Mines Physique 2 PSI 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

A2021 - PHYSIQUE II PSI

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021

DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

PHYSIQUE II - PSI

Vélocimétrie laser Doppler

Figure 1 - Vue d'ensemble du dispositif.

I Principe de la vélocimétrie laser

I.A Montage à 1 faisceau

Figure 2 - Effet Doppler.

• 1. En faisant apparaître V⃗ ⋅ uˆ_e, exprimer la distance parcourue par l'onde pendant Δt en fonction de la distance parcourue par la particule et de λ_e. En déduire la relation

• 2. Dans le référentiel ℛ^′ lié à la particule et en translation par rapport à ℛ, la particule émettrice de lumière est fixe et le récepteur mobile. En le justifiant, adapter le résultat de la question précédente afin de relier f_d et f_p.
• 3. Pour une vitesse ‖V⃗‖≪c_0 de l'ordre de 10 cm.s^(− 1), en déduire que :

I.B Montage à 2 faisceaux

I.B. 1 Élargisseur et diviseur de faisceau

Figure 3 - Élargisseur (a) et diviseur de faisceau (b)

• 4. Reproduire le schéma de l'élargisseur de faisceau de la figure 3-a et positionner les foyers des deux lentilles permettant d'obtenir un faisceau de largeur d_0^′ supérieur à d_0. Exprimer alors d_0^′ en fonction de d_0 et des distances focales f_1^′ et f_2^′ de L_1 et L_2.
     Exprimer l'encombrement de ce dispositif, défini comme sa longueur sur l'axe optique, en fonction de f_1^′, d_0 et d_0^′.
     Proposer un dispositif permettant de réduire cet encombrement sans changer d_0^′. On exprimera le nouvel encombrement et on justifiera qu'il est inférieur à celui du premier dispositif.
     Le faisceau de largeur d_0^′ arrive sur un prisme diviseur de faisceau en verre d'indice n_p dont les caractéristiques géométriques sont précisées sur le schéma de la figure 3-b. On note 2b la largeur du prisme et on prendra α = π/4.
• 5. Reproduire le schéma et le compléter afin d'expliquer son fonctionnement : on y indiquera d_0^′, d_0^(′′) et D. En justifiant rapidement sa réponse, donner la valeur de d_0^(′′). Pourquoi parle-t-on de diviseur de faisceau à différence de marche nulle ? Proposer un autre dispositif permettant d'obtenir la division d'un faisceau. Est-il à différence de marche nulle?
     ◻ − 6. À la limite de non recouvrement des faisceaux, déterminer la relation entre b, d_0^′ et n_p sous la forme

I.B. 2 Étude de l'onde diffusée

Figure 4 - Zone de recouvrement des lasers. Diffusion de lumière par une particule.

• 7. En utilisant le résultat (1), exprimer f_(d1) − f_(d2) en fonction de λ_e, θ et de l'une des composantes de la vitesse V⃗.
     Le photorécepteur est sensible à I(t) = K|E_(d1)_– + E_(d2)_–|^2 où K est une constante positive caractéristique du récepteur.
• 8. Montrer que le signal reçu s'écrit sous la forme I(t) = 2Λ[1 + cos(βt)]. On précisera Λ et β en fonction des données. Exprimer la fréquence f_c de clignotement de cette lumière diffusée en fonction de λ_e, θ et l'une des composantes de V⃗.
• 9. La valeur de la composante de la vitesse particulaire intervenant dans le résultat de la question précédente est de 10 cm.s^(− 1); calculer numériquement la valeur de f_c obtenue avec deux faisceaux issus d'un laser à argon faisant un angle de 3, 6^∘ entre eux. Justifier l'utilisation de deux faisceaux lasers en termes de précision de la mesure et de localisation de la particule.

I.B. 3 Cellule de Bragg

• 10. Le photorécepteur utilisé possède un temps de réponse de τ = 4, 4 × 10^(− 9) s et l'angle θ entre les faisceaux vaut 3, 6^∘. Pour le laser à argon, déterminer littéralement puis numériquement la plage [ − V_(max), + V_(max)] de vitesses détectables par le système.
      ◻
• 11. Pourquoi ne peut-on mesurer qu'une seule composante de V⃗ avec ce dispositif? Proposer une solution permettant d'accéder simultanément aux trois composantes du vecteur vitesse de la particule.
• 12. Pourquoi ne peut-on pas faire la différence entre une valeur positive et une valeur négative de la composante mesurée?

• 13. Déterminer la nouvelle expression f_c^′ de la fréquence de clignotement, en fonction de f_B, λ_e, θ et d'une des composantes de V⃗. Dans les mêmes conditions que la question 10 , exprimer et calculer la fréquence f_B optimale, c'est-à-dire celle permettant la mesure d'une des composantes de V⃗ (et de son signe) dans l'intervalle [ − V_(max)/2, + V_(max)/2]. Analyser votre résultat sachant que la centaine de MHz est réalisable dans certains matériaux.

II Application à la mesure d'un profil de Poiseuille

• 14. Exprimer le nombre de Reynolds de l'écoulement en fonction de grandeurs définies cidessus. À quelle condition l'écoulement peut-il être considéré comme laminaire? On supposera cette hypothèse vérifiée dans la suite.

• 15. Justifier que v(r, x) est indépendant de x. Établir une équation différentielle en v(r).

