X ENS Physique PSI 2010Sujet et corrigé

Pas encore noté

Effet Doppler
Statistique des vitesses de Maxwell
Interférences à deux ondes, interféromètre de Michelson
Interférences à ondes multiples, cavité résonnante
Équations de Maxwell dans un milieu diélectrique
Propagation d'ondes électromagnétiques planes
Vecteur de Poynting
Équations différentielles couplées, stabilité de régimes stationnaires

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BanqueX-ENS Année2010 FilièrePSI MatièrePhysique

Annales X-ENS PSI Physique X-ENS PSI 2010 PSI Physique Physique 2010

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Fonctionnement d'un laser hélium-néon : élargissement Doppler d'une raie spectrale, cavité résonnante et amplification laser

Le problème étudie d'abord l'élargissement par effet Doppler d'une raie spectrale émise par une vapeur atomique, puis sa mesure expérimentale à l'aide d'un interféromètre de Michelson. Il explique ensuite comment une cavité résonnante optique permet d'obtenir un spectre laser beaucoup plus fin que la raie d'émission naturelle. La seconde partie étudie la propagation d'une onde dans un milieu amplificateur et les conditions d'un fonctionnement stationnaire stable du laser.

1Partie I.1 : élargissement d'une raie spectrale par effet DopplerÉtablir, à partir de l'effet Doppler et de la distribution des vitesses de Maxwell, le profil gaussien de la raie spectrale émise par une vapeur atomique et sa largeur en fonction de la température.
2Partie I.2 : mesure expérimentale de la largeur d'une raie spectraleUtiliser un interféromètre de Michelson réglé en lame d'air pour tracer l'interférogramme d'une source non monochromatique et en déduire la longueur de cohérence et la largeur spectrale de la raie.
3Partie I.3 : largeur spectrale d'un laser, principe de la cavité résonnanteÉtudier les interférences entre les rayons successifs émergeant d'une cavité résonnante à deux miroirs et montrer que seules certaines fréquences, très fines, peuvent y subsister comme modes.
4Partie II.1 : propagation dans un milieu amplificateurÉtablir l'équation de propagation du champ électrique dans un milieu de permittivité complexe et déterminer la condition sur la partie imaginaire de l'indice pour que l'onde soit amplifiée.
5Partie II.2 : saturation et régime de fonctionnement stationnaireCoupler l'évolution de l'intensité lumineuse dans la cavité à celle de l'inversion de population des niveaux atomiques et étudier la stabilité des régimes stationnaires possibles du laser.

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Banque commune École Polytechnique - ENS de Cachan
PSI
Session 2010
Épreuve de Physique

Durée : $4$ heuresAucun document n'est autorisé

L'usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé selon la circulaire

n^\circ99018

du 1 erfévrier 1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
N.

B

: L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation tiendra compte du soin, de la clarté et de la rigueur de la rédaction. Le candidat est prié d'accorder une importance particulière aux applications numériques.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Quelques aspects du fonctionnement d'un laser

Les lasers sont des sources de lumière à la fois très intenses et très cohérentes. On se propose d'étudier quelques aspects du fonctionnement d'un laser hélium-néon. Ce problème comporte deux parties dans une large mesure indépendantes. Dans la première partie, on étudie la largeur d'une raie spectrale, puis le principe de la cavité optique qui explique la finesse du spectre d'émission d'un laser. Dans la seconde partie, après avoir étudié la propagation d'une onde dans un milieu amplificateur, on s'intéresse aux régimes de fonctionnement stationnaire d'un laser.

Lors de la correction, une grande attention sera portée aux remarques à caractère physique, à la clarté de la rédaction, ainsi qu'à la présentation. Il est demandé au candidat de rappeler le numéro identifiant une question avant la solution qu'il propose.

