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Mines Physique 1 PSI 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Électrocinétique des dipôles R, L, C
  • Hystérésis
  • Modèle de Drude de la conduction électrique
  • Formalisme complexe
  • Puissance électrocinétique
  • Écoulements visqueux dans une conduite
  • Nombre de Reynolds et diagramme de Moody
  • Résistance hydraulique
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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Le memristor : quatrième dipôle passif, modèle de Drude, analogie hydraulique et film de dioxyde de titane
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La première épreuve de physique PSI 2017 du concours Mines-Ponts étudie le memristor, un dipôle capable de servir de mémoire. Le sujet, en trois parties indépendantes et 29 questions, situe ce composant par rapport au résistor, à la bobine et au condensateur, développe le modèle de Drude de la conduction, exploite l'analogie avec un tuyau de diamètre variable puis modélise le memristor réalisé avec un film de dioxyde de titane.

  1. 1Partie I.A : le quatrième dipôleRelations entre charge, flux, tension et intensité, associations de memristors et caractéristique courant-tension présentant un hystérésis.
  2. 2Partie I.B : conductivitéModèle de Drude, mobilité, conductivité, résistance d'un cylindre, impédance complexe et puissance reçue.
  3. 3Partie II : le memristor comme tuyau de diamètre variableÉcoulement lent dans un tuyau, diagramme de Moody, loi de Hagen-Poiseuille et résistance hydraulique.
  4. 4Partie III : le memristor des HP LabsDéplacement d'une frontière entre zones dopée et non dopée d'un film de dioxyde de titane et expression de la memristance.

Difficulté moyenne. Le rapport décrit une succession d'exercices très classiques, réussie par les candidats rigoureux connaissant leur cours, mais note qu'aucune question n'a été bien traitée par la majorité.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Association de memristors non justifiée · Primitive et tracés erronés · Exemples d'hystérésis trop vagues
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Le jury se dit déçu par l'ensemble des copies : même les questions proches du cours n'ont pas été bien traitées par la majorité des candidats. Il relève des lacunes sur les définitions de base de l'électrocinétique, sur le formalisme complexe et sur la lecture d'un diagramme log-log. Il attribue ces difficultés à la faiblesse des moyens techniques plutôt qu'à un manque de travail.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Association de memristors non justifiéeQ5

    L'énoncé demande une justification ; invoquer l'analogie avec l'association de résistances ne suffit pas.

    « une analogie avec les résistances ne suffit donc pas »
  2. 2
    Primitive et tracés erronésQ6

    Beaucoup d'erreurs dans la primitive d'une fonction sinusoïdale et dans le tracé des courbes de i(t) et q(t).

    « fautes dans la primitive d’une simple fonction sinusoïdale »
  3. 3
    Exemples d'hystérésis trop vaguesQ9

    Le jury attend une description précise de deux situations présentant un hystérésis, pas une simple mention.

    « une simple évocation des ALI ou du ferromagnétisme ne suffisait pas à obtenir les points »
  4. 4
    Mémoire permanente mal compriseQ10

    Très peu de candidats expliquent, à partir de la courbe u(i), pourquoi le memristor est une mémoire non volatile.

  5. 5
    Notation vectorielle négligéeQ12

    Écrire une égalité entre un vecteur et un scalaire, ou oublier la flèche d'un vecteur, est sanctionné.

    « la flèche qui désigne un vecteur n’est pas facultative »
  6. 6
    Dimension de f et diagramme log-logQ20

    La dimension du coefficient de friction, pourtant immédiate avec la relation de Bernoulli, a reçu des réponses très variées ; une droite en échelle log-log a été prise pour une loi affine.

    « L’exploitation du diagramme log-log n’est pas acquise par une grande majorité de candidats. »

Ce qui a été bien réussi

  • Le sujet a été globalement réussi par les candidats rigoureux qui savaient leur cours et maîtrisaient les outils techniques fondamentaux.

