Sujet E3A Mathématiques B PSI 2003

R désigne l'ensemble des nombres réels et n est un entier naturel non nul.
Dans tout l'exercice, ( a_n ) est une suite d'éléments non nuls de R. On lui associe la suite ( p_n ) définie par : p_n = ∏_(k = 1)^n a_k. Lorsque ( p_n ) converge, on note p sa limite.
Lorsque ( p_n ) diverge vers + ∞ (respectivement vers − ∞ ), on dit que ( p_n ) admet + ∞ (respectivement vers − ∞ ) pour limite.

1^∘ Donner un exemple de suite ( a_n ), telle que ( p_n ) converge vers p = 0.
2^∘ Prouver que, si ( p_n ) converge vers p différent de 0 , alors ( a_n ) converge vers 1 .
3^∘ On suppose dans cette question qu'il existe un entier naturel n_0 tel que :

On pose, pour n supérieur à n_0, q_n = ∏_(k = n_0 + 1)^n a_k.
a) Pour n supérieur à n_0, exprimer q_n en fonction de p_n et de p_(n_0).
b) Montrer que, si la série ∑ln(a_n) converge, alors la suite ( p_n ) converge et que p est non nul.
c) On suppose que la suite des sommes partielles de la série ∑ln(a_n) diverge vers + ∞ ou − ∞. Préciser dans chacun de ces deux cas la limite de la suite (p_n).

Dans ce qui suit, on définit u_n par : a_n = 1 + u_n.
4^∘ On suppose dans cette question que, pour tout n, on a : u_n ≥ 0.
Démontrer que la suite (p_n) converge vers p > 0 si et seulement si la série ∑u_n converge.
5^∘ On suppose dans cette question que la série ∑u_n converge.
a) Montrer que, si la série ∑u_n^2 converge, alors la suite ( p_n ) converge et p est non nul.
b) Montrer que, si la série ∑u_n^2 diverge, alors la suite ( p_n ) converge et p = 0.
6^∘ Prouver que, si la série ∑u_n est absolument convergente, alors la suite (p_n) converge et p est non nul.

Les quatre questions qui suivent sont indépendantes l'une de l'autre. On pourra les traiter en utilisant les résultats établis dans la première partie, à condition de s'y référer de manière très précise.
1^∘ Etudier la convergence et déterminer la limite de ( p_n ) dans les deux cas suivants :
a) a_n = 1 + 1/n.
b) a_n = 1 + (− 1)^n(ln(n))/(√n).
2^∘ On rappelle que ∫_0^(+ ∞)e^(− t^2)dt = (√π)/2.
On pose : a_n = 2/(√π)∫_0^n e^(− t^2)dt. La suite ( p_n ) est-elle convergente ?
3^∘ Soit ( u_n ) une suite de nombres réels vérifiant : 1 + u_n ≠ 0 pour n ≥ 1. On pose :

a) Pour n > 1, exprimer v_n en fonction de 1/(p_n) et de 1/(p_(n − 1)).
b) On suppose dans cette question que la série ∑u_n^2 converge.
i) Etablir que la convergence de la série ∑u_n implique la convergence de la série ∑v_n.
ii) La convergence de la série ∑v_n implique-t-elle la convergence de la série ∑u_n ? Justifier.
c) Déterminer une suite ( u_n ) telle que la série ∑u_n converge et la série ∑v_n diverge.
4^∘ Soit α un réel strictement positif, et a_n = 1 + sin(c/(n^α)) où c est un nombre réel tel que pour tout n, a_n soit non nul.
a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur α et c pour que ( p_n ) converge vers 0
b) On suppose que : α = 1.

Etudier la convergence de la série ∑p_n
[ On pourra utiliser la convergence vers un réel noté γ de la suite (t_n) où
t_n = 1 + 1/2 + …… + 1/n − ln(n)].