Convention de signe et notation

A tout signal sinusoïdal de la forme :

s(t) = s_0 cos(ωt - φ)

, on associe un signal complexe de la forme :

s_-(t) = s_0 exp[i(ωt - φ)]

où i est le nombre complexe dont le module est égal à 1 et l'argument à

π/2

Pour une grandeur se propageant, on écrit :

s_-(r\to, t) = s_0 exp[i(ωt - φ(r\to))] = S_-(r\to)exp[i(ωt)]

où

S_-(r\to) = s_0 exp[ - iφ(r\to)]

est l'amplitude complexe de l'onde en

r\to

On écrira l'intensité lumineuse associée à une onde d'amplitude complexe

S_-(r\to)

I(r\to) = S_-(r\to) \cdot S_-^*(r\to) = |S_-(r\to)|^2

Données numériques :

Masse molaire du néon :
Vitesse de la lumière dans le vide :
Constante des gaz parfaits :

é M_(néon) = 20, 2 g \cdot mol^(- 1)

c = 3, 0010^8 m.s^(- 1)

R = 8, 31 J \cdot mol^(- 1) \cdot K^(- 1)

Formulaire :

$\int_(- \infty)^(+ \infty)exp(- z^2)dz = \sqrtπ$
$\int_(- \infty)^(+ \infty)exp(- z^2)cos(αz)dz = \sqrtπexp(- (α^2)/4)$
$\int_(- \infty)^(+ \infty)exp(- z^2)sin(αz)dz = 0$

Les lasers sont des sources lumineuses caractérisées la plupart du temps par les trois propriétés suivantes : forte intensité, très grande cohérence temporelle et grande directivité. Citer au moins trois applications des lasers. Préciser dans chaque cas quelles propriétés spécifiques du laser sont utilisées.

Partie I : Profil spectral et cohérence temporelle.

I. $1^\circ$ ) Elargissement d'une raie spectrale par effet Doppler

I. $1^\circ$ ) a) Effet Doppler.

Soit un détecteur

D

fixe en un point

O

de l'espace, une source

S

se déplace à la vitesse algébrique

V

sur un axe (

Ox

) orienté du détecteur vers la source. L'abscisse

x(t)

représente la distance entre D et S . La source S émet un signal de période T ; la célérité du signal dans le milieu qui sépare S de D est c .

Soit t (respectivement t ') et $t + T$ (respectivement t ' +T ') les instants correspondant à l'émission par la source (respectivement la réception par le détecteur) du début et de la fin d'une période du signal. Calculer t' et t ' + T' en fonction des données.
Si on suppose que le temps caractéristique de variation de la vitesse de la source est très grand devant T , exprimer T ' en fonction de $T, V$ et c .
Dans le cas où $V≪c$ , exprimer $v$ ' la fréquence mesurée par le détecteur en fonction de la fréquence émise $v$ , de V et de c .
Quelle information peut-on tirer de l'observation suivante : « le spectre de la lumière reçue des étoiles est décalé vers le rouge par rapport à celui que l'on obtiendrait sur Terre avec une source composée d'atomes identiques à ceux constituant les étoiles observées. >>

I. $1^\circ$ ) b) Profil spectral d'une raie émise par une vapeur atomique.

On s'intéresse à une lampe spectrale. L'ampoule de la lampe est remplie d'une vapeur monoatomique de masse molaire M à la température T . Chaque atome de la vapeur constitue une
source mobile qui émet une lumière dont on considère qu'elle serait parfaitement monochromatique, de longueur d'onde dans le vide

λ_0

, si elle était immobile.

On suppose que le détecteur

D

est suffisamment éloigné de la source

S

pour que les ondes lumineuses reçues se propagent suivant l'axe (Ox) de la figure 1 :

Figure 1

On admettra que les atomes du gaz dans la lampe spectrale suivent une loi de distribution de vitesses de Maxwell ; on supposera que si N est le nombre total d'atomes, alors le nombre d'atomes dont la composante de la vitesse suivant ( Ox ) est comprise entre

V_x

V_x + dV_x

est :

dN = N\sqrt(M/(2πRT))exp(- (MV_x^2)/(2RT))dV_x

En utilisant l'étude faite dans la partie I. $1^\circ$ ) a), évaluer à une constante multiplicative près l'intensité dI reçue par le détecteur entre $λ$ et $λ + dλ$ .
On appelle distribution spectrale de la source, la fonction $g(λ) = (dI)/(dλ)$ .
Montrer que : $g(λ) = Kexp(- ((λ - λ_0)/(Δλ))^2)$ , où K est une constante indépendante de $λ$ . Exprimer $Δλ$ en fonction de $λ_0, M, R, T$ et c .
Tracer la courbe $g(λ)$ .

