Centrale Physique PSI 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Calculatrices autorisées.
Formulaire : rotrot^(→−)u⃗ = grad^(→−) div u⃗ − Δ⃗u⃗
Données numériques :

Permittivité diélectrique du vide :
Perméabilité magnétique du vide :
Vitesse de la lumière dans le vide :
Masse d'un électron :
Charge d'un électron :
Constante de Boltzmann :
Constante de Planck
ε_0 = 8, 85 ⋅ 10^(− 12) F ⋅ m^(− 1)
μ_0 = 4π ⋅ 10^(− 7)H ⋅ m^(− 1)
c = 3, 0 ⋅ 10^8 m ⋅ s^(− 1)
m_e = 9, 1 ⋅ 10^(− 31) kg
− e = − 1, 6 ⋅ 10^(− 19)C
k_B = 1, 38 ⋅ 10^(− 23) J ⋅ K^(− 1)
h = 6, 63 ⋅ 10^(− 34) J ⋅ s

Notations : ⟨f⟩ représente la valeur moyenne temporelle de f.

Le 2 février 1891, le physicien Gabriel Lippmann (1845-1921) rendait publique une invention aujourd'hui trop méconnue, celle de la photographie des couleurs par la méthode interférentielle. L'image présentée, celle d'un spectre de la lumière solaire, était le premier résultat d'une recherche menée durant une douzaine d'années, qui devait révolutionner l'histoire de la photographie et lui valoir, en 1908, le prix Nobel pour ses travaux sur «sa méthode de reproduction photographique des couleurs basée sur le phénomène d'interférence».

Le demi-espace x > 0 est occupé par un métal non magnétique et parfaitement conducteur, c'est à dire de conductivité infinie. Une onde électromagnétique plane, progressive, monochromatique, polarisée rectilignement, se propage dans le vide (x < 0) dans le sens des x croissants et arrive sous

incidence normale à la surface du métal. On note E⃗_i le champ électrique associé à cette onde et on pose :

I.A.1) En utilisant la relation de structure de l'onde plane progressive monochromatique dans le vide, donner l'expression du champ magnétique B_i^(→−)(x, t) de l'onde incidente.
I.A.2) Donner, sans démonstration, les valeurs des champs E⃗ et B⃗ à l'intérieur du métal parfait. En utilisant la relation de passage du champ électrique E⃗ à l'interface entre le vide et le métal, montrer

l'existence d'une onde réfléchie dont on donnera les champs électrique E_r^(→−)(x, t) et magnétique B_r^(→−)(x, t).
I.A.3) Quelle est l'expression du champ électrique total E⃗_t(x, t) dans le demiespace x < 0 ? Même question pour le champ magnétique B⃗_t(x, t).
Interpréter physiquement cette solution : on pourra faire des tracés de l'amplitude des champs électrique et magnétique, indiquer et nommer les points caractéristiques ainsi que les distances qui les séparent.
I.A.4) Déterminer l'expression du vecteur de Poynting associé à cette onde. Quelle est sa valeur moyenne temporelle? Interpréter physiquement.
I.A.5) On se place entre deux plans nodaux successifs pour le champ électrique ( E⃗ est nul en tout point de ces plans). Que peut-on dire du vecteur de Poynting dans ces plans? Calculer l'énergie électrique U_(em, E) et l'énergie magnétique U_(em, B) emmagasinées dans un volume situé entre ces deux plans et de section S rectangulaire ( ly, lz ). Montrer qu'il y a échange permanent entre énergie électrique et énergie magnétique. Pouvait-on prévoir ce résultat?
Les résultats de la question I.A. 3 sont à la base de la photographie Lippmann.

Principe de la photographie Lippmann monochromatique : on envoie une onde lumineuse monochromatique (longueur d'onde λ_0 dans le vide) sous incidence normale, sur une pla-
que photosensible. Cette plaque est constituée d'une émulsion de gélatine épaisse (épaisseur e égale à une cinquantaine de μm ), à grains fins d'halogénure d'argent et transparente. Le dos de l'émulsion est mis en contact avec un miroir de mercure.

