Centrale Physique PSI 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

Ce problème s'intéresse à différents aspects du fonctionnement d'une éolienne destinée à produire de l'énergie électrique.
Les différentes parties sont largement indépendantes les unes des autres.
Le document annexe à rendre avec la copie concerne les questions I.A. 6 et I.C.3.

La Terre est considérée comme une sphère de rayon R_T de centre O_T. Le référentiel géocentrique ℛ_G est considéré comme galiléen. On lui lie un repère direct ( O_T, u_1^(→−), u_2^(→−), u_3^(→−) ) où u_3^(→−) est parallèle à l'axe des pôles et est orienté du Sud vers le Nord. Le référentiel terrestre ℛ_T est en rotation à la vitesse angulaire constante Ω⃗ = Ωu_3^(→−) par rapport à ℛ_G. À tout point M de la surface de la Terre, de latitude λ, on associe un repère local (M, e_x^(→−), e_y→, e_z→), lié à ℛ_T, tel que e_z→ soit colinéaire à O_T M et orienté vers l'extérieur, et que e_x^(→−) soit dirigé vers le Sud. La latitude λ peut varier de

− π/2 (pôle Sud) à + π/2 (pôle Nord). On note g⃗ le champ de pesanteur à la surface de la Terre, on fera l'approximation de le considérer comme dirigé selon − e_z→. L'atmosphère est une fine couche d'air à la surface de la Terre. L'air sera considéré comme un gaz parfait de masse molaire ℳ. On note v⃗ le champ eulérien des vitesses dans l'atmosphère, par rapport au référentiel ℛ_T, P(x, y, z) celui des pressions et ρ(x, y, z) la masse volumique de l'air.
Pour les applications numériques, on prendra

On négligera la viscosité de l'air et en conséquence on considérera les écoulements dans l'atmosphère comme parfaits. L'étude menée dans cette partie I ne concerne que les vents dominants, c'est-à-dire des écoulements de grande échelle, relativement réguliers dans le temps (on fera d'ailleurs à partir du I.A. 4

une hypothèse de stationnarité). Ces vents représentent des vents «moyens», auxquels se rajoutent dans la réalité des vents plus locaux et des vents plus conjoncturels (passage d'un anticyclone, d'une dépression...)
I.A.1) Montrer que la relation fondamentale de la dynamique, appliquée à une particule de fluide de l'atmosphère, s'écrit sous la forme :

Pourquoi ne voit-on pas apparaître dans cette équation de terme de force d'inertie d'entraînement?
I.A.2) En faisant l'hypothèse que l'atmosphère est isotherme à la température T, établir l'expression que prendrait la pression P_(éq)(x, y, z) si l'air était à l'équilibre (c'est-à-dire immobile en tout point par rapport à ℛ_T ). En déduire un ordre de grandeur de l'épaisseur de l'atmosphère.
I.A.3) On note alors p(x, y, z) = P(x, y, z) − P_(éq)(x, y, z).

On se limite maintenant à l'étude d'écoulements stationnaires dans ℛ_T.
I.A.4) On note U un ordre de grandeur caractéristique des vitesses de l'écoulement, L une dimension horizontale caractéristique de celui-ci. On appelle nombre de Rossby (noté Ro ) d'un écoulement le rapport sans dimension entre le terme d'accélération et le terme lié à la force de Coriolis dans l'équation (2). Évaluer Ro pour un écoulement atmosphérique typique pour lequel U = 10 m ⋅ s^(− 1) et L = 1000 km. Commenter le résultat obtenu: en fonction de la valeur de Ro, quels sont les termes prédominants dans l'équation (2) ?
I.A.5) On considère des écoulements atmosphériques de bas nombre de Rossby ( Ro « 1 ) , appelés écoulements géostrophiques et on ne gardera que les termes prédominants dans l'équation (2). La faible épaisseur de l'atmosphère (voir la question I.A.2) permet également de négliger la composante verticale v_z de l'écoulement. Établir l'expression du champ de vitesse v⃗ de ces écoulements en fonction de e_z→, grad^(→−)p, ρ, Ω et λ. Expliquer pourquoi seule la composante horizontale de grad p intervient en fait dans l'expression de v⃗.
I.A.6) La figure 2 donne la valeur moyenne de la pression atmosphérique P au niveau du sol, le long d'un méridien quelconque, en fonction de la latitude, pour l'hémisphère nord. La figure 3 donne la circulation générale des vents
moyens dans l'hémisphère nord. Faire le lien entre ces deux figures et discuter de la validité du modèle étudié, suivant la latitude λ. Compléter la figure 3 , qui a été reproduite en annexe, en faisant figurer la circulation générale des vents moyens dans l'hémisphère sud (on admettra que la pression moyenne P est une fonction paire de λ ).