Conseils du jury

  • Connaître par cœur les définitions de la résistance, de l'inductance et de la capacité.
  • Savoir écrire et résoudre l'équation différentielle du mouvement d'un porteur de charge soumis à une force électrique et à un frottement, y compris en notation complexe.
  • S'entraîner à exploiter un diagramme log-log sans calculatrice, en lisant une pente et un point de la droite.
  • Vérifier l'orthographe des unités et des termes du cours, par exemple farad et hystérésis.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

A2017 - PHYSIQUE I PSI

CONCOURS MINES COMMUN PONTS

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2017

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

LES MEMRISTORS

En 1971, le professeur Leon Chut - qui exerça à l'Université de Berkeley - prédit l'existence d'un dipôle passif nouveau capable de servir de mémoire ^1. Ce dipôle venant complèter la liste des trois dipôles fondamentaux de l'électricité à savoir le résistor, la bobine et le condensateur. Le terme de memristor qu'il inventa résulte de la contraction des deux termes memory et resistor.
En 2008, des chercheurs ^2 des HP Labs ont publié un article ^3 dans la revue Nature ^© intitulé The missing memristor is found, dans lequel ils annoncent avoir mis au point un memristor présentant les propriétés prévues par Leon Chua en 1971. La photographie de la figure 1 montre un ensemble de ces memristors.
En 2015, HP ^® et SanDisk ^® se sont associés pour développer la technologie des mémoires à base de memristors. Les atouts espérés de ce type de mémoires peuvent laisser rêveur : 1000 fois plus rapides que les mémoires flashs actuelles, 1000 fois plus de cycles lecture-écriture qu'actuellement et, pour couronner le tout, une densité inégalée au point de pouvoir doter un smartphone d'une mémoire de 100 To en 2020!
Figure 1 - Un ensemble de memristors (échelle nanométrique) © HP Labs
Le problème proposé comporte 3 parties largement indépendantes qui abordent différents aspects des memristors. A toutes fins utiles un formulaire est fourni à la fin du sujet.