Le principe des émulsions photographiques d'halogénures est la réactivité des halogénures d'argent lors d'une insolation puis la mise en œuvre d'un traitement chimique. Les zones non insolées sont, elles, insensibles à ce traitement. Les variations d'indice obtenues sont toujours très faibles. On notera n_0 l'indice optique moyen de la plaque photosensible après traitement et on prendra n_(air) = 1 pour l'indice optique de l'air.
Dans tout le problème, bien que la lame de verre soit représentée sur les schémas, on supposera qu'elle n'est pas présente et on note e l'épaisseur de la gélatine.
I.B.1) Premier modèle

On admet que le champ électrique au sein de la plaque photosensible est donné par:

a) Exprimer λ en fonction de λ_0 et n_0. L'émulsion est supposée «épaisse» par rapport à quelle autre grandeur ? Qu'elle en est la conséquence ?
b) Soit n(x) l'indice de la couche photosensible après développement. On suppose qu'après un traitement chimique adapté, on obtient dans le milieu une variation de l'indice proportionnelle à l'éclairement. On écrit donc n(x) = n_0 + δn(x) avec δn(x) = α ⋅ ⟨E^2(x, t)⟩. Quelle est la dimension de α ? Démontrer que l'on a δn(x) = βsin^2(kx). Exprimer β en fonction des données.
c) Tracer l'indice n(x) dans l'émulsion en fonction de x. Définir et déterminer le pas Λ d'un tel enregistrement que l'on appelle aujourd'hui «miroir de Bragg ».
On suppose dans les questions I.B.1.d) et I.B.1.e) que l'onde incidente n'est plus normale au miroir. Elle reste tout de même plane, progressive, monochromatique de même pulsation et polarisée rectilignement perpendiculairement au plan d'incidence. On se place dans la gélatine et on suppose que les vecteur d'onde (de même module) k_i→ et k_r^(→−) appartiennent au plan d'incidence ( Oxy ) per-
pendiculaire au miroir. On note θ l'angle entre l'axe Ox et le vecteur d'onde k⃗_i. On admet que l'onde réfléchie est également plane, progressive, monochromatique, polarisée rectilignement perpendiculairement au plan d'incidence et que les deux ondes ont des directions de propagation symétriques par rapport à la normale au plan du miroir. On admet également que la composante tangentielle du champ total au niveau de l'interface gélatine-miroir est nulle.
On enregistre le phénomène comme précédemment (I.B.1-a à I.B.1-c).
d) Pourquoi peut-on utiliser le modèle scalaire de la lumière en «oubliant» le caractère vectoriel du champ électrique? Déterminer alors le pas de l'enregistrement (on pourra utiliser les résultats du cours sur les interfé-

rences obtenues par superposition de deux ondes planes monochromatiques). Retrouver le résultat de la question I.B.1.c.
e) Expliquer alors comment il est possible d'obtenir un miroir de Bragg pour une longueur d'onde λ_1 (identique à celui obtenu en incidence normale avec une source de longueur d'onde λ_1 ) en travaillant avec une longueur d'onde λ_2 différente.

On suppose dans cette partie que l'onde incidente est normale à la surface photosensible. Dans certains cas, selon le matériau photosensible utilisé, le champ électrique incident dans la gélatine est donné par une expression de la forme ( a est une constante positive) :

a) Interpréter physiquement l'expression précédente. On pourra donner deux longueurs caractéristiques des évolutions spatiales du champ électrique incident.
b) En raisonnant comme à la question I.A.3, et en tenant compte de la nouvelle propriété du milieu, donner l'expression du champ électrique E⃗_r(x, t) de l'onde réfléchie.
c) On admet que 1/a est très grand devant la longueur d'onde. On peut donc considérer que localement on a la superposition d'une onde plane progressive monochromatique avec une onde plane régressive monochromatique (même longueur d'onde) et d'amplitude plus faible. En ne considérant que la partie station-
naire de cette superposition et sans aucun calcul, donner l'allure des variations de l'indice n(x) dans l'émulsion en fonction de x. Conclure.
En pratique, pour obtenir un miroir de Bragg pour une longueur d'onde λ_1 et limiter les conséquences de l'absorption, on préférera travailler avec une autre longueur d'onde (pour laquelle le matériau photosensible est moins absorbant) et utiliser les résultats de I.B.1.e.