Déterminer sa largeur à mi-hauteur. Donner une interprétation physique de

Δλ

.
Pour la transition du néon correspondant à une émission de longueur d'onde

λ_0 = 632, 8 nm

, évaluer en nm , pour une température

T_1 = 300 K

, puis

T_2 = 2000 K

la valeur de

Δλ

.
Justifier le terme de raie spectrale.
6. Montrer que la distribution spectrale de la source peut s'exprimer en fonction de la fréquence

v

, telle que :

g(λ)dλ = f(v)dv

. Expliciter la fonction f et la mettre sous la forme :

f(v) = K^' exp(- ((v - v_0)/(Δv))^2)

On donnera les expressions de

K^', v_0

Δv

en fonction de

K, c, λ_0, v

Δλ

.
En considérant le fait que

Δλ≪λ_0

montrer que K ' et

Δv

peuvent être considérés comme des constantes.

On supposera ce résultat valable tout au long de l'épreuve.
Donner dans le cadre de cette approximation l'expression de

Δv

en fonction de

c, λ_0

Δλ

.
Calculer

v_0

, puis

Δv

pour les températures

T_1 = 300 K

T_2 = 2000 K

I. $2^\circ$ ) Mesure expérimentale de la largeur d'une raie spectrale

2^\circ

) a) Interféromètre de Michelson.
7. Représenter schématiquement l'interféromètre de Michelson réglé en lame d'air. On fera apparaître sur le schéma les deux miroirs, la séparatrice, l'épaisseur x de la lame d'air, ainsi qu'un rayon incident et les deux rayons émergents auxquels il donne naissance. Justifier l'appellation de lame d'air que l'on donne à ce dispositif.
8. La séparatrice est une lame de verre d'épaisseur e et d'indice n , dont une des deux faces est métallisée afin de ne laisser passer que la moitié de l'intensité lumineuse incidente, l'autre moitié étant réfléchie.
Expliquer l'utilité de la présence dans l'interféromètre de Michelson d'une lame compensatrice. Donner son épaisseur et son indice. Faire un schéma précisant la position relative des deux lames en indiquant la face métallisée de la séparatrice.
9. On dispose d'une lampe spectrale, d'un diaphragme et d'une lentille convergente

L_1

de focale

f_1^'

. Donner le protocole expérimental qui permet, à l'aide d'un miroir plan de positionner ces éléments afin de former un faisceau de lumière parallèle.
10. On éclaire l'interféromètre de Michelson réglé en lame d'air d'épaisseur x , avec un faisceau de lumière parallèle en incidence normale sur les miroirs. En sortie de l'interféromètre, on place une lentille convergente

L_2

de focale

f_2

' de manière à ce que tous les rayons émergents se focalisent en son foyer image

F^'

.
On place en F' un photodétecteur qui mesure l'intensité lumineuse. Dans le cas où la lampe spectrale peut-être considérée comme parfaitement monochromatique de longueur d'onde

λ_0

, justifier que le détecteur mesure une intensité de la forme :

I = 2 A(1 + cos(Δφ))

Exprimer

Δφ

en fonction des données. Quelle est l'expression de A en fonction de

I_0

, l'intensité lumineuse totale qui entre dans l'interféromètre ?

I. $2^\circ$ ) b) Tracé de l'interférogramme et mesure de largeur de raies spectrales.

On reprend le dispositif de la question 10, on suppose dorénavant que la lampe spectrale n'est pas parfaitement monochromatique, mais émet une onde dont la distribution spectrale est celle étudiée en I.