I.A.7) Estimer numériquement la norme de la vitesse des vents dominants à la latitude de 45^∘.

Dans cette partie, on étudie l'interaction mécanique entre l'air en mouvement (le vent) et le rotor de l'éolienne. C'est une étude locale, on se placera dans le référentiel terrestre ℛ_T, considéré comme galiléen. Il lui est lié un repère cartésien ( e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z ).
En amont, loin de l'éolienne, le vent est uniforme et permanent de vitesse v⃗_0 = v_0 e⃗_x, et la pression est elle aussi uniforme, de valeur notée P_0; on suppose en effet que les effets de la pesanteur sont négligeables. On note toujours ρ la masse volumique de l'air.
L'éolienne est formée très schématiquement d'un mât portant un rotor d'axe horizontal.

Elle varie d'une valeur S_E loin en amont, à une valeur S_S, loin en aval, en passant par la valeur S_R = πD^2/4 au niveau du rotor.
Du fait de la variation lente de S(x), la vitesse peut être considérée comme uniforme sur chaque section x = Cte de ce tube de courant, et dirigée selon e⃗_x : v⃗ = v(x)e⃗_x. En particulier, on considère qu'au niveau du rotor, la vitesse du fluide est de la forme v⃗_R = v_R e⃗_x. On notera P(x) la pression dans le tube de courant à l'abscisse x. Dans le tube de courant, on fait l'approximation de considérer l'écoulement comme uniforme, loin en aval du rotor: v⃗_s = v_s e⃗_x. La pression y est aussi uniforme, à la même pression P_0 qu'en amont. On a donc, dans le tube de courant :

On définit (voir figure 4) quatre sections E, A, B, S du tube de courant. A et B sont situées de part et d'autre du rotor, et à sa proximité immédiate. On considérera ainsi que S_A = S_B = S_R et que v⃗_A = v⃗_B = v⃗_R = v_R e⃗_x, conformément au modèle d'une hélice plate. Enfin, la pression à l'extérieur du tube de courant est supposée non modifiée par la présence de l'éolienne, et a donc la
valeur uniforme P_0. On note F⃗ = Fe⃗_x la force totale exercée par l'hélice sur le fluide.
I.B.1) Établir une relation entre les grandeurs v_0, v_S, S_E et S_S et une autre entre v_0, v_R, S_E et S_R. Justifier la forme du tube de courant de la figure 4.
I.B.2) À l'aide d'un bilan de quantité de mouvement sur un système que l'on définira précisément, établir une relation entre v_0, v_S, S_E, ρ et F.
I.B.3) À l'aide d'un bilan de quantité de mouvement sur un système que l'on définira précisément, établir une relation entre P_A, P_B, D et F. En déduire une relation entre v_0, v_S, ρ, F et S_E.
I.B.4) Déduire des questions qui précèdent l'expression de la vitesse v_R de l'air au niveau du rotor, en fonction de v_0 et v_S.
I.B.5) Pourquoi l'écoulement ne peut-il être considéré comme parfait au voisinage immédiat du rotor ?
I.B.6) Déterminer l'expression de la puissance 𝒫 prélevée au vent par le rotor en fonction de ρ, S_R, v_0 et du rapport α = v_s/v_0.
I.B.7) Montrer que cette puissance 𝒫 atteint une valeur maximale 𝒫_(max) pour une valeur de α que l'on précisera. Exprimer 𝒫_(max) en fonction de ρ, S_R et v_0.
I.B.8) On examine les fiches techniques de deux éoliennes de types très différents : une de faible puissance, destinée à être montée sur un petit voilier pour l'alimenter en énergie électrique, l'autre de forte puissance destinée à produire de l'énergie électrique pour un réseau de distribution régional. Pour chacune, la fiche technique indique (entre autres données), le diamètre D du rotor, la «vitesse nominale» v_0 du vent pour laquelle elle a été conçue préférentiellement, et pour laquelle elle fournit sa «puissance nominale» 𝒫. Les fiches techniques sont établies en prenant une densité de l'air ρ égale à 1, 225 kg ⋅ m^(− 3).