R désigne l'ensemble des nombres réels et n est un entier naturel, n ≥ 2.
On introduit les notations suivantes :
M_n(R) est l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels, M_(n_1 1)(R) est l'ensemble des matrices à n lignes, une colonne et à coefficients réels.
GL_n(R) est l'ensemble des matrices inversibles de M_n(R),
O_n(R) est l'ensemble des matrices orthogonales de M_n(R),
S_n(R) est l'ensemble des matrices symétriques de M_n(R), S_n^+(R) est l'ensemble des matrices de S_n(R) dont toute valeur propre est positive ou nulle, S_n^(+ +)(R) est l'ensemble des matrices de S_n(R) dont toute valeur propre est strictement positive,
TS_n(R) est l'ensemble des matrices triangulaires supérieures de M_n(R), TS_n^(+ +)(R) est l'ensemble des matrices de TS_n(R) dont les coefficients diagonaux sont strictement positifs.
On rappelle que TS_n(R) est stable pour la multiplication des matrices et que si une matrice de TS_n(R) est inversible, son inverse appartient à TS_n(R).
Pour toute matrice M on note ^t M la transposée deM et det(M) le déterminant de M lorsque M est une matrice carrée.
E et F étant deux R-espaces vectoriels de dimensions finies de bases u et v respectivement et g une application linéaire de E vers F, M_(u, v)(g) désigne la matrice de g dans les bases u et v.
1^∘R^n est muni du produit scalaire usuel noté ⟨|⟩, donc si x = (x_1, x_2, …, x_n) et y = (y_1, y_2, …., y_n) sont des éléments de R^n on a : ⟨x|y⟩ = ∑_(k = 1)^n x_k y_k b = (e_1, e_2, …., e_n) est la base canonique de R^n.
Soit A un élément de GL_n(R) et f l'endomorphisme de R^n tel que : M_(b, b)(f) = A.
a) Pour tout i élément de {1, 2, …., n}, on pose : e_i^′ = f(e_i).

Prouver que b^′ = (e_1^′, e_2^′, ……, e_n^′) est une base de R^n.
b) Soit b^(′′) = (e_1^(′′), e_2^(′′), ….., e_n^(′′)) la base orthonormale de R^n déduite de b^′ par le procédé d'orthonormalisation de Schmidt. On rappelle que pour tout j élément de {1, 2, ….., n}, le sous espace vectoriel engendré par ( e_1^′, e_2^′, ….., e_j^′ ) est égal au sous espace vectoriel engendré par ( e_1^(′′), e_2^(′′), ….., e_j^(′′) ).
Etablir que pour tout j élément de {1, 2, ….., n} on a : ⟨e_j^(′′)|e_j^′⟩ > 0.
c) Soit Id l'application identique de R^n. Exprimer A en fonction de M_(b^(′′), b)(Id) et de M_(b, b^(′′))(f).
d) Démontrer qu'il existe U appartenant à O_n(R) et T appartenant à TS_n^(+ +)(R) tels que : A = UT.
e) Soit N une matrice appartenant à la fois à O_n(R) et à TS_n(R). Prouver que N est diagonale et que les coefficients diagonaux de N valent 1 ou -1 .
En déduire l'unicité du couple ( U, T ) de O_n(R) × TS_n^(+ +)(R) vérifiant A = UT.
2^∘ Soit S une matrice de S_n^+(R).
a) La matrice S est-elle diagonalisable ? Justifier. En déduire qu'il existe M élément de M_n(R) tel que : S = ^t MM.
b) On suppose que S appartient à S_n^(+ +)(R). Montrer qu'il existe M élément de GL_n(R) tel que : S = ^t MM.
c) Soit M un élément de GL_n(R) et X un élément de M_(n, 1)(R). Prouver que : ^t X^t MMX ≥ 0. En déduire que ^t MM appartient à S_n^(+ +)(R).
3^∘ Soit S une matrice de S_n^(+ +)(R).
a) Déduire des questions 1^∘ d) et 2^∘ b) l'existence d'une matrice T de TS_n^(+ +)(R) telle que S = ^t TT.
b) Justifier l'unicité de cette matrice T.
c) On note s_(ij) le coefficient de S situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne de S.
i) Déduire de la question 3^∘ a) que : 0 < det(S) ≤ ∏_(i = 1)^n s_(ii).
ii) Déterminer toutes les matrices S de S_n^(+ +)(R) vérifiant det(S) = ∏_(i = 1)^n s_(ii).
4^∘ On considère M et N des éléments de GL_n(R).
Démontrer que l'égalité ^t MM = ^t NN est vérifiée si et seulement s'il existe V élément de O_n(R) tel que M = VN.