1^\circ

) b).
11. On notera l'intensité émise par la lampe qui entre dans l'interféromètre de Michelson et dont la fréquence est comprises entre

v

v + dv : f(v)dv

, où

f(v)

est la fonction de la question 6 . En se servant de la question 10 donner l'intensité dI reçue par le détecteur pour cette plage de fréquence.
12. Calculer l'intensité totale I détectée quand on tient compte de tout le spectre de la source. Pour simplifier les calculs et utiliser le formulaire fourni en début d'énoncé on pourra tenir compte de l'approximation suivante: la fonction

f(v)

ayant des valeurs quasi-nulles pour

v < 0

, on peut étendre les intégrales comprenant cette fonction de

ℜ^+

ℜ

.
Mettre le résultat sous la forme :

I = 2A_0(1 + exp(- ((2x)/(L_C))^2)cos(Δφ))

Exprimer

L_C

en fonction de la vitesse de la lumière c et de la largeur spectrale en fréquence

Δv

On souhaite tracer l'interférogramme correspondant à la source étudiée, c'est-à-dire la courbe

I(x)

mesurée par le détecteur lorsqu'on fait varier l'épaisseur de la lame d'air. Pour ce faire on utilise :

d'une part un moteur qui permet de déplacer l'un des miroirs de l'interféromètre en translation à la vitesse constante $V_0 = 0, 5μ m.s^(- 1)$ . Cela permet ainsi de faire varier continûment l'épaisseur x de la lame d'air.
d'autre part, une table traçante. Son principe de fonctionnement consiste à faire défiler du papier millimétré avec une vitesse $V_1$ comprise entre $0, 5 mm \cdot min^(- 1)$ et $0, 5 m \cdot min^(- 1)$ ; un stylet se déplace transversalement au défilement du papier et trace une courbe dont l'ordonnée est proportionnelle à un signal électrique reçu.

En branchant le photodétecteur à la table traçante par un dispositif adéquat, on obtient sur le papier millimétré une courbe

Y(X)

dont l'abscisse est proportionnelle au temps et l'ordonnée à l'intensité lumineuse détectée.

Pour chaque tracé, on allume simultanément le moteur et la table traçante.
(On prendra garde à ne pas confondre X l'abscisse sur la table traçante avec x l'épaisseur de la lame d'air.)
13. Ecrire

Y(X)

sous la forme

Y(X) = Y_0(1 + exp(- (X/(ΔX))^2)cos(2πX/(X_0)))

. Donner les expressions de

ΔX

en fonction de

V_0, V_1

L_C

, et

X_0

en fonction de

V_0, V_1

λ_0

On effectue avec le dispositif expérimental décrit ci-dessus, trois tracés successifs :

Les deux premiers en partant du Michelson réglé au contact optique (c'est-à-dire $x = 0$ ), la vitesse de déroulement du papier de la table traçante étant $V_1 = 0, 5 mm.min^(- 1)$ . L'expérience dure le temps nécessaire à ce que la courbe occupe 1 mètre sur le papier millimétré.
Le troisième en partant d'une valeur $x = x_0$ , avec $V_1 = 0, 5 m \cdot min^(- 1)$ . L'expérience dure le temps nécessaire à ce que la courbe occupe 10 centimètres sur le papier millimétré.

On obtient les tracés ci-dessous :

Tracé 1:

Tracé 2:

Tracé 3:

Les deux premiers tracés ont été obtenus à l'aide d'une lampe spectrale au néon, identique à celle étudiée en $I.1^\circ$ )b). L'un des tracés correspond à la lampe maintenue à 300 K par un dispositif de refroidissement, l'autre correspondant à la lampe fonctionnant à une température aux alentours de 2000 K .

Préciser à quel tracé correspond chaque température.
Déduire de la forme des tracés, la valeur de $L_C$ et de $Δv$ dans chacun des cas. On précisera avec détails la méthode employée.
Commentaires.

Le tracé 3 a été obtenu avec une lampe identique à celle utilisée pour les tracés précédents :

Déterminer $v_0$ la fréquence correspondant au centre de la raie étudiée, ainsi que la longueur d'onde associée $λ_0$ . Que peut on dire sur la précision de la mesure?
Sachant que cette expérience se fait avec une lampe fonctionnant à 2000 K , calculer la valeur de $x_0$ , position du miroir autour de laquelle est effectué le tracé.
Pour ces deux mesures on précisera avec détails la méthode employée.