Commenter ces données à l'aide des résultats obtenus précédemment (on attend ici des commentaires faisant appel à des arguments quantitatifs).

Dans cette partie, on va modéliser (de manière volontairement rudimentaire) le rotor de l'éolienne. On indique qu'un objet placé dans un fluide de masse volumique ρ en écoulement uniforme et stationnaire la vitesse uniforme v⃗_0 subit de la part de ce fluide une force F⃗ = T⃗ + R⃗, où T⃗, la traînée, est la composante de
F⃗ parallèle à v⃗_0 et R⃗, la portance, en est la composante perpendiculaire. T⃗ et R⃗ vérifient :

Dans ces expressions, A est l'aire de la projection de l'objet sur un plan perpendiculaire à v⃗_0, C_x et C_z sont deux fonctions du nombre de Reynolds Re. Cependant, dans la gamme de nombres de Reynolds dans laquelle va fonctionner l'éolienne, on peut considérer ces deux fonctions comme indépendantes de Re.
Le rotor de l'éolienne est un solide formé de deux pales diamétralement opposées par rapport à l'axe de rotation ( Δ ). Ce dernier axe est aligné avec la vitesse v⃗_0 = v_0 e⃗_x uniforme de l'air (loin en amont du rotor). On note Ω⃗ = Ωe⃗_x la vitesse de rotation, supposée constante, du rotor.

On utilisera le repère de coordonnées cylindriques (O, e_r→, e_θ→, e_x^(→−)). La figure 7 montre l'aspect du profil de la pale : elle a une longueur L et est inclinée d'un angle α par rapport au plan de rotation du rotor, α ∈ [0, π/2].
I.C.1) Exprimer la vitesse v⃗_r du vent en amont de la pale, dans le référentiel de la pale, en fonction de v⃗_0, r, Ω et e⃗_θ ( r étant la distance à l'axe ( Δ )). On notera i l'angle entre le plan de la pale et v⃗_r : i ∈ [0, π/2]; i est appelé angle d'incidence du vent sur la pale. Donner la relation qui existe entre i, α, v_0, r et Ω. Compléter la figure 7 (reproduite en annexe) en y ajoutant le vecteur v⃗_r et l'angle i. Comme la vitesse incidente v⃗_r dépend de la position r le long de la
pale, on s'intéresse uniquement à une portion d'une des deux pales, portion située entre les distances radiales r et r + dr (voir figures 5 et 6 ).
I.C.2) Montrer que, si l'on néglige l'épaisseur de la pale, ce que l'on supposera valable, l'aire dA de la projection de la portion étudiée sur un plan perpendiculaire à v⃗_r a pour expression dA = Ldrsini.
I.C.3) En faisant l'approximation que les expressions (3) sont applicables à la portion de pale étudiée, bien que v⃗_r ne soit pas uniforme dans le référentiel de la pale, exprimer les normes des forces dT⃗ et dR⃗ exercées par le vent sur la portion de pale, en fonction de ρ, v_0, r, Ω, L, dr, C_x(i), C_z(i) et i.
Compléter la figure 7 reproduite en annexe en ajoutant ces deux forces.
I.C.4) Déduire de ce qui précède l'expression du moment dΓ (par rapport à l'axe ( Δ )) de la force exercée par le vent sur la portion de pale.
I.C.5) Le tableau suivant donne les valeurs de C_x et C_z en fonction de l'angle d'incidence i, pour une pale de profil donné. L'angle i dépendant lui-même de r et de α, on peut alors tracer dΓ/dr en fonction de α, lorsque toutes les autres grandeurs sont

fixées.