I. -Généralités sur les memristors

I.A. - Le quatrième dipôle

Les quatre grandeurs fondamentales de l'électrocinétique sont la charge q, le courant i, le flux propre magnétique φ à travers le circuit et la tension u. Elles sont en général dépendantes du temps t. On considère les trois dipôles classiques que sont le résistor de résistance R, la bobine
Figure 2 - Carré fondamental
d'inductance L et le condensateur de capacité C. Ces trois dipôles seront supposés parfaits. Il est possible de représenter les quatre grandeurs fondamentales de l'électrocinétique au sommet d'un graphe - carré en l'occurrence - où les arêtes représentent des relations fondamentales ou des relations fonctionnelles des dipôles. Ce carré est représenté sur la figure 2. Avant 1971, on connaissait cinq relations entre les sommets de ce graphe et une était manquante. On se placera systématiquement en convention récepteur pour tout dipôle étudié dans la suite du problème.
  • 1 - Rappeler les relations fonctionnelles de proportionnalité caractérisant les trois dipôles parfaits classiques. Ces relations correspondent aux arêtes 1, 2 et 3 du carré fondamental de la figure 2 . On précisera l'unité usuelle de chaque coefficient de proportionnalité.
  • 2 - Rappeler la relation fondamentale liant q, i et t. A partir d'une équation de Maxwell, justifier que u = (dφ)/(dt).
  • 3 - Déduire des deux questions précédentes une écriture de chaque relation 1 à 5 du carré fondamental de la figure 2 sous la forme dx = y dz.
  • 4 - Dans son article de 1971, Leon Chut prédit l'existence d'une relation f(φ, q) = 0 que l'on peut soit expliciter sous la forme φ = φ(q), on dit que l'on a un memristor contrôlé par la charge; soit sous la forme q = q(φ), on dit alors que l'on a un memristor contrôlé par le flux. La sixième relation différentielle est posée sous la forme dφ = M(q)dq où M(q) est la memristance. Quelle unité rencontrée fréquemment en électricité est aussi celle de la memristance? On justifiera précisément sa réponse.
  • 5 - On associe deux memristors de memristances M_1 et M_2 en série. Quelle est la memristance M du dipôle équivalent? On justifiera sa réponse. Même question si on associe M_1 et M_2 en parallèle.
Afin de concrétiser la notion de memristor, on propose de le modéliser par la relation φ(q) = αq + β/3q^3 où α et β sont des coefficients réels positifs. On impose dans le memristor une intensité i(t) = i_0 sinωt pour t ≥ 0 et on suppose que pour t < 0, i = 0. Enfin, on considère qu'à la date t = 0, on a q(t = 0) = 0.
Figure 3 - Graphe de φ(t)
  • 6 - Déterminer l'expression de q(t) et tracer sur un même graphique les courbes représentatives de i(t) et q(t).
  • 7 - On donne sur la figure 3 la courbe représentative de φ(t). Reproduire cette courbe en y rajoutant sans calcul l'allure de la courbe représentative de u(t).
  • 8 - En analysant la courbe u(i) du memristor précédent représentée sur la figure 4, pourquoi peut-on dire, en simplifiant un peu, que le memristor étudié présente deux régimes de fonctionnement : l'un dans lequel il laisse passer le courant et l'autre dans lequel ce n'est pas le cas?
    ◻9 - La courbe u(i) de la figure 4 présente un phénomène particulier. Connaissez-vous le nom donné à ce phénomène? Décrire deux autres situations physiques où ce phénomène se manifeste. Expliquer la possibilité d'utiliser le memristor pour mémoriser une information.
  • 10 - Leon Chua qualifia le memristor de non volatile memory, c'est-à-dire de mémoire permanente. Quel élément sur le graphique de la figure 4 permet de dire que le memristor est une telle mémoire?
Figure 4 - Courbe u(i) du memristor proposé

I.B. - Conductivité

On considère un milieu conducteur où les porteurs de charge possèdent chacun une charge q et une masse m. Ils sont présents dans le milieu conducteur supposé homogène et isotrope à raison d'une densité volumique n en m^(− 3). Ces porteurs sont soumis à un champ électrique qui va les mettre en mouvement pour créer un courant. Lorsqu'elles se déplacent, ces charges interagissent avec d'autres porteurs en mouvement mais aussi avec leur environnement fixe constitué par le réseau cristallin du conducteur. Elles subissent alors des interactions que l'on peut assimiler à des chocs. Il résulte de l'ensemble des interactions une force de type − m/τv⃗ où v⃗ est la vitesse des porteurs mobiles et τ la durée moyenne qui sépare deux chocs successifs subis par une charge q. Cette durée est de l'ordre de 10^(− 12) s. Le poids des charges sera négligé.
On étudie un conducteur cylindrique de section S, de rayon a et de longueur ℓ constitué du milieu conducteur défini ci-dessus. Ce conducteur est soumis à une différence de potentiel U_0 indépendante du temps qui impose un champ électrique E⃗_0 uniforme et indépendant du temps.
  • 11 - Établir l'équation différentielle à laquelle satisfait la vitesse des porteurs de charge. Donner la solution v⃗(t) sans se préoccuper de déterminer la constante d'intégration. Quelle est l'expression de la vitesse en régime permanent? Sauf précision contraire, on considère que l'on est en régime permanent. Cette hypothèse est-elle contraignante?
  • 12 - La mobilité μ des porteurs de charge est définie de telle sorte que v⃗ = μE_0^(→−). Donner l'expression de la mobilité d'une charge q. Après avoir rappelé la définition de la densité volumique de courant j⃗_0, établir l'expression de la conductivité électrique γ_0 du conducteur définie par la loi j⃗_0 = γ_0 E_0^(→−). Quel est le nom de la loi précédente?
  • 13 - Déterminer l'expression de la résistance électrique R_0 du cylindre conducteur en fonction de γ_0, ℓ et S.
  • 14 - Leon Chua indiqua dans son article fondateur que la résistance était un dipôle memory less ^4 car le signal associé à la tension suivait instantanément les évolutions du signal associé au courant. Justifier cette affirmation.
  • 15 - On impose maintenant au dipôle non plus le champ électrique E⃗_0 mais un champ électrique E⃗_1 toujours uniforme mais dépendant du temps selon E⃗_1 = E⃗_(1m)cosωt. Montrer que le dipôle peut être décrit au moyen d'une impédance complexe Z_– correspondant à l'association de deux dipôles et que la tension ne suit plus instantanément les évolutions de l'intensité. On exprimera Z_– en fonction, entre autres, de R_0. À quelle condition retrouve-t-on la situation où le dipôle est un résistor de résistance R_0 ? Qualifier le comportement du conducteur et l'interpréter.
On revient à la situation où le champ électrique E⃗_0 imposé est indépendant du temps. On étudie à nouveau la situation du régime permanent.
  • 16 - Quelle est la puissance transférée à la charge q par le champ électrique E⃗_0 ? Quelle est la puissance volumique associée à ce transfert d'énergie ?
  • 17 - En considérant l'ensemble du conducteur cylindrique, montrer que la puissance qu'il reçoit est p = ui. Cette expression peut être généralisée aux régimes lentement variables puisque la puissance instantanée p(t) est alors donnée par : p(t) = u(t)i(t).
  • 18 - Dans le cas où le dipôle est un memristor, exprimer la puissance qu'il reçoit en fonction de sa memristance et de l'intensité du courant.

