Mines Mathématiques 2 PSI 2003Sujet et rapport du jury

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2003
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2-Filière PC.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Première partie

Soit M l'espace vectoriel des matrices réelles carrées d'ordre 3. Soit

C

le produit cartésien

M \times M

. Il est admis que cet ensemble est un espace vectoriel réel à l'aide de la loi interne, addition, et de la loi externe, multiplication par un réel, définies par les relations suivantes :

La somme de deux éléments de

C, (P, Q)

(R, S)

est l'élément

(P + R, Q + S)

(P, Q) + (R, S) = (P + R, Q + S)

Le produit d'un réel

λ

et de l'élément (

P, Q

) est l'élément (

λP, λQ

) de

C

λ(P, Q) = (λP, λQ)

En plus de ces lois de composion, soit

*

la loi de composition interne, appelée produit, qui, aux deux éléments de

C, (P, Q)

(R, S)

fait correspondre l'élément de

C, (P.R, P.S + Q.R), (P.R, P.S

Q.R

sont respectivement les produits des matrices

P, R, P, S

Q, R)

(P, Q)*(R, S) = (P.R, P.S + Q.R)

L'algèbre (

C, +, ., *

) :

Quelle est la dimension de l'espace vectoriel $C$ ?
Démontrer que l'espace $C$ est une $ℝ$ -algèbre associative unitaire. L'élément unité de cette algèbre est noté $e$ .

Étant donné l'élément

(P, Q)

C

, soit

^t(P, Q)

l'élément de

C

défini à l'aide des matrices transposées

^t P

^t Q

des matrices

P

Q

de la façon suivante :

^t(P, Q) = (^t P, ^t Q)

Soit

G

le sous-ensemble des éléments (

P, Q

) de

C

tels que :

la matrice $P$ est orthogonale directe : son déterminant est égal à 1 .
les matrices $P$ et $Q$ vérifient la relation : $^t P \cdot Q + ^t Q \cdot P = 0$

G = {(P, Q)|(P, Q) ∈ C, P ∈ SO(ℝ^3), ^t P ⋅ Q + ^t Q ⋅ P = 0}

Le groupe G :

Démontrer que le sous-ensemble $G$ de $C$ est, pour la loi produit $*$ , un groupe.
Soit $H$ le sous-ensemble des éléments ( $P, 0$ ) du groupe $G$ . Démontrer que $H$ est un sous-groupe de $G$ isomorphe au groupe $SO(ℝ^3)$ .
Soit $A$ le sous-ensemble des éléments ( $I_3, Q$ ) de $G$ ( $I_3$ est la matrice unité).

A = {(I_3, Q)|(I_3, Q) ∈ G}

Est-ce que

A

est un sous-groupe de

G

?
6. Démontrer que, pour qu'un élément (

P, Q

) de

C

appartienne à

G

, il faut et il suffit que le déterminant de la matrice

P

soit égal à 1 et que la relation

^t(P, Q)*(P, Q) = e

ait lieu :

(P, Q) \in G ⟺ ^t(P, Q)*(P, Q) = e, detP = 1.

Seconde partie

Le but de cette partie est de montrer qu'il existe un isomorphisme entre le groupe des déplacements de l'espace de la géométrie affine euclidienne et le groupe

G

étudié ci-dessus.

Dans toute la suite,

E_3

est un espace vectoriel euclidien orienté par une base orthonormée directe

B = (i⃗, j⃗, k⃗)

. Le produit scalaire de deux vecteurs

x⃗

y⃗

est noté

x⃗ \cdot y⃗

Un résultat préliminaire :

7 . Soit

a⃗

un vecteur de

E_3

; soit

p_(a⃗)

l'endomorphisme de

E_3

dans luimême qui, au vecteur

x⃗

, associe le produit vectoriel des vecteurs

a⃗

x⃗

x⃗ ⟼ a⃗ \land x⃗

. Quelle est la matrice

P_(a⃗)

associée à l'application

p_(a⃗)

dans la base

B

E_3

?
8. Soit

r

une rotation de

E_3

dans lui-même ; comparer pour deux vecteurs quelconques

x⃗

y⃗

E_3

les expressions suivantes:

r(x⃗ \land y⃗), r(x⃗) \land r(y⃗).

Démontrer que, si $r$ est une rotation de $E_3$ et $a⃗$ un vecteur de $E_3$ , il existe un vecteur $b⃗$ de $E_3$ tel que l'endomorphisme $r \circ p_(a⃗)$ , composé de $p_(a⃗)$ et de $r$ , est égal à l'endomorphisme $p_(b⃗) \circ r$ , composé de $r$ et de $p_(b⃗)$ :

r \circ p_(a⃗) = p_(b⃗) \circ r;

exprimer ce vecteur

b⃗

en fonction du vecteur

a⃗

et de la rotation

r

.
Dans toute la suite, soit

E

l'espace de la géométrie affine euclidienne orientée ;

E

est supposé être un espace affine de direction un espace vectoriel euclidien orienté

E_3

. Soit

O

une origine et

i⃗, j⃗, k⃗

trois vecteurs orthonormés constituant avec le point

O

un repère

Oxyz

direct.