Pour observer la photographie réalisée avec une longueur d'onde λ (dans la plaque), on retourne la plaque photosensible et on l'éclaire sous incidence normale. On considère tout d'abord un éclairage monochromatique de longueur d'onde λ_e (dans la plaque). Cette lumière va rencontrer un milieu d'indice variable longitudinalement. Un changement d'indice entre deux milieux provoque une onde réfléchie et une onde transmise. On choisit alors de modéliser la plaque par une suite d'interfaces de même nature distantes de λ/2, la première se trouvant en x_1 = λ/4. Soit r et t les coefficients de réflexion et transmission associés à ces interfaces.

On note s_0 l'amplitude complexe du signal lumineux associé à l'onde incidente en x = 0 (on néglige toute variation d'amplitude à l'entrée ou à la sortie de la gélatine) et s_i celle de l'onde réfléchie sur la i^(ièmē) interface toujours évaluée en x = 0.
I.C.1) Exprimer la position x_i de la

i^(ième) interface en fonction de i et λ. En déduire, en fonction de i, λ_e et λ, le déphasage φ_i du i^(ième) rayon réfléchi par rapport au rayon 1 réfléchi sur l'interface d'abscisse x_1. Exprimer alors s_i en fonction de s_o, λ_e, λ, t, r et i.
I.C.2) Exprimer alors le signal lumineux de la superposition des N premiers rayons réfléchis en fonction de s_o, λ_e, λ, t, r, et N.
I.C.3) Les variations d'indice au sein de l'émulsion étant faibles, que peut-on dire des valeurs de r et t ? Quelle est alors, à priori, la valeur que l'on doit prendre pour N ? Quelle autre hypothèse concernant la plaque photosensible est indispensable pour pouvoir faire ce choix? On rappelle que la gélatine à une épaisseur e égale à une cinquantaine de μm; en supposant que la longueur d'onde λ appartient au domaine du visible, conclure. On suppose dans la suite que l'on peut passer à la limite.
I.C.4) Exprimer alors l'éclairement I(λ_e) réfléchi par la photographie ; on justifiera la convergence et on donnera le résultat sous la forme :

avec I_0 constante que l'on exprimera en fonction des données.
I.C.5) Tracer l'éclairement en fonction de la longueur d'onde pour λ_e variant entre 0 et l'infini. Que voit-on si on observe, à l'œil, en réflexion, la photographie éclairée en lumière blanche ? Justifier.
I.C.6) On éclaire maintenant la plaque sous incidence oblique. On suppose que le modèle précédent est encore valable (notamment les coefficients r et t ). Soit θ l'angle entre le vecteur d'onde k⃗_i de l'onde incidente et l'axe Ox. On néglige toute déviation de l'onde incidente à l'entrée dans la gélatine. Faire un tracé des rayons lumineux. Déterminer le déphasage du i^(ième) rayon réfléchi par

rapport au rayon incident 0 . En déduire la longueur d'onde λ_(e, θ) pour laquelle l'observation de la photographie sous incidence oblique θ donne la même chose qu'en incidence normale avec λ_e. On pourra s'inspirer de la question I.B.1-e).
I.C.7) On enregistre une photographie en lumière jaune sous incidence normale. On l'éclaire sous incidence oblique avec θ = 30^∘. Qu'observe-t-on?
I.C.8) Quelle utilisation peut-on faire d'un tel système utilisé en transmission? Comment améliorer ses performances?

