La lettre C en mathématiques : réduction de matrices, équations différentielles et courbes paramétrées
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Le problème étudie trois déclinaisons de la lettre C. La partie I réduit une matrice de M7(R) à coefficients 0 et 1 dont la position des 1 dessine un C. Les parties II et III étudient des équations différentielles, le théorème de Cauchy-Lipschitz et des courbes paramétrées dont les graphes, dans différents systèmes de coordonnées, dessinent eux aussi un C.
1Partie I : Étude d'un « C » matricielRéduire une matrice 7x7 à coefficients 0 et 1 dessinant un C et étudier son caractère diagonalisable à l'aide du calcul différentiel à plusieurs variables.
2Partie II : Équation différentielle pour la lettre « C »Étudier une équation différentielle, le théorème de Cauchy-Lipschitz, les solutions maximales, puis le développement en série entière d'une solution.
3Partie III : Des courbes pour la lettre « C »Étudier la topologie et une paramétrisation complexe d'une famille de courbes dessinant un C, et calculer une aire avec la formule de Green-Riemann.
Difficile. Le rapport indique qu'une majorité de candidats méconnaît des pans entiers du programme, avec par exemple plus de 90 % des candidats n'ayant pas compris la notion de matrice jacobienne et moins de 20 % énonçant correctement le théorème de Cauchy-Lipschitz.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Base affirmée sans preuve · Calculs non guidés par l'énoncé · Matrice jacobienne mal comprise
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Peu de groupes de questions ont été systématiquement délaissés, ce qui suggère un énoncé de longueur appropriée. En revanche, les réponses montrent sans ambiguïté qu'une majorité de candidats méconnaît des pans entiers du programme, en particulier le calcul différentiel à plusieurs variables, le théorème de Cauchy-Lipschitz et une question de topologie. Les correcteurs jugent en outre que la rédaction de la plupart des copies laisse beaucoup à désirer.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Base affirmée sans preuveI.A
Dans la question IA, les candidats affirment qu'une famille est une base le plus souvent sans en donner ne serait-ce qu'un début de preuve.
2
Calculs non guidés par l'énoncéI.C, I.D
Plusieurs candidats se sont lancés dans des calculs de polynômes caractéristiques pour répondre à I.C-D, ce qui n'est pas l'esprit du problème.
3
Matrice jacobienne mal compriseI.E
Les réponses aux questions I.E montrent que plus de 90 % des candidats n'ont pas compris la notion de matrice jacobienne.
« plus de 90 % des candidats n’ont pas compris la notion de matrice jacobienne »
4
Théorème de Cauchy-Lipschitz mal énoncéII.C, II.B3
Le théorème de Cauchy-Lipschitz n'est presque jamais énoncé de façon correcte, dans moins de 20 % des copies, et la notion de solution maximale n'est pas bien comprise.
« le théorème de Cauchy-Lipschitz n’est presque jamais énoncé de façon correcte »
5
Confusions de topologieIII.A2
Pour vérifier qu'une partie est fermée, il ne suffit pas de dire qu'elle n'est pas ouverte ; l'image d'un fermé par une application continue n'est pas fermée en général, contrairement à ce qu'affirment certains candidats.
6
Résultat donné sans justificationII.D3
Trop de candidats donnent directement le résultat de la question sans la moindre justification, alors que des calculs intermédiaires sont nécessaires pour qu'une telle réponse soit prise en compte.
Ce qui a été bien réussi
Il y a eu dans ce problème assez peu de groupes de questions systématiquement délaissés par les candidats.
Conseils du jury
Se laisser guider par l'énoncé plutôt que de se lancer dans des calculs non adaptés au problème posé.
Soigner les tracés de courbes : préciser un vecteur unitaire pour chaque axe et placer quelques points remarquables avec leurs tangentes.
Énoncer précisément les hypothèses des théorèmes utilisés, par exemple la régularité de la forme différentielle dans la formule de Green-Riemann.