FIN DE LA PARTIE I

II. - A memristor is a pipe whose diameter varies

Leon Chut a décrit le memristor comme un tuyau dans lequel s'écoulerait un fluide, tuyau dont le diamètre varierait en fonction de la valeur du débit du fluide et du sens dans lequel le fluide le traverserait.
Dans cette partie du problème, on étudie l'écoulement lent d'un liquide dans un tuyau cylindrique de section circulaire S, de petit diamètre d et de longueur ℓ. On considère que le tuyau est horizontal. L'écoulement est la conséquence d'un écart de pression entre l'entrée, où la pression est P_e, et la sortie, où la pression est P_s < P_e. Ces pressions sont supposées maintenues au cours du temps. L'objectif est de déterminer l'expression de la résistance hydraulique correspondant à l'écoulement dans le tuyau et de voir qu'en modifiant le diamètre du tuyau, on
a bien une évolution de la résistance hydraulique permettant de faire l'analogie proposée par Leon Chut pour le memristor en électricité et sa résistance électrique.
Afin d'avoir une approche relativement réaliste de l'écoulement, on prend en compte le fait que la vitesse du fluide n'est pas uniforme dans une section donnée de l'écoulement. Pour rendre compte de la chute de pression le long du tuyau, on introduit le coefficient de friction f défini par
P_e − P_s = fℓ/d(ρV^2)/2
où ρ désigne la masse volumique du liquide et V la vitesse débitante. On donne, sur la figure 5 le graphe des variations du coefficient f en fonction du nombre de Reynolds Re appelé diagramme de Moody.

II.A. - Modèle

  • 19 - Formuler des hypothèses raisonnables pour décrire l'écoulement du fluide dans le tuyau.
  • 20 - Déterminer la dimension de f. Comptetenu de vos hypothèses, identifier le régime d'écoulement dans le tuyau. Déterminer, sur le diagramme de Moody cicontre, l'expression de f en fonction de Re.
Figure 5 - Diagramme de Moody
  • 21 - En déduire une formulation de la loi de Hagen-Poiseuille liant la chute de pression P_e − P_s au débit volumique D_(vol) du liquide qui parcours le tuyau.