On enregistre comme précédemment une photographie Lippmann mais on suppose dans cette partie que l'onde incidente est la superposition de deux ondes planes, progressives, monochromatiques de pulsation ω_1 et ω_2 :

I.D.1) On suppose que l'indice de la couche photosensible après développement est toujours de la forme n(x) = n_0 + δn(x) avec δn(x) = α ⋅ ⟨E_(total)^2(x, t)⟩. Montrer que l'on a: δn(x) = δn_1(x) + δn_2(x) + f(x) ⋅ ⟨g(t)⟩
où δn_i(x) représente la variation d'indice associée à la longueur d'onde λ_i seule (voir la question I.B.1-b). f et g sont deux fonctions que l'on précisera. Sur quelle durée doit-on calculer la valeur moyenne temporelle de g ? Donner un ordre de grandeur. On estime que le nombre de couleur que peut distinguer l'œil humain est de quelques millions. En déduire un ordre de grandeur de l'intervalle minimum en pulsation qui sépare deux couleurs distinctes pour l'œil. En supposant que l'on cherche à enregistrer, dans une photographie Lippmann, deux couleurs différentes (pour l'œil) que peut-on dire de la moyenne temporelle de g.
I.D.2) En déduire qualitativement la structure en termes d'indice optique de la couche photosensible après exposition et développement.
I.D.3) Donner l'allure de l'éclairement, en fonction de la longueur d'onde, obtenu en observant par réflexion la photographie Lippmann précédente. On se restreindra à des longueurs d'onde variant dans le spectre visible.

On considère maintenant la photographie d'un objet réel multicolore.
I.E.1) On suppose qu'un dispositif optique forme l'image de l'objet sur la plaque photosensible. Décrire, en quelques lignes, la structure de la plaque après développement et le principe de son observation.
Un des points forts de la photographie Lippmann est la «grande qualité de la reproduction des couleurs »: en effet cette photographie interférentielle enregistre toute les longueurs d'onde contrairement aux procédés actuels trichromiques.
I.E.2) Parmi les points faibles de la photographie Lippmann, on peut citer :
a) Les problèmes liés à la dilatation ou à la contraction de la gélatine ; justifier.
b) La grande complexité technique de l'enregistrement pour n'obtenir au final qu'une unique photographie ; justifier.
c) La nécessité d'utiliser un dispositif à prisme et un éclairage sous une certaine incidence pour observer ces photographies. Quel phénomène négligé dans l'étude précédente impose un tel dispositif ? Justifier.

Le physicien Dennis Gabor (Prix Nobel de Physique en 1971), impressionné par la méthode de photographie interférentielle de Gabriel Lippman, conçut dès 1947 le procédé permettant de garder, en plus de l'amplitude, la phase d'un objet donnant ainsi la sensation de relief. Le premier hologramme (holos signifiant «tout» en grec) ne vît le jour qu'un quinzaine d'années plus tard, en 1964 après la mise au point des Lasers, grâce aux efforts de Leith et Upatnieks aux USA, et de Denisyuk en URSS. Commençons donc par voir le fonctionnement d'un Laser, de façon très sommaire.

L'objectif de cette partie est de montrer qu'un Laser peut être considéré comme un oscillateur optique au même titre qu'un oscillateur électronique.

Nous nous intéressons au cas d'un laser à gaz Hélium-Néon ( He − Ne ) typique d'une salle de Travaux Pratiques de lycée.
a) Rappeler une expérience historique permettant de conclure que l'énergie d'un atome est quantifiée.
b) Comment nomme-t-on l'état de plus basse énergie ? Et les autres états ?

