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Mines Mathématiques 1 PSI 2005Sujet et rapport du jury

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A 2005 Math PC 1

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2005

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÊRE ÉPREUVE Filière PCDurée de l'épreuve : 3 heures L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1 - Filière PC. Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Avertissement : dans ce problème, apparaissent de nombreuses intégrales impropres. On prendra soin de justifier systématiquement l'intégrabilité des fonctions considérées même lorsque ce n'est pas explicitement demandé.

I. Préliminaires

  1. Montrer les inégalités suivantes:
ln(1 + t) ≤ t, pour tout t ∈ ] − 1, + ∞[; tln(t) ≥ − 1/e, pour tout t ∈ ]0, + ∞[
  1. Soit ψ une bijection de l'intervalle ouvert I sur l'intervalle ouvert J. Si ψ est de classe C^1 sur I, donner une condition nécessaire et suffisante pour que ψ soit un C^1-difféomorphisme de I sur J. Dans ce cas, rappeler l'expression de la dérivée de ψ^(− 1).

II. Construction d'une application particulière

On note H l'ensemble des fonctions f strictement positives, continues sur ℝ, pour lesquelles il existe ρ > 0 (dépendant de f ) tel que, pour tout réel x :
0 < f(x) ≤ 1/ρexp((1/2 − ρ)x^2)
On note H_0, le sous-ensemble de H des fonctions f telles que:
∫_(− ∞)^(+ ∞)f(u)e^(− u^2/2) du = ∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− u^2/2) du = √(2π)
Dans tout le reste de l'énoncé, f est un élément de H_0.
3) Soit F_f définie par
F_f(x) = ∫_(− ∞)^x f(u)e^(− u^2/2) du
En particulier
F_1(x) = ∫_(− ∞)^x e^(− u^2/2) du
Montrer que F_f est un C^1-difféomorphisme de ℝ sur ]0, √(2π)[.
4) Montrer qu'il existe une unique fonction φ de ℝ dans ℝ telle que, pour tout réel x, on ait
∫_(− ∞)^(φ(x))f(u)e^(− u^2/2) du = ∫_(− ∞)^x e^(− u^2/2) du
  1. Montrer que φ est monotone et que φ est un C^1-difféomorphisme de ℝ sur ℝ.
  2. Pour tout réel x, calculer
ln(φ^′(x)) + ln(f(φ(x))) − 1/2φ(x)^2
et
ln((φ^(− 1))^′(x)) − ln(f(x)) − 1/2φ^(− 1)(x)^2
  1. Soit h une fonction continue par morceaux de ℝ dans ℝ telle que la fonction u ↦ h(u)f(u)e^(− u^2/2) soit intégrable sur ℝ.
    Montrer l'identité suivante :
∫_(− ∞)^(+ ∞)h(u)f(u)e^(− u^2/2) du = ∫_(− ∞)^(+ ∞)h(φ(u))e^(− u^2/2) du
  1. Montrer qu'il existe un réel A > 0 tel que pour tout réel x ≥ A, on ait:
∫_x^(x + 1)φ^2(u)e^(− u^2/2) du ≥ φ^2(x)e^(− (x + 1)^2/2)
  1. Montrer qu'il existe un réel B > 0 tel que pour tout réel |u| ≥ B, on ait:
|φ(u)| ≤ e^((|u| + 1)^2/4)
  1. Déterminer une primitive de la fonction
u ↦ (uφ(u) − u^2 − φ^′(u) + 1)e^(− u^2/2).
  1. Calculer l'intégrale suivante
I = ∫_(− ∞)^(+ ∞)(uφ(u) − u^2 − φ^′(u) + 1)e^(− u^2/2) du

III. Une inégalité intéressante

On introduit les notations suivantes:
E(f) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(u)ln(f(u))e^(− u^2/2) du; Φ(f) = 1/2∫_(− ∞)^(+ ∞)|u − φ(u)|^2 e^(− u^2/2) du
  1. Justifier la convergence de ces deux intégrales.
  2. Montrer l'identité :
E(f) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)ln(f(φ(u)))e^(− u^2/2) du
  1. Montrer l'égalité suivante:
E(f) − Φ(f) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)(φ^′(u) − 1 − ln(φ^′(u)))e^(− u^2/2) du
  1. Quelle est la relation d'ordre entre Φ(f) et E(f) ?
  2. Déterminer les fonctions telles que E(f) = Φ(f).

FIN DU PROBLÈME

Le problème de transport de Monge consiste à optimiser le coût global du transport d'une répartition de masse vers une autre. Dans le cas uni-dimensionnel que nous venons de traiter, on se donne un tas de sable infiniment fin dont le poids entre les abscisses u − du et u + du est donnée par 2exp(− u^2/2)du. On veut le déplacer vers un tas de sable de densité linéique f(u)exp(− u^2/2). Cela est représenté par une application s de ℝ dans ℝ qui pour tout réel u donne l'abscisse, s(u), du grain situé en u après le transport. On montre que l'application φ déterminée en question 4 minimise le coût du transport défini par ∫_(− ∞)^(+ ∞)|u − s(u)|^2 e^(− u^2/2)du, parmi toutes les fonctions s possibles. L'objectif de ce problème est de majorer ce coût minimal par une quantité qui ne dépend que de f et qui ne nécessite pas le calcul de φ. Le nombre E(f) est appelée l'entropie de Boltzmann.

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