Rédiger de manière concise et précise : un raisonnement obscur, où des arguments sont omis ou imprécis, est toujours dévalorisé.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Le problème porte sur des déclinaisons de la lettre "C" dans différents domaines des mathématiques. Les trois parties du problème sont largement indépendantes.
Partie I - Étude d'un «C» matriciel
On considère la matrice à coefficients réels C ∈ ℳ_7(ℝ)
On note ( e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7 ) la base canonique de ℝ^7, et c l'endomorphisme de ℝ^7 dont la matrice dans la base canonique est C. Selon l'usage, on identifie les matrices colonnes à 7 lignes à coefficients réels et les vecteurs de ℝ^7.
On note f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6, f_7 les vecteurs colonnes de la matrice C.
I.A - Image et noyau de c
Déterminer une base du noyau et une base de l'image de c, ainsi que le rang de c.
I.B - Restriction de c
On note F le sous-espace vectoriel de ℝ^7 engendré par les trois premiers vecteurs colonnes f_1, f_2 et f_3 de C.
I.B.1) Montrer que F est stable par c.
I.B.2) Montrer que ( f_1, f_2, f_3 ) est une base de F, et calculer la matrice Φ dans cette base de l'endomorphisme φ de F induit par c.
I.C - Détermination sans calcul du spectre de Φ
Dans cette question, on se propose de calculer le spectre de Φ sans calculer son polynôme caractéristique.
I.C.1) Pourquoi 1 est-il valeur propre de Φ ?
I.C.2) Peut-on déduire du seul calcul de la trace de Φ que Φ est diagonalisable dans ℳ_3(ℂ) ?
I.C.3) Calculer Φ^2. À partir des informations complémentaires obtenues par le calcul de la trace de Φ^2, déterminer le spectre de Φ.
La matrice Φ est-elle diagonalisable dans ℳ_3(ℝ) ?
I.D - Étude du caractère diagonalisable de C
I.D.1) Déduire des questions précédentes le spectre de C. On précisera l'ordre de multiplicité des valeurs propres.
I.D.2) La matrice C est-elle diagonalisable sur ℂ ? sur ℝ ? Si oui, indiquer une matrice diagonale semblable à C.
I.E - Étude d'une équation fonctionnelle
Notation : si f est une fonction de classe C^1 d'un ouvert 𝒰 de ℝ^d(d ⩾ 1) vers ℝ, on note, pour tout entier i tel que 1 ⩽ i ⩽ d, ∂_i f la dérivée partielle de f par rapport à sa i-ème variable. Ainsi, la notation ∂_i f(x_1, …, x_d) désigne la valeur de la dérivée partielle de f par rapport à sa i-ème variable évaluée au point (x_1, …, x_d) ∈ 𝒰.
Dans cette section, on se propose d'étudier les fonctions f de classe C^1 de ℝ^7 vers ℝ qui vérifient la condition f ∘ c = f, c'est-à-dire telles que f(x_3 + x_4, x_2 + x_5, x_1, x_1, x_1, x_2 + x_5, x_3 + x_4) = f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7) pour tout (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7) ∈ ℝ^7.
I.E.1) Quelle structure possède l'ensemble 𝒮 des fonctions f de classe C^1 de ℝ^7 vers ℝ telles que f ∘ c = f ?
I.E.2) Montrer qu'une telle fonction vérifie f ∘ c^n = f pour tout entier n ⩾ 1.
I.E.3) Soit f ∈ 𝒮. Calculer la matrice jacobienne de f ∘ c en X = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7). En déduire un système d'équations reliant les dérivées partielles ∂_1 f(X), …, ∂_7 f(X) de f en un point X de ℝ^7.
I.E.4) Pour f ∈ 𝒮, calculer la matrice jacobienne de f ∘ c^2 en X = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7). Compléter le système d'équations reliant les dérivées partielles ∂_1 f(X), …, ∂_7 f(X) de f en un point X de ℝ^7 obtenu à la question précédente.