$I. _-3^\circ$ ) Largeur spectrale d'un laser : principe de la cavité résonante

Le laser étudié est constitué d'une cavité optique renfermant du néon. On constate que la largeur spectrale de l'onde émise par le laser est très inférieure à la largeur de la raie spectrale d'émission du néon. On se propose dans cette partie de montrer en quoi l'utilisation d'une cavité résonnante optique permet d'obtenir ce résultat.

I. $3^\circ$ ) a) Cavité résonnante.

On considère deux miroirs plans perpendiculaires à l'axe (Oz). Le premier situé en

z = 0

possède des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude r et t . Le second miroir situé en

z = L

est parfaitement réfléchissant. On suppose que le milieu contenu dans la cavité et l'espace environnant possède un indice de réfraction

n

que l'on prendra égal à 1 .

Une onde se propageant dans la cavité ainsi formée émet à chaque aller-retour un rayon émergent (voir figure 2). Les rayons émergents sont parallèles entre eux et l'on s'intéresse à l'intensité lumineuse due à l'interférence de ces rayons à l'infini.

Figure 2

Les rayons ont une incidence i sur les miroirs. On ne tiendra pas compte du déphasage de

π

du à la réflexion sur un miroir. La traversée du miroir en

z = 0

n'induit aucun déphasage et l'on néglige tout phénomène de réfraction ou d'absorption. On suppose l'inclinaison i suffisamment faible et les miroirs assez grands pour considérer une infinité de rayons émergents...

L'amplitude complexe en

M

, point à l'infini dans la direction

i

, du

è k^(ième)

rayon émergent s'écrit :

S_-_k(M) = s_k exp(- iφ_k)

, où

s_k

est l'amplitude du rayon k et

φ_k

sa phase.
16. Exprimer le déphasage entre deux rayons émergents successifs

Δφ = φ_(k + 1) - φ_k

en fonction de la longueur de la cavité L , de l'angle d'incidence i , de la vitesse de la lumière dans le vide

c

et de la fréquence de l'onde

v

.
17. Calculer le rapport des amplitudes de deux rayons successifs:

(S_(k + 1))/(S_k)

En déduire l'amplitude complexe du

è k^(ième)

rayon émergent, en prenant comme référence des phases le rayon 0 dont l'amplitude complexe s'écrit :

S_-_0(M) = s_0

.
18. Calculer l'amplitude complexe en M résultant de la superposition de l'ensemble des rayons émergents, le coefficient de réflexion r étant réel et inférieur à 1 .
En déduire l'intensité en

M, I(Δφ)

. La mettre sous la forme :

I(Δφ) = (I_0)/(1 + msin^2((Δφ)/2))

Exprimer m en fonction de r , et

I_0

en fonction de

s_0

et r .
19. Pour

r = 0, 9

, calculer m .

Déterminer les valeurs de $Δφ$ qui correspondent à un maximum de $I(Δφ)$ . Que vaut $I_(max)$ la valeur de ces maxima?
Evaluer la valeur et la position des minima de $I(Δφ)$ .
Calculer les valeurs de $Δφ$ autour d'un maximum tel que $I = (I_(max))/2$ . En déduire la largeur à mihauteur du pic correspondant : $Δ_(1/2)(Δφ)$ que l'on exprimera en fonction de m. Simplifier l'expression en tenant compte de la valeur de m .
Tracer l'allure de I $(Δφ)$ .

En déduire que l'intensité en M ne peut-être considérée comme non nulle que pour certaines valeurs de

Δφ

très réduites.
I.

3^\circ

) b) Conséquences : nombre de modes, cohérence temporelle.

On s'intéresse dans cette partie au fonctionnement de la cavité résonnante dans le cas

i = 0

.
20. A partir des résultats de la question 19, déterminer les fréquences correspondant à un maximum de

I(Δφ)

et montrer qu'elles s'écrivent sous la forme

v_p = pδv

où p est un entier naturel. Donner l'expression de

δv

en fonction de c et L . Faire l'application numérique pour

L = 30 cm

.
21. On suppose que le laser hélium-néon ne peut émettre que des fréquences "contenues" dans la raie spectrale d'émission, c'est-à-dire appartenant à l'intervalle

[v_0 - (Δv)/2, v_0 + (Δv)/2], Δv

étant la largeur spectrale définie à la question 6 .
Calculer

(δv)/(Δv)

où

Δv

est la largeur spectrale de la raie étudiée en I.