Considérons deux niveaux d'énergie E_1 et E_2 avec E_2 > E_1, et N_1 et N_2 respectivement le nombre d'atomes du gaz ayant ces énergies.
c) Calculer la fréquence v_0 et la longueur d'onde λ_0 correspondant à la lumière émise lors de la désexcitation d'un atome du niveau E_2 au niveau E_1. On rappelle la relation : ΔE = hv.
Données : E_2 = 20, 66eV; E_1 = 18, 70eV. On rappelle que l'électron-volt, noté eV , vaut 1, 6 ⋅ 10^(− 19) J.
Quelle est la couleur de la lumière émise par un Laser de ce type ?
d) On suppose que Ni = Aexp(− E_i/k_B T) pour les indices 1 et 2 , où A est une constante, k_B la constante de Boltzmann, et T la température. Comment s'appelle une telle répartition? Interpréter physiquement. Calculer le rapport N_2/N_1 et conclure.
Données : T = 300 K.

Un Laser est constitué en partie d'une cavité résonante composée de deux plans infinis conducteurs parfaits situés en x = 0 et x = L et séparés, pour l'instant, par du vide.
Parmi toutes les fréquences possibles des ondes électromagnétiques se propageant à l'intérieur de la cavité, seules certaines sont compatibles avec la géométrie du problème.

a) En admettant que le champ électrique à l'intérieur de la cavité s'écrive comme celui de la question I.B.1, et en introduisant un entier n de quantification, déterminer les pulsations ω_n, longueur d'onde λ_n et module de vecteur d'onde k_n possibles.
Interpréter simplement l'expression de λ_n.
b) En pratique, cette cavité a des pertes. En donner les causes possibles. Décrire qualitativement l'évolution du champ électrique dans la cavité résonante réelle.

L'objectif de cette partie est de montrer qu'on retrouve des analogies fortes entre le Laser et un oscillateur électrique à réaction. Pour cela, on va s'intéresser à l'oscillateur de Colpitts.
Le montage ci-contre est constitué de trois résistances R, R_1 et R_2 (variable), d'une inductance L et de deux condensateurs de capacité C_1 et C_2. On posera

L'amplificateur opérationnel (A.O.) est supposé idéal.
a) Montrer que la fonction de transfert

s'écrit sous la forme :

Identifier la pulsation centrale ω_0, le gain maximal β_0 et le facteur de qualité Q en fonction de C,

C_2, L et R.

Préciser la nature et l'ordre de ce filtre.
b) Données : R = 1, 0kΩ; L = 10mH; C_2 = 47nF et C_1 = 100nF. Calculer le facteur de qualité Q et la fréquence centrale associée à ω_0. Tracer l'allure du diagramme de Bode en gain et phase.
c) Déterminer la fonction de transfert

d) On associe les deux circuits précédents et l'interrupteur K est maintenu ouvert (voir figure ci-dessous). Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte :

e) L'interrupteur est finalement fermé. À quelle condition sur R_2 en fonction de R_1, C_1 et C_2, peut-il y avoir des oscillations? Quelle est alors la fréquence de ces oscillations? Calculer R_2 pour R_1 = 10kΩ.
f) Déterminer une équation différentielle en V_E et retrouver les résultats de la question précédente.
g) Quel(s) phénomène(s) est (sont) à l'origine des oscillations? Quelle inégalité faut-il en réalité vérifier pour R_2 ? Que peut-on dire alors, d'un point de vue mathématique, de l'évolution temporelle de la solution de l'équation différentielle?
h) Dessiner en fonction du temps l'allure de la tension de sortie de l'A.O. Quel phénomène physique limite l'ampli-

tude des oscillations?

La question II.A.2. a montré la nécessité d'un milieu amplificateur pour compenser les pertes de la cavité. Cela peut s'obtenir par «pompage», mais l'on ne rentrera pas dans les détails de ce procédé.
a) Considérons tout d'abord une onde plane progressive amortie se propageant selon les x croissants à l'intérieur de la cavité de la forme :

En posant k_– = k^′ + jk^(′′) avec k^′ et k^(′′) deux nombres réels, écrire l'expression du champ électrique sous forme réelle.
Quels sont dans le cas général les signes de k^′ et k^(′′) ?
b) Pour que le système «Laser» puisse exister, quel doit être le signe de k^(′′) ?
c) La mécanique quantique permet de modéliser le milieu situé entre les miroirs par un milieu diélectrique de permittivité relative ε_(r_–) :

où g, ω_0 et Γ sont des constantes réelles positives.
Rappeler la relation de dispersion pour un milieu de permittivité relative ε_–_(r_–). En supposant le deuxième terme de l'expression précédente très petit devant 1 , en déduire k^′ et k^(′′).
d) Qu'implique la condition de la question b) ? En rappelant les résultats de la première partie, pourquoi parle-t-on alors d'inversion de population?

