Mines Physique 2 PSI 2002Sujet et rapport du jury

(Durée de l'épreuve : 4 heures; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
Physique II - Filière PSI
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 7 pages.
© Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
© Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré.
© Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

La plupart des locomotives utilise la traction électrique. Parmi les procédés utilisés, figurent les chaînes de traction à moteur à courant continu, à moteur asynchrone et à moteur synchrone auto piloté. Pour les locomotives de puissance, le choix actuel de la SNCF est la chaîne de traction à moteurs synchrones autopilotés étudiée dans ce problème.

Les figures principales sont regroupées à la fin de l’énoncé.

La masse d'une rame du TGV Atlantique (deux motrices et dix voitures remorques) est m = 700t. La figure 1 représente les courbes donnant les variations suivant la vitesse, notée v, d'une part de la résultante des actions extérieures s'exerçant sur la rame, notée ( F_e, en pointillés), d'autre part de la résultante des actions exercées par l'ensemble des moteurs, ( F, en traits pleins). On rappelle que 1daN = 10 N.

On analyse dans ce qui suit le cas où la traction électrique est assurée par des moteurs synchrones. La première partie est consacrée à l'étude du moteur, la seconde à l'étude de sa commande.

Le principe du moteur synchrone repose sur l'interaction entre un champ magnétique «tournant» généré par des courants circulant dans les circuits statoriques, et un champ associé aux courants circulant dans les bobinages du rotor.

Le stator porte trois bobinages identiques, alimentés en courant triphasé. Chacun d'eux est assimilé à une spire plate, parcourue par le courant i_k(t) avec k ∈ {, 2, 3}. L'alimentation triphasée est caractérisée par l'ensemble des courants (Fig. 2) :

Les parties des spires parallèles à l'axe (O, Z), positionnées dans des encoches situées à l'intérieur du stator, se referment en formant des cadres rectangulaires. On note n⃗_k la normale au cadre et i_k(t) le courant algébrique (orientation sur la figure) associés à la spire k. Le stator et le rotor, tous deux réalisés dans un matériau magnétique linéaire, sont séparés par une zone d'air, d'épaisseur e, nommée entrefer. La faible valeur de e permet de confondre le rayon intérieur du stator et le rayon extérieur du rotor, notés R l'un et l'autre.

La perméabilité relative du matériau magnétique, μ_r, sera considérée comme infinie ; celle de l'air sera prise égale à 1 .
6. Les effets de bord suivant la direction (O, Z) sont négligés. Justifier que le champ B⃗ est radial dans l'entrefer.

L'espace est rapporté au repère cylindrique ( u⃗_r, u⃗_θ, u⃗_z ) défini sur la figure 3 ; les angles sont repérés à partir du vecteur n⃗_1. On désigne par B⃗_e = B(θ, t)u⃗_r, le champ dans l'entrefer ; on néglige sa variation en fonction de r sur l'épaisseur e de l'entrefer. Le théorème d'Ampère dans un milieu magnétique s'écrit ∮ _C H⃗ ⋅ d⃗ = i, où (C) désigne un contour fermé orienté et i la somme des courants algébriques libres traversant ce contour. Dans le cas où le contour traverse plusieurs
milieux, on admet que la circulation de H⃗ sur les portions situées dans les milieux de haute perméabilité relative est négligeable devant celle qui est calculée sur les portions situées dans l'air.
7. À l'aide du contour (C) défini sur la figure 4, établir que le champ B_1(θ, t) créé par le courant i_1(t), satisfait la relation B_(01) − B_1(θ, t) = f_1(θ)i_1(t), où la fonction f_1(θ) est représentée sur la figure 5. Déterminer la constante β (Fig. 5) et préciser la signification de B_(01).
8. De même, représenter les graphes des fonctions f_2(θ) et f_3(θ) associées aux champs B_2 et B_3 créés par les courants i_2(t) et i_3(t), tels que B_(0k) − B_k(θ, t) = f_k(θ)i_k(t). Montrer qu'il existe une relation simple entre f_2(θ) et f_1 θ + π/3 puis f_3(θ) et f_1 θπ/3.
9. Les fonctions f_k, périodiques, admettent un développement en série de Fourier dont on ne retiendra que le terme fondamental (développement limité au premier harmonique). Exprimer f_1(θ). On donne :

