Mines Mathématiques 2 PSI 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Supplémentaires d'un sous-espace vectoriel : algèbre linéaire, analyse et géométrie

Le problème explore la notion de supplémentaire d'un sous-espace vectoriel à travers quatre parties : des exemples simples en dimension finie et infinie, le lien entre supplémentaire stable et diagonalisation, une application au calcul différentiel avec des fonctions de deux variables, puis des applications géométriques liées aux formes linéaires et aux hyperplans.

1I. Deux exemples simples de supplémentairesSupplémentaires des fonctions paires et des solutions d'une équation différentielle linéaire.
2II. Supplémentaires, stabilité et diagonalisationÉquivalence entre diagonalisabilité d'un endomorphisme et existence d'un supplémentaire stable pour tout sous-espace.
3III. Supplémentaires et calcul différentielFamilles libres et génératrices en dimension infinie, restriction d'opérateurs différentiels à un sous-espace de fonctions.
4IV. Supplémentaires et géométrieFactorisation d'applications linéaires et inclusions de noyaux de formes linéaires, lien avec la distance d'un point à un plan.

Difficile. Le rapport indique que la prestation moyenne des candidats est décevante, la partie III étant généralement très mal traitée, malgré une longueur de sujet jugée raisonnable et des questions de niveaux variés.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Intersection nulle confondue avec supplémentaire · Solutions complexes au lieu de réelles · Sous-espace stable confondu avec sous-espace propre

Le sujet, de longueur raisonnable et de difficulté variable, a donné lieu à une prestation moyenne décevante des candidats. Les arguments abstraits d'algèbre linéaire sont apparus hors de portée de la grande majorité, avec une forte tentation d'appliquer des arguments propres à la dimension finie dans un cadre de dimension infinie.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Intersection nulle confondue avec supplémentaireQ1
Il ne suffit pas que l'intersection de deux sous-espaces soit réduite au vecteur nul pour que l'un soit un supplémentaire de l'autre.
« il ne suffit pas que l’intersection des sous-espaces vectoriels F et G soit réduite »
2
Solutions complexes au lieu de réellesQ2
L'énoncé demandait explicitement des solutions réelles, mais trop de candidats fournissent des solutions complexes non réelles.
« solutions complexes non réelles. »
3
Sous-espace stable confondu avec sous-espace propreQ6
Dans une proportion significative de copies, les candidats pensent à tort qu'un sous-espace vectoriel stable est forcément un sous-espace propre.
« les candidats pensent à tort qu’un sous-espace vectoriel »
4
Polynôme à deux variables et zéros infinisQ9
Certains candidats pensent qu'un polynôme à deux variables ayant une infinité de zéros est identiquement nul, ce qui est faux, comme le montre l'équation d'une droite.
« polynôme à deux vari ables qui a une i nfinité de zéros est identiquement nul. »
5
Dernière question de géométrie jamais résolueQ19
La question 19, de géométrie élémentaire, a été très peu abordée et jamais résolue ; aucun candidat n'a vu le lien avec la question précédente sur la distance d'un point à un plan.
« aucun ne parvient au résultat. »

Ce qui a été bien réussi

Les correcteurs ont eu la satisfaction de corriger un nombre significatif de bonnes copies, et parfois de très bonnes.
Les notes des candidats sont bien étalées entre 0 et 20, ce qui indique un pouvoir sélectif correct du sujet.

Conseils du jury

Bien maîtriser les arguments abstraits d'algèbre linéaire et se méfier des raisonnements valables seulement en dimension finie.
Respecter l'ordre logique de l'énoncé plutôt que de traiter les questions dans un ordre arbitraire.
Se concentrer sur les questions à sa portée et proposer des solutions rigoureuses plutôt que des ébauches pour chaque question.
Toujours vérifier soigneusement les hypothèses des théorèmes utilisés avant de les appliquer.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2005
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIÈME ÉPREUVE
Filière PSI
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2 - Filière PSI.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Les différentes parties sont indépendantes. Ceci étant, la plus grande attention sera apportée à l'unité de votre travail. La résolution intégrale de partie sera hautement appréciée.

Ce problème traite des applications de la notion de supplémentaire d'un sous-espace vectoriel dans un espace vectoriel, et de ses applications tant en algèbre qu'en analyse ou en géométrie.

Les théorèmes du cours utilisés lors de la résolution de ce problème devront être énoncés avec précision, leurs hypothèses devront être soigneusement vérifiées.

Dans ce texte,

C^\infty(ℝ, ℝ)

représente l'ensemble des fonctions numériques, de classe

C^\infty

sur

ℝ

. D'autre part, pour deux espaces vectoriels

E

F, L(E, F)

représente l'ensemble des applications linéaires de

E

dans

F

I. Deux exemples simples de supplémentaires

Soit $E = C^\infty(ℝ, ℝ)$ et soit $F$ le sous-espace vectoriel constitué des fonctions paires. Donner un supplémentaire de $F$ dans $E$ .
Soit $E = C^\infty(ℝ, ℝ)$ et $F$ le sous-espace vectoriel constitué des solutions de l'équation différentielle $y^('') + y^' + y = 0$ .
Montrer qu'il existe deux fonctions $f_1$ et $f_2$ , que l'on déterminera explicitement, telles que tout élément $f$ de $F$ se décompose de manière unique sous la forme:

f = α_f f_1 + β_f f_2 avec(α_f, β_f) \in ℝ^2

Déterminer l'unique matrice $A$ telle que l'on ait, pour tout $f \in F$ ,

((α_f)/(β_f)) = A((f(0))/(f^'(0)))

Montrer que $G = {g \in E$ telle que $g(0) = g^'(0) = 0}$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$ .