On suppose ici que le miroir 1(P_1) est parfait (coefficient de réflexion égal à 1 ) et que l'autre, le miroir (P_2), transmet une fraction T de la lumière et réfléchit la fraction complémentaire R = 1 − T en énergie.
a) Justifier le choix précédent.
b) Soit G le gain en amplitude que subit une onde effectuant le trajet de ( P_1 ) vers ( P_2 ) entre les deux miroirs ; Exprimer G en fonction de k^(′′) et L.
c) On suppose que le retour de la lumière de ( P_2 ) vers ( P_1 ) se fait sans amplification ni atténuation. Écrire la relation entre G et R traduisant la condition du maintien des oscillations de la cavité optique.
d) En s'inspirant des résultats obtenus pour l'oscillateur électrique, justifier que l'égalité précédente est en réalité une inégalité que l'on donnera.

La réalisation d'un hologramme est constituée de deux étapes. La première, l'enregistrement, consiste à garder une trace de la phase d'un objet par interférométrie en utilisant une onde de référence. La seconde, la restitution, permet de récupérer la phase en éclairant le film de l'enregistrement par la même onde de référence.

On considère une source ponctuelle monochromatique (Laser) que l'on place au foyer objet d'une lentille convergente de focale f^′. Le faisceau émergent arrive sur un interféromètre de Michelson réglé en coin d'air. Par rapport à la position des miroirs correspondant au contact optique, le miroir M_2 est incliné d'un angle α.S_p correspond à la séparatrice qui divise le faisceau en deux sans apporter de modification dans le chemin optique : on suppose donc que la séparatrice n'introduit aucun déphasage supplémentaire.
L'air a le même indice que le vide: n_(air) = 1.
a) Comment est l'onde à la sortie de la lentille convergente L, lentille parallèle à M_1 ? Dans le repère orthogonal Oxyz l'axe Oy est confondu avec l'arête du coin d'air, déterminer les composantes des vecteurs d'ondes des deux faisceaux issus du Michelson et qui interfèrent, en fonction de la longueur d'onde λ_0. Préciser au mieux la nature de ces ondes.

b) Déterminer le déphasage Δφ entre l'onde qui s'est réfléchie sur M_2 et celle qui s'est réfléchie sur M_1 en un point M quelconque du champ d'interférences. Que vaut le déphasage en O ?
c) Exprimer alors l'intensité lumineuse, ou éclairement, en un point M situé sur l'écran dans le plan en z = D.
d) Les interférences sont-elles localisées ou non localisées? Justifier votre réponse.
e) Préciser la nature des franges observées. En déduire l'expression de l'interfrange i puis la valeur numérique..
Données : λ_0 = 632, 8 nm; α = 1^∘.
f) On intercale maintenant entre la lame séparatrice S_p et le miroir M_1, une lame de verre à faces parallèles d'épaisseur e et d'indice n (représentée en pointillés sur la figure ci-contre). Cette lame est disposée parallèlement à M_1. On néglige les phénomènes de réflexion sur cette lame

Quel déphasage supplémentaire cela implique-t-il pour un rayon traversant deux fois cette lame de verre? Cette lame occasionne-t-elle une avance ou un retard de phase? La lame atténue l'amplitude de l'onde incidente et celle-ci, qui valait A_0 avant le passage dans la lame, vaut εA_0 après deux passages, avec ε≪1.
g) Déterminer l'amplitude résultante au même point M que précédemment.
h) Exprimer l'éclairement. Simplifier en tenant compte de la très faible valeur de ε (développement à l'ordre 1 ).
i) Donner l'expression du nouvel interfrange et comparer avec la valeur précédente. Quelle est l'influence de la lame sur la figure d'interférence?
j) On enregistre cette figure d'interférences sur une plaque photographique de hauteur L dans une direction perpendiculaire aux franges, disposée sur l'écran précédent. Combien voit-on, à une frange près, de franges brillantes sur cette plaque?
Données : L = 2, 0 cm.