I.E.5) Application : sans calcul supplémentaire, déterminer les formes linéaires f sur ℝ^7 qui appartiennent à 𝒮.
Partie II - Équation différentielle pour la lettre «C»
Dans toute la suite du problème, on note 𝒞 l'image dans ℝ^2 de l'application
γ : [π/4, (7π)/4] → ℝ^2, t ↦ (cost, 2sint).
Dans cette partie, on étudie l'équation différentielle
y(x)y^′(x) = − 4x.
II.A - Transformation de solutions
Montrer que si f est une solution de ( E ) sur un intervalle J, et si a est un réel non nul, alors la fonction h définie par h(x) = af(x/a) est aussi une solution de (E) sur un intervalle que l'on précisera.
II.B - Le «C» solution
On note g la fonction d'une variable réelle à valeurs réelles dont le graphe est γ([π/4, π]).
II.B.1) Déterminer l'ensemble de définition Δ de g, ainsi qu'une expression de g.
II.B.2) Vérifier que la restriction de g au plus grand intervalle ouvert inclus dans Δ est une solution de ( E ).
II.B.3) Est-ce une solution maximale? Sinon, déterminer une solution maximale m dont le graphe inclut celui de g.
II.C - Le théorème de Cauchy-Lipschitz - Solutions maximales
II.C.1) Rappeler l'énoncé du théorème d'existence et d'unicité des solutions maximales d'une équation différentielle scalaire non linéaire soumise aux conditions de Cauchy.
II.C.2) Expliquer comment, et éventuellement dans quelle mesure, ce théorème s'applique à (E).
II.C.3) Les solutions maximales données par ce théorème sont-elles des solutions maximales de ( E ) ?
II.C.4) Déduire des questions précédentes les solutions maximales de ( E ).
II.D - Développement en série entière d'une solution
II.D.1) Montrer que la solution m déterminée à la question III.B.3) est développable en série entière au voisinage de 0 . Calculer ce développement et préciser son rayon de convergence.
II.D.2) En déduire les développements en série entière de toutes les solutions maximales de ( E ) ; préciser les rayons de convergence de ces séries entières.
Partie III - Des courbes pour la lettre «C»
III.A - Topologie de 𝒞
III.A.1) Représenter 𝒞.
III.A.2) Préciser les propriétés topologiques suivantes de 𝒞.
a) Est-ce un ouvert de ℝ^2 ?
b) Un fermé?
c) Une partie bornée ?
d) Un compact?
e) Une partie convexe?
III.B - Paramétrisation complexe de 𝒞
On rappelle que 𝒞 a été définie dans la partie II comme l'image de l'application
γ : [π/4, (7π)/4] → ℝ^2, t ↦ (cost, 2sint).
Dans cette question, on va chercher une paramétrisation complexe de 𝒞, de la forme
z : [π/4, (7π)/4] → ℂ, t ↦ ρ(t)e^(iθ(t))
où ρ et θ sont deux fonctions continues de [π/4, (7π)/4] vers ℝ, la fonction ρ étant à valeurs strictement positives.
III.B.1) Calculer ρ(t) pour tout t ∈ [π/4, (7π)/4].
III.B.2) Représenter sur la calculatrice l'arc paramétré
𝒢 : [π/4, (7π)/4] → ℂ, t ↦ ρ(t)e^(it)
et reproduire sommairement la courbe sur la copie. Quelle lettre cette courbe évoque-t-elle?
III.B.3) À partir de l'expression de γ(t), calculer tanθ(t).
III.B.4)
a) Représenter la fonction t ↦ arctan(2tant) sur la partie de l'intervalle [π/4, (7π)/4] sur laquelle cette fonction est définie.
b) Modifier cette fonction pour déterminer la fonction continue θ cherchée.
On vérifiera le résultat en représentant à l'aide de la calculatrice la courbe paramétrée z.
III.B.5) Indiquer une suite d'instructions Maple ou Mathematica permettant d'obtenir ce tracé.