La figure 8 donne ce tracé pour v_0 = 10 m ⋅ s^(− 1), Ω = 1tr ⋅ s^(− 1), pour deux valeurs de la distance radiale r, à savoir 2 m et 3 m . Les unités verticales sont arbitrai-
res. Commenter les tracés obtenus. Quelle forme convient-il de donner aux pales en vue d'augmenter le rendement de l'éolienne?

L'aéromoteur de la partie précédente entraîne maintenant une génératrice électrique destinée à alimenter une installation électrique. D'autre part, il est nécessaire de prévoir un stockage de l'énergie afin de pourvoir aux besoins de l'installation en cas de vent insuffisant. Pour les aéromoteurs de faible puissance dont la vitesse de rotation présente certaines fluctuations, on adopte le choix d'une génératrice à courant con-

tinu.

La génératrice est constituée d'un stator inducteur dont l'excitation est indépendante, d'un rotor (induit) alimentant une installation (figure 9). On désigne par : i_e, le courant d'excitation circulant dans le bobinage inducteur du stator ; U, la tension aux bornes de l'induit ;
I, le courant circulant dans l'induit ;
Ω, vitesse angulaire de rotation du rotor ;
E_0, la tension à vide ( I = 0 ) aux bornes de l'induit.
Les caractéristiques de la machine en fonctionnement générateur sont regroupées sur la figure 10 :

En outre, on rappelle que la force électromotrice à vide délivrée par l'induit s'écrit E_0 = ΦΩ, et si R désigne la résistance totale du bobinage induit, alors U = E_0 − RI.
II.A.1) Quelle est l'unité de Φ ?
II.A.2) Tracer l'allure des variations de Φ en fonction de i_e.
II.A.3) Quel phénomène observe-t-on lorsque i_e > i_(e max) ?

Dans toute la suite, on se placera dans le cas où i_e < i_(emax) et on posera Φ = βi_e, β étant une constante caractéristique de la machine que l'on ne cherchera pas à déterminer. Le générateur constitué par la génératrice à courant continu doit délivrer une tension U_0, constante, destinée à alimenter soit un ensemble d'accumulateurs au plomb, soit

Source de tension idéale
un onduleur de tension.
La tension U_0 doit donc être stable. Afin d'assurer la stabilité de la tension U lors d'une fluctuation de Ω, on
agit sur le courant inducteur i_e par l'intermédiaire d'un montage de commande. Le bobinage du stator se présente sous la forme d'un dipôle R_s, L_s.
On insère entre la source d'alimentation et le bobinage, un convertisseur à deux interrupteurs représenté en figure 11. La source de tension idéale délivre une force électromotrice continue de valeur e.
II.A.4) Quel est le nom de ce convertisseur?
II.A.5) Si T désigne la période de fonctionnement et α le rapport cyclique (0 ≤ α ≤ 1), K_1 conduit pendant la durée αT tandis que K_2 est bloqué, et inversement pendant la durée (1 − α)T. Quelle est la nature de ces deux interrupteurs?
II.A.6) En considérant que le régime périodique est atteint et que i_e reste strictement positive, déterminer pour t dans les intervalles [ 0, αT ] puis [ αT, T ] les expressions de i_e(t). En déduire les valeurs minimale i_m, maximale i_M et moyenne i_(moy) de i_e en fonction de e, R_s, T, α et τ = L_s/R_s. On effectuera ce calcul en linéarisant les solutions obtenues au premier ordre, soit en t/τ, soit en (t − αT)/τ.
II.A.7) On définit le taux d'ondulation par le rapport (i_M − i_m)/i_(moy).