La plaque photographique a un facteur de transparence (ou transmittance) t(x, y) = a + bI(x, y) si l'on choisit convenablement le temps de pause, avec a et b deux constantes réelles, et I l'intensité lumineuse au niveau de la plaque, que l'on a précédemment déterminée en présence de la lame de verre.
a) Déterminer la transmittance t(x, y) de ce film développé que l'on appelle également hologramme. On retire maintenant la plaque photographique du dispositif précédent et on la place au niveau d'un trou percé dans un écran opaque. Les dimensions du trou rectangulaire sont L et h avec h»L > λ_0. On éclaire ensuite ce trou par une onde plane en incidence normale monochromatique de longueur d'onde λ_0, identique à la source utilisée pour l'enregistrement.
b) Rappeler en quelques mots la signification physique du principe d'Huygens-Fresnel.

c) Pourquoi peut-on se contenter d'étudier la diffraction selon une direction parallèle à Ox ?
d) Établir sous la forme d'une intégrale, l'amplitude diffractée à l'infini dans la direction faisant un angle θ petit par rapport à l'axe Oz.
e) En écrivant le cosinus intervenant dans l'expression du facteur de transparence sous forme de deux exponentielles complexes, montrer que cette amplitude diffractée à l'infini s'exprime comme la superposition de trois termes dont on donnera l'amplitude et la direction du maximum de chacun.
f) À quelle condition ces trois termes sont-ils

séparés deux à deux ?
g) Montrer que l'un de ces trois termes reconstitue l'onde initiale réfléchie par le miroir M_1. Comment peut-on alors justifier la sensation de relief ?
h) Un autre terme est souvent nommé «onde jumelle». Justifier également une telle appellation.
II.B.3) Une application parmi d'autres : réseau zoné de Fresnel

Considérons maintenant l'interféromètre de Michelson en configuration lame d'air éclairé par une source spatialement large et monochromatique, de longueur d'onde λ_0 identique à celle du Laser étudié. On a donc enlevé la lame de verre précédente.
a) Décrire :

Vérifier graphiquement que la loi précédente convient et en déduire la valeur de e.

Données: f^′ = 1 m, λ_0 = 632, 8 nm
g) On imprime la figure d'interférences ainsi obtenue sur une diapositive puis on l'éclaire par une onde plane monochromatique de longueur d'onde λ_0.
On utilise le modèle suivant:

Ainsi, la diapositive est analogue à un réseau bidimensionnel à pas variable de fentes infiniment fines. Dans le cas d'un réseau classique (= succession de fentes fines identiquement espacées) rappeler à quelle condition sur la différence de marche entre deux rayons passant par

deux fentes successives, on peut observer des interférences constructives à l'infini?
h) Considérons un point F^′ distant de la diapositive d'une distance f_m^′. Déterminer la différence de marche entre les rayons passant par M et N et convergents en F^′. Les deux points M et N sont situés sur un même diamètre de la diapositive et appartiennent à deux franges brillantes successives de la figure d'interférences. On se

placera dans l'hypothèse où la distance f_m^′ est très supérieure aux r_k.
i) En utilisant le résultat de la question g ), donner la position f_m^′ = OF_m^′^– (où m ∈ ℤ ) des points de l'axe OZ où les interférences sont constructives.
j) Le nom donné à ce dispositif est également «lentille multifocales» : justifier.

k) Tracer les foyers pour m variant de -3 à +3 et préciser le comportement convergente ou divergente de la lentille équivalente dans chacun des cas.