Le bobinage porté par le rotor est modélisé par une spire rectangulaire de largeur 2R et de hauteur H, solidaire du rotor, parcourue par le courant continu I_e (Figure 6). Sa position est repérée par l'angle θ entre n⃗, vecteur normal à la spire, et n⃗_1 (défini fig. 2).
13. Établir que Γ, moment par rapport à l’axe ( O, Z ), des forces de Laplace s’exerçant sur le cadre, satisfait Γ = /Φ_0 sin(ωt − θ), où Φ_0 est fonction de μ_0, I_e, R, H et e.
14. Le rotor tourne à la vitesse angulaire ω_r et la position de n⃗ se repère par l'angle θ = ω_r t − φ. Pour quelle valeur de ω_r la moyenne temporelle de Γ est-elle non nulle ? Exprimer alors le couple Γ; dans quelle plage de valeurs de φ ce couple est-il moteur ?
15. Le moteur synchrone entraîne une charge dont le couple résistant est noté Γ_r. Quelle est la valeur maximale Γ_M que peut prendre Γ_r en régime permanent?
16. En supposant Γ_r < Γ_M et 0 ≤ φ ≤ 2π, montrer qu'il existe deux points de fonctionnement possibles en régime permanent. Étudier la stabilité de ces régimes par rapport à d'éventuelles perturbations.

On s'intéresse aux flux Φ_k(k = 1, 2, 3) du champ magnétique produits par le courant d'intensité I_ε dans les bobinages du stator. Ces flux, dépendant de la position du rotor par l'intermédiaire de l'angle θ seront ici décrits par le premier harmonique de leurs développements en série de Fourier : Φ_k = Φ_(0k) + Φ_(1k)co(θ + φ_k) On conviendra que tous les Φ_(1k) sont positifs.
17. Que représente le plan contenant l'axe ( O, z ) et le vecteur n (cf. Fig. 6) pour le système constitué de la spire modélisant le bobinage du rotor et les pièces métalliques ?
18. Déterminer les valeurs de θ rendant le flux Φ_1 nul (on pourra admettre que tous les Φ_(0k) sont nuls). En déduire la valeur du déphasage φ_1. Exprimer alors les flux Φ_2 et Φ_3 en fonction de Φ_e = (Φ_(11))/(√2) et de θ (on ne cherchera pas à déterminer Φ_(11) ).
19. En déduire, pour ω = ω_r, les forces électromotrices induites dans les bobinages du stator en fonction de Φ_(e^′)ω, † et φ. Quelle est leur valeur efficace, E ?

La commande des moteurs est assurée par l'ensemble décrit sur la figure 7. L'interrupteur K se commande à l'ouverture et à la fermeture. Les interrupteurs K_k et K_k^′ se commandent uniquement à la fermeture. On note u_H(t) = V_A − V_M. Chacun des bobinages du stator étudié dans la première partie est modélisé par le montage de la figure 8. On considère que les bobinages sont identiques et l'on note R et L, respectivement, la résistance et l'inductance équivalente.
L’ensemble {i_1(t), i_2(t), i_3(t)} représente les trois courants triphasés introduits dans la première partie, et l'ensemble {e_1(t), e_2(t), e_3(t)}, les trois forces contre-électromotrices d'induction liées à l'influence du rotor sur le stator.
L'inductance de lissage L_s rend négligeable l'ondulation du courant i. Ce dernier pourra être assimilé à sa valeur moyenne I_m. La figure 9 fournit les variations de différentes grandeurs en fonction du temps sur une période de commande T. Dans l'exemple considéré, le courant i_1 est en avance par rapport à la tension e_1 d'un angle noté Ψ.
20. Déterminer la séquence de commande de fermeture des interrupteurs de l'onduleur pour obtenir les trois courants de la figure 9. On donnera les couples d'interrupteurs fermés pour chacun des six intervalles constituant la période.
21. On admet pour la suite que, lorsque le courant est en avance sur la tension, la fermeture d'un interrupteur entraîne spontanément l'ouverture de l'interrupteur adéquat. On considère aussi que les commutations s’effectuent de façon idéale. Montrer que, quel que soit l'intervalle de temps considéré, le dipôle compris entre A et M est constitué de l'association série d'une résistance égale à 2R et d'une inductance égale à 2X + L_s et de la source de tension u_b(t) représentée sur la figure 9. Cette tension, est définie comme la différence u_0(t) = u(t) − v(t), où u(t) et v(t), représentées sur le même chronogramme que u_0(t), s'identifient, dans l'intervalle de temps considéré, à e_1, e_2 ou e_3, en fonction des interrupteurs passants ; par exemple, pour 0 < t < T/6, u_0(t) = e_1(t) − e_3(t).
22. Écrire l'équation donnant u_H(t) en fonction de i(t) et u_b(t). Considérant que ces grandeurs instantanées sont périodiques, donner la relation liant leurs moyennes temporelles respectives, U_H, I_m et U_R; le résultat ne dépend ni de X ni de L_s.
23. L'interrupteur commandé K est fermé pendant la fraction α de la période T et ouvert pendant la durée (1 − α)T, avec 0 ≤ α ≤ 1. Donner la valeur moyenne de u_H(t) sur une période. Notant E la valeur efficace des forces contre-électromotrices θ_1, θ_2 et θ_3 introduites à la question 19 et admettant la relation générale U_R = ⟨u_0(t)⟩_T = (3√6)/πEco⟨ψ), établir la relation αU_0 = 2RI_m + (3√6)/πEcos(ψ).