Montrer que lorsque T/τ est suffisamment petit devant 1 , ce rapport s'écrit T(1 − α)/τ.
II.A.8) Déterminer le domaine des valeurs de T assurant une ondulation inférieure à 1% pour un rapport cyclique de α = 0, 5.
Application numérique : τ = 5 ms. Justifier le choix de α = 0, 5.
Dans toute la suite, cette condition sera réalisée, et de ce fait, l'intensité sera assimilée à sa valeur moyenne.

II.B.1) Montage régulateur à vide (la génératrice ne débite aucun courant ( I = 0 )).
Lorsque le rotor tourne à la vitesse Ω_0, le courant d'excitation, égal à i_(e0), est obtenu pour un rapport cyclique α_0 = 0, 5. La tension délivrée par la génératrice est alors ajustée à la valeur souhaitée U_0.
Une fluctuation de vitesse modifie le fonctionnement précédent. On note alors les grandeurs précédentes Ω, i_e, α et U. On réalise le montage de régulation dont l'ensemble des schémas

bloc est décrit en figure 12. Le dispositif représenté par le bloc A, non détaillé ici, délivre le rapport cyclique suivant la relation α = kΔU/U_0 + α_0, k étant une constante de réglage sans dimension.

Le hacheur, permettant d'ajuster i_e à partir de la commande α, correspond au bloc H. Le but est d'asservir U à la grandeur de consigne U_0.
a) Rappeler la relation entre α, e, R_s et i_e imposée par H ainsi que celle entre U, Ω et i_e imposée par la génératrice lors d'un fonctionnement à vide.
b) On suppose que k»α. En posant ΔΩ = Ω_0 − Ω, établir dans le cas où ΔU/U_0 «1 la relation

c) Quelle valeur faut-il donner à k pour qu'une variation relative de 10% en Ω engendre une erreur relative de 0, 1% en U.
d) Proposer une modification du dispositif permettant d'annuler l'erreur.
II.B.2) Montage régulation en charge. La génératrice débite maintenant un courant I non nul et délivre une tension à ses bornes U = E_0 − RI. La chute de

tension RI, envisagée comme une perturbation, modifie le schéma précédent de la façon suivante (figure 13):
a) En conservant les notations précédentes, et en considérant que les ordres de grandeurs établis pour un fonctionnement à vide ne sont pas affectés, montrer que l'expression de ΔU/U_0 obtenue en II.B.1.b) devient

b) Soit I_(max) le courant maximal que peut débiter la machine en fonctionnement générateur. Montrer que la relation précédente peut s'écrire

Application numérique : pour la valeur de k trouvée à la question II.B.1c), calculer la contribution à l'erreur relative sur U du terme lié au courant I lorsque le courant atteint 80% de sa valeur maximale. Conclure.

La batterie est constituée d'un ensemble de N accumulateurs au plomb mis en série.

La tension d'un élément chargé est de 2 V , et sa résistance interne de r = 0, 05Ω. La tension de chaque élément ne doit pas descendre en-dessous de 1, 8 V et vaut 2 V lorsque la batterie est chargée. La charge est assurée par

la génératrice à courant continu suivant le dispositif décrit en figure 14.
II.C.1) Quel est le rôle de la diode de protection?
L'ensemble des accumulateurs a pour caractéristique de fonctionnement u_a = e_a − r_a i_a

(figure 15), on remarquera qu'en phase de charge, i_a < 0 et qu'en phase de décharge, i_a > 0.