1^\circ

) b) et en déduire le nombre de fréquences (appelées modes) qui peuvent exister dans la cavité tout en étant à l'intérieur de la raie spectrale étudiée. On distinguera le cas ou la température vaut

T_1 = 300 K

puis

T_2 = 2000 K

.
Dans le cas où la température vaut

T_2

déterminer la longueur maximale

L_m

que doit avoir la cavité pour qu'elle soit mono-mode, c'est-à-dire qu'il n'existe qu'une seule fréquence permise.
22. Pour un maximum d'intensité centré sur la fréquence

v_p

, déterminer la largeur spectrale à mi-hauteur d'un pic notée

Δv_C

, l'exprimer en fonction de

c, L

et m . Donner sa valeur pour

r = 0, 9

L = 30 cm

.
23. Que peut-on dire sur la cohérence temporelle d'une source constituée de la cavité résonnante émettant un seul mode par rapport à celle d'une lampe spectrale.
Si on utilise cette source avec le dispositif expérimental présenté dans la partie

I.2^\circ

) b), donner un ordre de grandeur de la distance x dont il faudrait déplacer le miroir de l'interféromètre de Michelson pour obtenir un tracé comparable au tracé 2 . Commentaire.
24. Avec quelle précision dL faut-il maintenir la longueur L de la cavité pour que la fréquence

v_p

soit fixée à

dv_p

près ? Calculer dL pour

v_p = v_0

, la fréquence centrale de la raie du néon étudiée à la question 6 , et

dv_p = Δv_C

calculé à la question 22 .
La surface réfléchissante des miroirs est constituée d'une épaisseur

e = 1 mm

de métal. Ce métal à un coefficient de dilatation de

α = 1/e((\partiale)/(\partialT)) = 10^(- 5) K^(- 1)

. Quelle variation de température implique une variation de l'épaisseur e égale au dL calculé précédemment ?
Que vous inspire ce résultat?

Partie II: Amplification laser.

II. $1^\circ$ ) Propagation dans un milieu amplificateur

Pour que l'émission du laser soit continue, il faut que le milieu contenu dans la cavité résonnante soit amplificateur. L'amplification de l'onde électromagnétique lors d'un aller retour dans la cavité résonnante doit compenser l'ensemble des pertes et en particulier la fraction de puissance émise vers l'extérieur.
25. Le milieu intra-cavité est modélisé par une constante diélectrique relative

ε_r

. On considèrera que ce milieu se comporte en tout point comme le vide à condition de remplacer

ε_0

par

ε_0 ε_r

. Ecrire dans ces conditions les équations de Maxwell.
26. Etablir l'équation de propagation du champ électrique

E\to

. Pour une onde plane progressive monochromatique de la forme

E\to = E_0 exp[i(ωt - kz)]e\to_x

, établir l'équation de dispersion reliant

ω

k

. On rappelle la relation vectorielle suivante :

rotrot^(\to-)(X⃗) = Grad^(\to-)(div(X⃗)) - Δ⃗X⃗

27. On suppose que la constante diélectrique relative s'écrit

ε_r = (n + in^')^2

avec

n > 0

. Ecrire le champ électrique de l'onde se propageant vers les z croissant. A quelle condition sur n', l'amplitude de cette onde augmente-t-elle ?
28. Ecrire le champ magnétique de l'onde étudiée à la question précédente. En déduire l'expression du vecteur de Poynting

π⃗

. Calculer la norme de sa valeur moyenne dans le temps

I = ‖⟨π⃗⟩‖

.
29. On appelle R le coefficient de réflexion en puissance du miroir de la cavité résonnante situé en

z = 0

. Si l'on néglige toutes autres sources de pertes, donner la valeur de n' pour que le laser fonctionne en régime stationnaire, c'est-à-dire que l'amplification sur un aller retour de l'onde compense exactement les pertes dues à l'émission du faisceau extérieur.
30. Que se passe-t-il si n' a une valeur supérieure à celle calculée à la question 29 ?