II. Supplémentaires, stabilité et diagonalisation

Soit

f

l'endomorphisme de

ℝ^3

dont la matrice dans la base canonique de

ℝ^3

est:

(3, - 4, 8; 5, - 6, 10; 1, - 1, 1)

Montrer que $f$ est diagonalisable.
Montrer que le plan ( $P$ ) d'équation $x - y + z = 0$ est stable par $f$ .
Déterminer un supplémentaire de ( $P$ ) stable par $f$ .
Soit $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$ . Montrer l'équivalence des deux assertions suivantes:
i - L'endomorphisme $f$ est diagonalisable.
ii - Tout sous-espace vectoriel de $E$ admet un supplémentaire stable par $f$ .

III. Supplémentaires et calcul différentiel

La définition suivante permet d'étendre les notions de famille génératrice et de famille libre, aux espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie. Soit

E

ℝ

-espace vectoriel et

I

un ensemble d'indices non nécessairement fini.

Une famille ( $e_i, i \in I$ ) est dite génératrice de $E$ lorsque tout vecteur de $E$ est combinaison linéaire d'une sous-famille finie ( $e_i, i \in J$ ) de $(e_i, i \in I)$ .
Une famille ( $e_i, i \in I$ ) est dite libre dans $E$ lorsque toute sous-famille finie de cette famille est libre.
Soit $E$ l'espace des fonctions de classe $C^\infty$ définies sur $ℝ^2$ et à valeurs dans $ℝ$ . Pour $(i, j) \in ℕ^2$ , on définit la fonction

f_(ij)(x, y) = x^i y^j

Soit

F

le sous-espace vectoriel engendré par la famille

(f_(ij), (i, j) \in ℕ^2)

. On pose

Δ : {E ⟶ E; f ⟼ (∂^2 f)/(∂x^2) − (∂^2 f)/(∂y^2) et Φ : {E ⟶ E; f ⟼ (∂^2 f)/(∂x∂y)

Pour

g \in F

, on note

gF

l'ensemble des fonctions qui s'écrivent

gf

avec

f \in F

.
9) Prouver que la famille

(f_(ij), (i, j) \in ℕ^2)

est libre.
10) Montrer que les restrictions

Δ~

(respectivement

Φ~

) de

Δ

(respectivement

Φ)

F

sont des endomorphismes de

F

.
11) Déterminer

KerΦ~

.
12)

Montrer que

F = xyF \oplus KerΦ~

.
13) Soit le changement de variables

w : {ℝ^2, ⟶ ℝ^2; (u, v), ⟼ ((u + v)/2, (u − v)/2)

ainsi que l'application

L : {F, ⟶, E; f, ⟼, f \circ w.

Montrer que

L

est un automorphisme de

F

.
14)

Montrer que

L(KerΔ~) = KerΦ~

.
15) Montrer que

L[(x^2 - y^2)F] = uvF

.
16) Déterminer un supplémentaire de

KerΔ~

dans

F

IV. Supplémentaires et géométrie

Soient trois $ℝ$ -espaces vectoriels: $E, F$ et $G$ . On suppose $G$ de dimension finie. On se donne $g \in L(E, G)$ et $f \in L(E, F)$ .
Montrer l'équivalence des deux assertions suivantes:
i) Il existe $h \in L(G, F)$ tel que $f = h \circ g$ .
ii) $Kerg \subset Kerf$ .
Soient $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel et ( $k + 1$ ) formes linéaires non nulles notées $f_i$ pour $i \in {1, \dots, k + 1}$ . On note $H_i = Kerf_i$ . Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes:
i) L'inclusion suivante est satisfaite:

⋂_(i = 1)^k H_i \subset H_(k + 1).

ii) Il existe

(a_1, \dots, a_k) \in ℝ^k

tels que

f_(k + 1) = \sum_(i = 1)^k a_i f_i

Indication : on utilisera éventuellement l'application:

φ : {E, ⟶, ℝ^k; x, ⟼, (f_1(x), ⋯, f_k(x))

On considère, dans cette question, l'espace $ℝ^3$ muni de sa structure affine euclidienne canonique, que l'on rapporte à un repère orthonormé. Soit $(D)$ la droite définie par ${(x, y, z) ∈ ℝ^3/z = 0, y = x}$ . Soit également $(S)$ la sphère d'équation

x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 6y - 4z + 10 = 0.

En utilisant ce qui précède, déterminer les équations cartésiennes des plans contenant (

D

) et tangents à (

S

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 PSI Mines-Ponts 2005 ?

Le sujet porte sur la notion de supplémentaire d'un sous-espace vectoriel, avec des applications en algèbre linéaire (diagonalisation, sous-espaces stables), en analyse (dimension infinie) et en géométrie (formes linéaires, hyperplans).

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 PSI Mines-Ponts 2005 ?

Le jury relève une confusion entre intersection nulle et supplémentaire, des solutions complexes fournies à la place de solutions réelles, la confusion entre sous-espace stable et sous-espace propre, et une méconnaissance des notions de dimension infinie en partie III.

Ce sujet de maths 2 PSI Mines-Ponts 2005 est-il difficile ?

Oui, le rapport qualifie la prestation moyenne des candidats de décevante, la partie III sur le calcul différentiel en dimension infinie ayant été généralement très mal traitée.

Quelle partie du sujet de maths 2 PSI Mines-Ponts 2005 est la moins bien réussie ?

La partie III, sur les applications du calcul différentiel en dimension infinie, est signalée comme généralement très mal traitée, avec une méconnaissance des notions de base et de combinaisons linéaires dans ce cadre.

Pas de description pour le moment

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