Détermination d'une droite à l'aide de deux vecteurs et d'un repère

L'espace

E

est muni d'un repère orthonormé direct

Oxyz

; soit

D

une droite de l'espace affine

E, A

un point de cette droite et

u⃗

un vecteur directeur unitaire de cette droite.
10. Soit

M

un point quelconque de la droite

D

. Démontrer que le vecteur

v⃗

, égal au produit vectoriel des vecteurs

OM^(\to-)

u⃗

, est indépendant du point

M

de la droite

D

v⃗ = OM^(\to-) \land u⃗

Comparer les directions des deux vecteurs

u⃗

v⃗

.
11. Soient

u⃗

v⃗

deux vecteurs de l'espace

E_3

tels que le vecteur

u⃗

soit unitaire (

‖u⃗‖ = 1

) et

v⃗

orthogonal à

u⃗(u⃗ \cdot v⃗ = 0)

. Déterminer, à l'aide des deux vecteurs

u⃗

u⃗ \land v⃗

, les vecteurs

x⃗

E_3

, solutions de l'équation suivante :

x⃗ \land u⃗ = v⃗.

Étant donnés deux vecteurs $u⃗$ et $v⃗$ de l'espace $E_3$ tels que le vecteur $u⃗$ soit unitaire ( $‖u⃗‖ = 1$ ) et $v⃗$ orthogonal à $u⃗(u⃗ \cdot v⃗ = 0)$ , démontrer qu'il existe une seule droite $D$ de l'espace $E$ telle qu'un vecteur directeur unitaire de la droite $D$ soit le vecteur $u⃗$ et que tout point $M$ de $D$ vérifie la relation suivante :

OM^(\to-) \land u⃗ = v⃗.

Exemple : les vecteurs $u⃗$ et $v⃗$ sont définis, dans le repère $Oxyz$ , par les relations suivantes :

u⃗ = i⃗; v⃗ = bj⃗ + ck⃗,

où

b

c

sont deux réels donnés. Déterminer la droite

D

correspondante.
Soit

P

le sous-ensemble de

E_3 \times E_3

des couples de deux vecteurs (

u⃗, v⃗

) tels que le premier vecteur

u⃗

soit unitaire et le second

v⃗

soit perpendiculaire à

u⃗

.
14. À quelle condition nécessaire et suffisante deux couples de vecteurs (

u⃗, v⃗

) et (

u⃗^', v⃗

), appartenant à

P

, déterminent la même droite

D

Soit

d

un déplacement de l'espace

E

muni du repère orthonormé direct

Oxyz

; par définition, il est égal à l'application composée d'une rotation

r

de l'espace

E_3

et d'une translation de vecteur

a⃗

E_3

; soit

M^'

l'image par ce déplacement

d

d'un point

M

; le vecteur

OM^'^(\to-)

est relié au vecteur

OM^(\to-)

par la relation suivante :

OM^'^(\to-) = a⃗ + r(OM^(\to-)).

Isomorphisme entre le groupe des déplacements de l'espace

E

et le groupe

G

Soient

d

un déplacement,

D

une droite quelconque de l'espace

E

D^'

l'image de la droite

D

par le déplacement

d

D^' = d(D).

Aux deux droites $D$ et $D^'$ de l'espace $E$ , muni du repère orthonormé direct $Oxyz$ , sont associés d'après la question 14 des couples de vecteurs ( $u⃗, v⃗$ ) et ( $u⃗^', v⃗$ ) ; démontrer que, le couple de vecteurs ( $u⃗, v⃗$ ) étant fixé, il est possible de choisir le couple de vecteurs( $u⃗^', v⃗$ ) de façon que les vecteurs $u⃗^'$ et $v⃗^'$ s'expriment au moyen des vecteurs $u⃗$ et $v⃗$ par les relations suivantes:

u⃗^' = α(u⃗), v⃗^' = α(v⃗) + β(u⃗),

où

α

β

sont deux endomorphismes de

E_3

tels que le déterminant de

α

soit strictement positif (

detα > 0

).
16. Au déplacement

d

est donc associé le couple des deux endomorphismes

α

β

. Soient

A

B

les matrices associées aux endomorphismes

α

β

dans une base orthonormée directe de

E_3

. Démontrer que le couple de matrices

(A, B)

appartient au groupe

G

.
17. Démontrer que l'application qui, au déplacement

d

E

associe l'élément

(A, B)

du groupe

G

, est injective.
18. Exemple : soit

D

la droite du plan

xOy

d'équation

y = y_0

(

y_0

est un réel différent de zéro donné) ; soit

D^'

son image par le déplacement égal à la rotation d'axe

Oz

et d'angle

θ

suivie de la translation de vecteur

j⃗ + k⃗

. Déterminer les endomorphismes

α

β

associés à ce déplacement et les couples de vecteurs (

u⃗, v⃗

) et (

u⃗^', v⃗

) associés respectivement aux droites

D

D^'

. Vérifier dans ce cas particulier la relation obtenue à la question 15.
19. Démontrer que l'application

J

qui, à un déplacement

d

de l'espace

E

associe le couple de matrices

(A, B)

du groupe

G

est bijective.

Droite invariante dans un déplacement :

Soit $d$ un déplacement, distinct de l'application identique ; à ce déplacement est associé un couple de matrices $(A, B)$ appartenant à $G$ . Rechercher l'existence d'une droite invariante par le déplacement $d$ en considérant le couple de vecteurs ( $u⃗, v⃗$ ) associé à cette droite. Écrire les relations vérifiées par ces vecteurs inconnus $u⃗, v⃗$ . Quelle conclusion y a-t-il lieu d'en tirer sur le vecteur $u⃗$ ?
Déterminer la droite invariante dans l'exemple de la question 18.

FIN DU PROBLÈME

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