Figure 5 - Solution 1 (*); solution 2 (+)

• La solution 1 est constituée d'eau de viscosité dynamique η_1 = 1, 0 × 10^(− 3) Pa.s;
• La solution 2 est un mélange à parts égales d'eau et de sucre de canne de masse volumique μ_2 = 1, 2 × 10^3 kg.m^(− 3) et de viscosité dynamique η_2 = 5, 5 × 10^(− 3) Pa.s
  Sur l'axe des abscisses de la figure 5, la distance r est relative à l'axe de la conduite.
• 16. Lequel de ces deux écoulements correspond le plus à un écoulement laminaire? Estimer le débit volumique puis en déduire le nombre de Reynolds pour chacune de ces deux expériences. Interpréter les résultats.

III Application à l'étude d'ondes acoustiques

III.A Onde acoustique guidée

• 17. Qu'est-ce que l'approximation acoustique? Donner sans démonstration un système de trois équations locales linéarisées utiles pour un problème unidimensionnel orienté par l'axe Ox. En déduire l'équation d'onde vérifiée par la surpression p_1(x, t).
• 18. En assimilant l'air à un gaz parfait, montrer que la célérité c du son dépend de la masse molaire du milieu. Calculer numériquement c dans l'air à 20^∘C.
• 19. Pour une OPPM, établir l'expression de l'impédance acoustique Z_a. Exprimer l'intensité en décibel I_(dB) en fonction de v_m l'amplitude de la vitesse acoustique, I_0 = 1, 0 × 10^(− 12) W ⋅ m^(− 2) l'intensité seuil d'audibilité d'un son, et Z_A. Calculer numériquement v_m si I_(dB) = 120 dB dans l'air à 20^∘C. Le vélocimètre à deux lasers étudié précédemment permettrait-il d'accéder à de telles valeurs de v_m ?
      On généralise l'équation d'onde vérifiée par la surpression p_1(M, t) à une géométrie quelconque :

Figure 6 - Modèle plan de guide d'onde acoustique.

• 21. Déterminer et résoudre l'équation différentielle vérifiée par p(z). On montrera que les solutions s'écrivent :

• 22. Trouver la relation de dispersion pour chaque mode propre et montrer l'existence d'une pulsation de coupure ω_(c, n) à partir de laquelle le mode propre n > 0 peut se propager. En déduire la vitesse de phase et la vitesse de groupe, associées à chaque mode propre, en fonction de c, ω et ω_(c, n). Commenter ces expressions.
• 23. À quelle condition sur a et la longueur d'onde λ de l'onde libre, le mode fondamental n = 0 se propage-t-il seul entre les plaques? Faire l'application numérique correspondant à cette condition.
      Étudions désormais la propagation d'une onde acoustique dans une conduite circulaire de rayon a. On peut utiliser les résultats de la question 22, à condition de considérer une pulsation de coupure ω_(c, nm) = (μ_(nm)c)/a. Le paramètre μ_(nm) désigne la valeur de la variable x pour laquelle la fonction de Bessel d'ordre n, J_n(x), admet son m^(ième) maximum.

• 24. Quels modes propres, caractérisés par un couple d'entiers ( n, m ), peuvent se propager dans un tuyau de diamètre 2a = 11 mm ?
• 25. Ce tuyau est alimenté par des salves d'une durée de 4 périodes. Les différents modes propres se propageant sous forme de paquets d'ondes, quelle longueur de tuyau faut-il choisir pour pouvoir les résoudre en sortie?

III.B Production de l'onde acoustique

Figure 7 - Montage à ALI idéal.

• 26. Exprimer la tension s_1 en fonction des données du montage. Représenter un montage permettant d'obtenir une tension s = − s_1.

• R = R_1 = R_2 = 47kΩ;
• e_1(t) : tension sinusoïdale de fréquence f_1 = 40kHz et d'amplitude crête à crête 8 V ;
• e_2(t) : tension en créneau de fréquence f_2 = 5, 0kHz et d'amplitude crête à crête 12 V ;
• 27. Tracer l'allure de la courbe s(t) en fonction du temps, sur une durée de 4 × 10^(− 4) s. On précisera les coordonnées des points remarquables.

• 28. Reprendre la question précédente : en quoi l'allure de s(t) est-elle modifiée. L'objectif d'un générateur de salves semble-t-il atteint?
• 29. La fiche technique de l'amplificateur opérationnel LM741 utilisé indique une vitesse limite de balayage de 0, 5 V ⋅ μ s^(− 1). Pourquoi le signal s(t) sera-t-il déformé? Comment minimiser les effets de ce défaut sans changer de composant?

III.C Ensemencement

• 30. Justifier l'expression de cette force par le calcul d'un nombre adimensionné.
• 31. En régime harmonique de fréquence f, exprimer le rapport des vitesses complexes v_p/v_f en fonction de f et d'une fréquence f_0 à définir en fonction des données. Calculer f_0^– numériquement.
• 32. Dans quel intervalle fréquentiel faut-il travailler? À la fréquence f de l'émetteur, quelle erreur relative est commise sur la mesure de l'amplitude de v_f ? Quelle fréquence maximale faut-il choisir pour commettre une erreur relative inférieure à 1% ? Conclure sur l'intérêt de ces particules pour étudier des infrasons, des sons audibles ou des ultrasons.

Données numériques

• vitesse de la lumière dans le vide : c_0 = 3, 0 × 10^8 m.s^(− 1)
• constante des gaz parfaits : R = 8, 3 J ⋅ K^(− 1) ⋅ mol^(− 1)

Opérateurs vectoriels

FIN DE L'ÉPREUVE