II. $2^\circ$ ) Phénomène de saturation et régime de fonctionnement stationnaire

Pour pallier le problème soulevé à la question 30, il faut tenir compte du processus microscopique à l'origine de l'amplification. On rappelle que l'émission ou l'absorption d'ondes électromagnétiques par la matière, correspond à la transition au sein d'un atome d'un électron entre deux niveaux énergétiques notés 1 et 2 , d'énergie

E_1

E_2(E_1 < E_2)

. Quand l'électron passe du niveau 1 au niveau 2, il absorbe un photon, l'onde électromagnétique est absorbée. Inversement quand l'électron passe du niveau 2 vers le niveau 1, il émet un photon, l'onde électromagnétique est amplifiée.
On appelle

N_1

N_2

les densités volumiques d'atomes respectivement au niveau d'énergie 1 et 2 . On note la différence de peuplement des deux niveaux

ΔN = (N_2 - N_1)

.
La valeur de

ΔN

influe sur l'amplification, mais inversement la variation du flux lumineux dans la cavité influe sur la valeur de

ΔN

, ce couplage induit des phénomènes non-linéaires qui permettent de mieux comprendre les régimes stationnaires possibles du laser.

Les questions 33 et suivantes peuvent être traitées en admettant les résultats de la question 32.
31. On peut montrer que

n^' = α(N_2 - N_1)

avec

α > 0

, en déduire une condition sur

ΔN

pour que le milieu soit amplificateur. En utilisant le résultat de la question 29 déterminer la valeur critique

ΔN_C

ΔN

qui correspond à un fonctionnement stationnaire du laser.
32. On appelle

I_0

l'intensité lumineuse totale dans la cavité qui part du miroir situé en

z = 0

. Si

1 - R≪1

, les pertes sont faibles, l'amplification de l'onde sur un aller retour est donc faible elle aussi. Cela permet de supposer que

(4n^' ωL)/c≪1

. En déduire qu'au premier ordre :

en tout point de la cavité on peut prendre $I \approx I_0$ .
le gain d'intensité sur un aller retour vaut: $ΔI_g \approx (4n^' ωL)/cI_0$

Les pertes sur un aller retour s'écrivent $ΔI_p = - (1 - R)I_0$ . En admettant que le temps d'un aller retour dans la cavité est faible devant le temps d'évolution de $I_0$ , montrer que :

(dI_0)/(dt) = γ(- 1 + gΔ N)I_0

Exprimer les constantes

g

γ

respectivement en fonction de

α, L, c, ω

R

et de

R, c

L

.
34. On admettra que l'évolution de

ΔN

est traduite par l'équation :

(dΔ N)/(dt) = - (ΔN - ΔN_0)/τ - βΔNI_0

où

τ

β

sont des constantes et

ΔN_0

est la différence de peuplement des deux niveaux d'énergie en l'absence d'onde dans la cavité. Cette valeur est maintenue positive par un dispositif dit de "pompage" extérieur à la cavité.
Montrer qu'en régime stationnaire on a :

ΔN = (ΔN_0)/(1 + (I_0)/(I_S))

, exprimer

I_S

en fonction de

τ

β

.
35. En utilisant les résultats des deux questions précédentes, montrer qu'en régime stationnaire il ne peut exister que deux intensités I' et I'' dans la cavité :
Soit

I_0 = I^' = 0

, soit

I_0 = I^'^' = (η - 1)I_S

, exprimer

ΔN_0

en fonction de

g

η

.
36. Etude de la stabilité de la solution stationnaire I'' :

On pose

I_0 = I^' + δi

avec

(δi)/(I^(''))≪1

. Déterminer l'évolution temporelle

δi(t)

pour

δi(t = 0) = δI_0

. A quelle condition sur

η

la solution est-elle stable?
37. Effectuer la même étude qu'à la question précédente pour la solution stationnaire I'.
38. En utilisant les résultats des deux questions précédentes tracer le graphe

I_0

(stable) en fonction de

η

. Quelle est la valeur minimale de

η

pour que le laser émette ? Que vaut alors

ΔN_0

?
39. Enfin tracer, pour les régimes stationnaires stables

ΔN

en fonction de

η

. En déduire que

ΔN

ne peut dépasser une valeur seuil

ΔN_S

. Comparer

ΔN_S

ΔN_C

de la question 31 sachant que

1 - R≪1

. Conclure que le problème de la question 30 est levé.