II.B. - Résistance hydraulique d'un tuyau

◻22 - Donner l'expression de la résistance hydraulique du tuyau. Discuter précisément les analogies et les différences avec la notion de résistance électrique, on précisera soigneusement les différents termes de cette analogie. Connaissez-vous, dans un autre domaine de la Physique, une autre résistance? Y a-t-il une analogie possible avec les deux précédentes?
◻23 - L'image, proposée par Leon Chua, du memristor comme un tuyau dont le diamètre varie est-elle appropriée?

FIN DE LA PARTIE II

III. - Le memristor des HP Labs

Le memristor mis au point aux HP Labs est constitué par un mince film de dioxyde de titane de 5 nm d'épaisseur et de longueur ℓ = 10 nm. À chaque extrémité de ce dipôle, le contact électrique est assuré par 2 électrodes de platine. La particularité de ce memristor est que le dioxyde de titane présente dans une zone des lacunes en oxygène, la formule brute du dioxyde de titane étant alors TiO_(2 − x) si x représente les lacunes. On admet que cette situation est équivalente à celle d'un milieu dopé dans lequel les charges mobiles portent deux charges élémentaires positives q = + 2e. Dans le reste du film, on trouve du dioxyde de titane sans
lacune de formule TiO_2. Si le film est totalement dopé, sa résistance électrique est faible et vaut R_(on) ≃ 1kΩ. Au contraire, si le film n'est pas dopé du tout alors sa résistance électrique est élevée : R_(off) ≃ 100R_(on). Supposons que la frontière entre la zone dopée et la zone non dopée soit située à l'abscisse z, voir le schéma de la figure 6 .
Figure 6 - Représentation schématique du memristor des HP Labs
  • 24 - Donner l'expression de la résistance électrique du memristor lorsque la frontière entre la zone dopée et la zone non dopée se situe à l'abscisse z_0, on notera cette résistance R_(mem _o).
La particularité du film de dioxyde de titane est que la position de la frontière évolue au cours du temps en fonction de l'intensité du courant qui est passée mais aussi en fonction du sens de ce courant. C'est cela qui en fait un memristor. On peut donc passer d'un dispositif bon conducteur à un autre presque isolant. On note dorénavant z(t) la position de la frontière entre la zone dopée et la zone non dopée.
Pour le déplacement de la frontière, on reprend le modèle linéaire de la mobilité étudié à la question 12 où l'on note toujours μ la mobilité des charges mobiles. On propose alors d'écrire la relation
(dz)/(dt) = μ(R_(on)i(t))/ℓ
dans laquelle le courant i(t) est algébrique et son sens conventionnel précisé sur la figure 6.
  • 25 - Interpréter la relation précédente.
    ◻26 - On suppose que i(t < 0) = 0, puis que i(t ≥ 0) ≠ 0 et enfin qu'à la date t = 0, la frontière est située en z = z_0. Etablir l'expression de z(t) en fonction, entre autres, de la charge q(t) qui a circulé depuis la date t = 0. Quelle est la charge minimale Q_(min) nécessaire, dans le cas le plus défavorable, pour que le memristor soit dans l'état le plus conducteur possible?
  • 27 - Établir l'expression de la memristance M(q) en fonction, entre autres, de R_(mem _o). Expliquer pourquoi le memristor a été réalisé pour la première fois avec un système nanométrique.
    ◻28 - Pour simplifier les calculs, on considère que R_(off)≫R_(on), z_0 = 0 et φ(t = 0) = 0. On impose dans le memristor, à partir de la date t = 0, un courant d'intensité i(t) = i_0 sinωt. Établir les expressions de
Figure 7 - Courbe i(u) expérimentale du film de TiO_2
  • 29 - Dans leur article de 2008 , les chercheurs ^5 des HP Labs ont obtenu expérimentalement la courbe i(u) de la figure 7 . Commenter cette courbe.