Lorsque l'interrupteur K_d est fermé (et donc K_c ouvert), la batterie se décharge et sa tension u_a diminue. De plus, u_a étant toujours astreinte à rester supérieure à une tension limite u_d(1, 8 V par élément), le circuit de contrôle compare les deux grandeurs u_a et u_d, puis commande l'ouverture de K_d et la fermeture de K_c dès que u_a = u_d.
II.D.1) Montrer que si la batterie débite un courant de charge positif i_a, l'utilisation d'un comparateur simple engendrerait immédiatement après l'ouverture de K_d un changement de régime provoquant sa fermeture. Afin d'éviter cette oscillation de régime au

voisinage du point de basculement, on utilise le comparateur à deux niveaux de la figure 16. « AO » désigne un amplificateur opérationnel dont les impédances d'entrée et de sortie sont respectivement infinie et nulle, et on désigne par V_(sat) sa tension de saturation. On prendra pour valeur numérique V_(sat) = 12 V. On admettra que l'amplificateur opérationnel est instanément saturé dès lors que ε ≠ 0 et que si ε > 0 alors v_s = + V_(sat), si ε < 0 alors v_s = − V_(sat).
II.D.2) Déterminer et tracer le cycle associé à la caractéristique de transfert, v_s en fonction de v_e, du montage de la figure 16 en faisant apparaître le sens de parcours.
II.D.3) On utilise ce montage pour commander l'interrupteur K_d. Le comparateur bascule de + V_(sat) à − V_(sat) lorsque v_e atteint u_0 = 2, 3V par valeur supérieure. Quelle valeur faut-il donner au rapport R_1/R_2 pour qu'après une ouverture, l'interrupteur K_d ne se referme que lorsque u_a atteint 1, 12u_0 par valeur inférieure?
II.D.4) En déduire la valeur de V_(ref).
II.D.5) La commande du circuit de charge pose-t-elle un problème analogue ? Justifier.
II.D.6) Proposer une caractéristique de transfert pour le circuit de commande de l'interrupteur K_c.

La génératrice ou bien la batterie fournit une tension U_0 continue. Linstallation électrique fonctionne avec une tension sinusoïdale de fréquence f = 50 Hz et de valeur efficace de 220 volts. La conversion se fait à l'aide d'un onduleur dont le schéma de principe est décrit en figure 17.
Le circuit récepteur, représentant l'installation, est de type inductif et sera modélisé dans ce qui suit par un dipôle

de charge ( R_c, L_c ) en série.
II.E.1) Déterminer en régime sinusoïdal à la pulsation ω, la fonction de transfert i_c/u_c en fonction de R_c, L_c et ω. Quelle est la nature du filtre obtenu?
La commande des interrupteurs est périodique, de période T = 2π/ω.
La tension u_c, obtenue aux bornes du récepteur, est représentée sur la
figure 18. L'angle δ est lié à la commande des interrupteurs.
II.E.2) Définir la fonction transistor.
II.E.3) On pose θ = ωt. En adoptant une origine des temps adéquate, calculer les coefficients a_n du développement en série de Fourier de la tension u_c(θ) tels que :

On donne

Les coefficients seront exprimés en fonction de U_0, n et δ.
II.E.4) On souhaite que le courant dans la charge soit sinusoïdal de fréquence f = 1/T = 50 Hz.
Montrer en vous appuyant sur l'étude faite à la question II.E. 1 qu'il suffit d'annuler l'harmonique de rang trois pour y parvenir avec une très bonne approximation.
II.E.5) Déterminer la valeur de δ pour lequel a_3 est nul.
II.E.6) On définit la valeur efficace de u_c suivant l'expression

Calculer cette valeur.
Quelle erreur commet-on sur la valeur efficace si on utilise pour expression de u_c celle obtenue à partir de son fondamental ? Conclure.
II.E.7) Déterminer la valeur de U_0 afin d'obtenir une valeur efficace de 220 V . En déduire le nombre d'accumulateurs nécessaires. On assimile pour cette question la tension à son fondamental.
II.E.8) Calculer la puissance active consommée par l'installation lorsque celle-ci est composée de dix lampes de 100 W et d'un moteur dont le facteur de puissance est égal à cosφ_m = 0, 8 et consommant une puissance nominale de P_m = 3 kW, le tout branché en parallèle. Déterminer les valeurs R_c et L_c de l'impédance équivalente de la charge.
Cette annexe doit être rendue avec les autres copies.
Attention, il ne pourra pas être délivré d'autre exemplaire de ce document.

Annexe du sujet de Physique PSI

Figure 7