FIN DE L'EPREUVE

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de physique X-ENS PSI 2010 sur le laser hélium-néon ?

Le sujet mobilise l'effet Doppler et la statistique des vitesses de Maxwell, les interférences à deux ondes puis à ondes multiples, la propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu amplificateur, et l'étude de la stabilité d'équations différentielles couplées.

Les deux parties de ce sujet sur le laser hélium-néon sont-elles indépendantes ?

L'énoncé précise que le problème comporte deux parties dans une large mesure indépendantes : la première étudie la largeur spectrale et la cavité optique, la seconde la propagation dans un milieu amplificateur et le régime stationnaire du laser.

Quelles notions d'optique ondulatoire faut-il maîtriser pour ce sujet ?

Il faut maîtriser les interférences à deux ondes avec l'interféromètre de Michelson, ainsi que les interférences à ondes multiples dans une cavité résonnante, qui expliquent la finesse du spectre d'émission du laser.

Que montre la dernière partie de ce sujet sur le fonctionnement du laser ?

Elle montre, en couplant l'intensité lumineuse dans la cavité à l'inversion de population des niveaux atomiques par un système d'équations différentielles, que seul un régime stationnaire stable d'intensité non nulle permet au laser de fonctionner au-delà d'un certain seuil de pompage.

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Banque commune École Polytechnique - ENS de Cachan PSI Session 2010 Épreuve de Physique

Quelques aspects du fonctionnement d'un laser

Convention de signe et notation

Données numériques :

Formulaire :

Partie I : Profil spectral et cohérence temporelle.

I. 1^∘ ) Elargissement d'une raie spectrale par effet Doppler

I. 1^∘ ) a) Effet Doppler.

I. 1^∘ ) b) Profil spectral d'une raie émise par une vapeur atomique.

I. 2^∘ ) Mesure expérimentale de la largeur d'une raie spectrale

I. 2^∘ ) b) Tracé de l'interférogramme et mesure de largeur de raies spectrales.

Tracé 2:

I. _–3^∘ ) Largeur spectrale d'un laser : principe de la cavité résonante

I. 3^∘ ) a) Cavité résonnante.

Partie II: Amplification laser.

II. 1^∘ ) Propagation dans un milieu amplificateur

II. 2^∘ ) Phénomène de saturation et régime de fonctionnement stationnaire

FIN DE L'EPREUVE

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte ce sujet de physique X-ENS PSI 2010 sur le laser hélium-néon ?

Les deux parties de ce sujet sur le laser hélium-néon sont-elles indépendantes ?

Quelles notions d'optique ondulatoire faut-il maîtriser pour ce sujet ?

Que montre la dernière partie de ce sujet sur le fonctionnement du laser ?

Commentaires• X ENS Physique PSI 2010

Commentaires• X ENS Physique PSI 2010

Banque commune École Polytechnique - ENS de Cachan
PSI
Session 2010
Épreuve de Physique

I. $1^\circ$ ) Elargissement d'une raie spectrale par effet Doppler

I. $1^\circ$ ) a) Effet Doppler.

I. $1^\circ$ ) b) Profil spectral d'une raie émise par une vapeur atomique.

I. $2^\circ$ ) Mesure expérimentale de la largeur d'une raie spectrale

I. $2^\circ$ ) b) Tracé de l'interférogramme et mesure de largeur de raies spectrales.

$I. _-3^\circ$ ) Largeur spectrale d'un laser : principe de la cavité résonante

I. $3^\circ$ ) a) Cavité résonnante.

II. $1^\circ$ ) Propagation dans un milieu amplificateur

II. $2^\circ$ ) Phénomène de saturation et régime de fonctionnement stationnaire