FIN DE LA PARTIE III

Formulaire

Analyse vectorielle en coordonnées polaires

Dans le système des coordonnées cylindro-polaires ( r, θ, z ) de base associée ( e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_z ), on rappelle quelques formules d'analyse vectorielle.
Soit f une fonction scalaire telle que f = f(r, θ, z, t), le gradient de cette fonction est :
gradf = (∂f)/(∂r)e⃗_r + 1/r(∂f)/(∂θ)e⃗_θ + (∂f)/(∂z)e⃗_z
Soit A⃗ un vecteur fonction des coordonnées cylindriques, l'expression la plus générale du vecteur est :
A⃗ = A_r(r, θ, z, t)e⃗_r + A_θ(r, θ, z, t)e⃗_θ + A_z(r, θ, z, t)e⃗_z
La divergence du vecteur A⃗ est :
divA⃗ = 1/r(∂(rA_r))/(∂r) + 1/r(∂A_θ)/(∂θ) + (∂A_z)/(∂z)
Le rotationnel du vecteur A⃗ est :
rotA⃗ = (1/r(∂A_z)/(∂θ) − (∂A_θ)/(∂z))e⃗_r + ((∂A_r)/(∂z) − (∂A_z)/(∂r))e⃗_θ + 1/r((∂(rA_θ))/(∂r) − (∂A_r)/(∂θ))e⃗_z
Quelques règles sur les opérateurs :
rotgradf = 0→ et divrotA⃗ = 0; rotrotA⃗ = graddivA⃗ − Δ⃗A⃗ et rot(fA⃗) = frotA⃗ + gradf ∧ A⃗; div(fA⃗) = fdivA⃗ + (A⃗ ⋅ grad)f
Soit S une surface fermée entourant un volume τ. Le flux d'un vecteur sur la surface S orientée vers l'extérieur est égal à l'intégrale de la divergence de ce vecteur sur tout le volume τ :
Théorème de Green - Ostrogradski ∫∯ _S A⃗ ⋅ dS⃗ = ∭_(τ/S)divA⃗ dτ
Soit C une courbe fermée sur laquelle s'appuie une surface Σ. La circulation d'un vecteur le long de C est égale au flux du rotationnel de ce vecteur à travers Σ orientée selon la règle du tire-bouchon.
Théorème de Stokes ∮ _C A⃗ ⋅ dℓ⃗ = ∬_(Σ/C)rotA⃗ ⋅ dΣ⃗

FIN DE L'ÉPREUVE

    1. IEEE Transactions on Circuit Theory, vol. CT-18, №5, September, 1971.
    2. Dmitri Strukov, Gregory Snider, Duncan Stewart et Stanley Williams
    3. Nature, Vol 453-1 May 2008- doi :10.1038/nature06932
    1. sans mémoire
    1. D. Strukov, G. Snider, D. Stewart & S. Williams The missing memristor is found Nature Vol 453-1 May 2008-doi :10.1038/nature06932

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines physique 1 PSI 2017 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines physique 1 PSI 2017 ?

Il mobilise l'électrocinétique des dipôles, l'hystérésis, le modèle de Drude de la conduction, le formalisme complexe et la mécanique des fluides visqueux en conduite avec le diagramme de Moody.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique 1 Mines PSI 2017 ?

Définitions de R, L et C non sues, primitive d'une fonction sinusoïdale fausse, exemples d'hystérésis trop vagues, flèches de vecteurs oubliées et mauvaise lecture du diagramme log-log.

Le sujet de physique 1 Mines PSI 2017 était-il difficile ?

Le rapport le décrit comme une succession d'exercices très classiques, réussie par les candidats rigoureux, mais se dit déçu car aucune question n'a été bien traitée par la majorité.

Qu'est-ce qu'un memristor dans le sujet Mines PSI 2017 ?

C'est un dipôle passif reliant le flux et la charge, dont la caractéristique courant-tension présente un hystérésis, ce qui permet de mémoriser une information.

Pas de description pour le moment