III.C - Une famille de courbes paramétrées pour la lettre «C»
Dans cette question, on va construire une famille de courbes déduites de celle de la question V.A, mais donnant un aspect visuel différent de la lettre «C».
Dans ce qui suit, la notation E(x) désignera la partie entière du réel x.
On définit les applications :
III.C.1) Étudier rapidement α et ω, puis représenter sur un même graphique les deux fonctions t ↦ α(10, t) et t ↦ ω(10, t).
III.C.2) Représenter la fonction ψ : [π/4, (7π)/4] → ℝ, t ↦ 1/4sin(2/3(t − π/4)).
III.C.3) On définit la fonction :
On a représenté ci-contre cette courbe, lorsque n = 40. Mais la courbe a été mélangée avec d'autres courbes représentant la lettre «C». Identifier lequel des quatre graphiques représente la fonction t ↦ w(40, t), et expliquer pourquoi.
III.C.4) Écrire une séquence d'instructions Maple ou Mathematica permettant de créer la séquence des 100 premières courbes (on pourra créer une animation).
III.D - Calcul d'aire
Dans cette question, on se propose de calculer l'aire 𝒜 du domaine ℋ de ℝ^2 contenant tous les points w(n, t) lorsque n décrit ℕ^∗ et t décrit I = [π/4, (7π)/4]. Ce domaine est délimité par deux arcs paramétrés définis par
z : I → ℂ, t ↦ ρ(t)e^(iθ(t)) = √(1 + 3sin^2 t)e^(i(arctan(2tant) + πE(t/π + 1/2))); v : I → ℂ, t ↦ √(1 + 3sin^2 t)(1 + 1/4sin(2/3(t − π/4)))e^(i(arctan(2tant) + πE(t/π + 1/2)))
Pour calculer cette aire, on va utiliser la formule de Green-Riemann. Le bord du domaine étant donné par un arc paramétré complexe de la forme v : t ↦ σ(t)e^(iμ(t)), on va d'abord traduire ce théorème dans le cas particulier des domaines donnés sous cette forme.
III.D.1) Rappeler l'énoncé du théorème de Green-Riemann. Expliquer comment ce théorème se traduit dans le cas d'un calcul d'aire.
III.D.2) Rappeler la formule donnant le produit scalaire de deux nombres complexes. En déduire l'expression du produit scalaire ⟨u ∘ v(t), v^′(t)⟩, lorsque u et v sont les applications u : ℂ → ℂ, z ↦ iz et v : t ↦ σ(t)e^(iμ(t)), où σ et μ sont deux fonctions définies sur un intervalle J de ℝ, à valeurs réelles et de classe C^1.
III.D.3) Si d(t) = arctan(2tan(t)), simplifier 1/2(1 + 3sin^2 t)d^′(t).
III.D.4) Déduire des questions précédentes une expression de A sous la forme d'une intégrale. Simplifier cette intégrale grâce à l'identité obtenue en III.D.3). Calculer enfin 𝒜.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 PSI 2010 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 PSI 2010 ?
+
Il porte sur la réduction des endomorphismes, le calcul différentiel à plusieurs variables, le théorème de Cauchy-Lipschitz, les séries entières et la topologie du plan avec la formule de Green-Riemann.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?
+
Une incompréhension massive de la matrice jacobienne (plus de 90 % des candidats), un théorème de Cauchy-Lipschitz mal énoncé, et des confusions de topologie sur les parties fermées et convexes.
Ce sujet Centrale maths 1 PSI 2010 est-il difficile ?
+
Le rapport le juge exigeant : il constate qu'une majorité de candidats méconnaît des pans entiers du programme, en particulier sur le calcul différentiel et le théorème de Cauchy-Lipschitz.
Faut-il bien maîtriser les équations différentielles pour ce sujet ?
+
Oui, les parties II et III reposent sur le théorème de Cauchy-Lipschitz, les solutions maximales et le développement en série entière, des notions jugées mal comprises par le jury.
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Commentaires• Centrale Mathématiques 1 PSI 2010
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