Le tableau ci-dessous récapitule quelques données concernant le moteur auto piloté du TGV Atlantique (1985).

Dans toute la suite de l'étude, on assimile les courants à leur terme fondamental, ce qui permet d'utiliser les résultats obtenus dans la première partie. On admet la relation suivante, entre les valeur efficace et moyenne de l'intensité du courant circulant dans les bobinages du stator : I = (2√3)/πI_m.
24. À partir des résultats des questions 13 et 18 et de la figure 9, établir la relation φ = ψ + π/2. Exprimer le couple moteur en fonction de Φ_0, I_m et ψ.
25. À l'aide du tableau, calculer la valeur du couple par moteur de TGV.
26. On donne: I_e = 330 A, I_m = 586 A, R = 10 cm, h = 50 cm, e = 1 mm et cos(ψ) = 0, 634. Calculer la valeur numérique de Φ_0 et celle du couple Γ de la question 13.
27. Le rapport des deux couples trouvés correspond au fait que phases et rotor comprennent l'un et l'autre plus d'une spire. Convenant que l'enroulement du rotor est constitué de 15 spires, calculer le nombre de spires par phase.

Le moteur entraîne un dispositif présentant un couple résistant Γ_r proportionnel à la vitesse de rotation Γ_r = − Cω, où C est une constante. La position du rotor est repérée par un capteur qui permet de régler la période de commande de l’onduleur à une valeur identique à celle de rotation du rotor. Le synchronisme est ainsi toujours assuré. On rappelle que la valeur efficace de la force électromotrice est notée E = Φ_e ω, Φ_e étant une constante homogène à un flux.
L'étude de l'ensemble hacheur-onduleur a montré que les deux paramètres de réglages sont l'angle ψ et la constante α. Dans le dispositif de régulation étudié, on choisit de fixer ψ à une valeur suffisante et de conserver la constante α comme seul paramètre de commande. Ainsi, en agissant sur cette grandeur, on dispose d'une fonction de commande α(t). On désigne par J le moment d'inertie de la partie tournante par rapport à l'axe de rotation du moteur
28. Établir l'équation différentielle reliant α(t) et ω(t) sous la forme (dω)/(dt) = A_0(− Cω + γα) où A, C et γ sont à déterminer, sachant que C est homogène à C. En déduire que la fonction de transfert H_–(p) = (ω_–(p))/(α_–(p)) s'écrit H_–(p) = (H_0)/(1 + τp) où H_0 et τ sont à déterminer.

29. On réalise le circuit d'asservissement de vitesse schématisé sur la figure ci-contre : α_c(t) désigne la grandeur de consigne, ici égale à un échelon caractérisé par t < 0, α_c(t) = 0 et t ≥ 0, α_c(t) = α_c. Un capteur de vitesse permet de comparer la grandeur ramenée proportionnelle
à la vitesse (le rapport de conversion G, Fig. 10 et 11, est une constante) à la grandeur de consigne. Déterminer la réponse en vitesse ω(t) ainsi que l'erreur en régime permanent ^1. Comment doit-on choisir G ?
30. On insère maintenant un correcteur (figure 11). Calculer la nouvelle erreur en régime permanent.
31. Lorsque la rame de TGV monte une côte, un couple constant de freinage se rajoute au couple de charge précédent, qui devient Γ_r = − Cω − Γ^′. Comment l'équation différentielle (cf. question 24) reliant α(t) et ω(t) est-elle modifiée de ce fait? Pour quelle valeur de la constante A^′ le schéma de la figure 12 rend-il compte de cette nouvelle équation ? [ Je l'ai mis plus bas]
32. Représenter les schémas des asservissements représentés sur les figures 10 et 11 lorsque l'on fait intervenir le couple de freinage ;
33. En modélisant ce couple supplémentaire par un échelon, calculer pour les deux asservissements précédents la nouvelle vitesse en régime permanent lorsque la consigne délivre le même échelon que précédemment. Comparer les résultats et conclure sur l'intérêt du correcteur.