l'équivalence : a_n ∼ _(n → + ∞)(Γ(1/p))/(pn^(1/p)).
d) Soit c un élément de ]0, 1[. On pose : a_n(c) = ∫_0^c(1 − t^p)^n dt.

Prouver que : a_n − a_n(c) ≤ (1 − c^p)^n. En déduire l'équivalence : a_n(c) ∼ _(n → + ∞)a_n.
3^∘ Soit g une application de [0, 1] vers [0, 1] continue, décroissante telle que :

où p est un entier naturel non nul, λ un élément de ]0, + ∞[ et où lim_(t → 0)ε(t) = 0.
On pose : u_n = ∫_0^1(g(t))^n dt.
a) Soit λ_1, λ_2 deux réels tels que : 0 < λ_1 < λ < λ_2.
i) Justifier l'existence d'un réel c élément de ]0, 1[ vérifiant :

ii) En déduire que : ∫_0^c(1 − λ_2 t^p)^n dt ≤ u_n ≤ (g(c))^n + ∫_0^c(1 − λ_1 t^p)^n dt.
iii) Prouver que : 1/(λ_2^(1/p))a_n(cλ_2^(1/p)) ≤ u_n ≤ (g(c))^n + 1/(λ_1^(1/p))a_n(cλ_1^(1/p)).
b) Cette question est plus technique et pourra être admise afin d'aborder directement la question 4^∘.
Etablir l'équivalence : u_n ∼ _(n → + ∞)(Γ(1/p))/(p(nλ)^(1/p))
4^∘ Pour n ≥ 1, on considère : v_n = ∫_0^1(t/(sht))^n dt.
a) Justifier l'existence de v_n.
b) Déterminer un équivalent de v_n lorsque n tend vers + ∞.