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Mines Mathématiques 1 PSI 2021Sujet et rapport du jury

Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion : fonction caractéristique et convergence de la moyenne empirique
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Le problème étudie la moyenne empirique d'une suite de variables aléatoires entières indépendantes, de même loi, symétriques et vérifiant une condition de dispersion. Après des questions de cours et de généralités, il calcule deux sommes de séries trigonométriques, étudie le comportement en 0 de la fonction caractéristique puis établit la convergence simple des fonctions caractéristiques des moyennes empiriques. Les trois premières parties sont indépendantes.

  1. 1Questions de coursDéfinition d'une variable aléatoire d'espérance finie et cas d'une variable bornée (Q1 et Q2).
  2. 2Généralités sur les variables aléatoiresAbsence d'espérance sous la condition de dispersion, variables symétriques et somme de deux variables symétriques indépendantes (Q3 à Q5).
  3. 3Deux sommes de sériesFormule de Taylor avec reste intégral, convergence dominée et intégrale à paramètre pour calculer les sommes des séries de cos(nθ)/n et sin(nθ)/n (Q6 à Q13).
  4. 4Fonction caractéristique d'une variable aléatoire symétriqueDéfinition et continuité de la fonction caractéristique, réécriture de la fonction à l'aide des probabilités P(|X| ≥ n) puis développement asymptotique en 0 (Q14 à Q18).
  5. 5Convergence simple des fonctions caractéristiques des moyennes empiriquesFonction caractéristique d'une somme de variables indépendantes, puis limite exponentielle et étude de l'uniformité de la convergence (Q19 à Q22).

Difficulté moyenne. Le jury indique que peu de questions sont vraiment faciles mais que la plupart sont de difficulté raisonnable, et que presque toutes ont été abordées par une bonne part des candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,72 / 20 · écart-type 3,79 · 3 550 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
7,72/ 20
Écart-type
3,79
Présents
3 550
Coefficient
4
Durée
3 h
moyenne 7,7205101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 26 avril 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Définition de l'espérance finie · Variable supposée à valeurs en nombre fini · Logarithme complexe hors programme
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Le sujet mêle probabilités et analyse : séries numériques, convergence dominée, intégrales à paramètre, séries de fonctions. Les premières parties étant assez indépendantes, presque toutes les questions ont été abordées par une bonne part des candidats. Le jury juge que les candidats ont assimilé les programmes des deux années et abordé l'épreuve de façon satisfaisante, tout en rappelant que la rédaction et la présentation comptent.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Définition de l'espérance finieQ1

    La question de cours d'ouverture déroute beaucoup de candidats. Il fallait donner la définition par la convergence absolue de la série des x_n P(X = x_n).

    « La question déroute bon nombre de candidats. »
  2. 2
    Variable supposée à valeurs en nombre finiQ2

    Beaucoup de copies traitent la variable aléatoire comme si elle ne prenait qu'un nombre fini de valeurs, sans raison.

  3. 3
    Logarithme complexe hors programmeQ6

    Un tiers des copies intègre la fonction à l'aide d'un logarithme. Ces arguments ont été sanctionnés.

    « le logarithme principal n’est pas au programme et de tels arguments ont été sanctionnés »
  4. 4
    Inégalité triangulaire mal utiliséeQ7

    Cette question simple sur l'inégalité triangulaire et son cas d'égalité n'a été complètement traitée que par très peu de candidats, dont une partie écrit des inégalités entre nombres complexes.

    « Une partie substantielle des candidats considère des inégalités entre complexes. »
  5. 5
    Domination impréciseQ8, Q11

    Le jury attend une référence explicite au théorème de convergence dominée. Pour l'intégrale à paramètre de Q11, la dérivée partielle et la domination sur les segments sont souvent fausses.

    « L’expression de la dérivée partielle et la domination sur les segments ne sont pas toujours justes. »
  6. 6
    Questions de synthèse délaisséesQ13, Q17, Q18

    Les questions qui demandent du recul pour rassembler les résultats précédents sont peu abordées ou rarement réussies.

Ce qui a été bien réussi

  • La question sur la convergence dominée (Q8) est bien traitée dans la moitié des copies.
  • La plupart des candidats énoncent le théorème de dérivation des intégrales à paramètre (Q11).
  • La question élémentaire de probabilité Q14 est souvent traitée, et la continuité de Q15 est souvent correcte chez ceux qui l'abordent.
  • La question classique d'analyse de première année Q21 est correctement traitée par ceux qui l'abordent.

Conseils du jury

  • Travailler en priorité le cours, en particulier les définitions exactes.
  • Citer explicitement le théorème de convergence dominée et donner une domination indépendante de n.
  • N'utiliser que des outils au programme.
  • Soigner la rédaction et la présentation, qui entrent dans l'évaluation.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion

Dans tout le sujet, on fixe un espace probabilisé ( Ω, A, P ) sur lequel toutes les variables aléatoires considérées sont définies. On utilisera systématiquement la locution « variable aléatoire » pour parler d'une variable aléatoire réelle discrète, et « variable aléatoire entière » pour parler d'une variable aléatoire à valeurs dans Z. On pourra noter
X(Ω) = {x_n, n ∈ I}
où I est un sous-ensemble fini ou dénombrable de N et x_n ∈ R pour tout n ∈ I.
Définition 1 (Dispersion d'ordre α ) On fixe un réel α > 0. Soit X : Ω → R une variable aléatoire. On dit que X vérifie la condition (D_α) - dite de dispersion d'ordre α - lorsque, quand n tend vers + ∞,
P(|X| ≥ n) = α/n + O(1/(n^2))
Définition 2 (Variables aléatoires symétriques) On dit que X est symétrique lorsque − X suit la même loi que X, autrement dit lorsque
∀x ∈ X(Ω), P(X = x) = P(X = − x)
On admet le principe de transfert de l'égalité en loi :
Théorème 1 Étant donné deux variables aléatoires X et Y prenant leurs valeurs dans un même ensemble E, ainsi qu'une application u : E → F, si X et Y suivent la même loi alors u(X) et u(Y) aussi.
Dans tout le sujet, on se donne une suite (X_n)_(n ≥ 1) de variables aléatoires entières, mutuellement indépendantes, toutes de même loi, symétriques, et vérifiant la condition (D_α). On admet que sous ces conditions la variable X_(n + 1) est indépendante de X_1 + ⋯ + X_n pour tout n ∈ N^∗.
On pose, pour tout n ∈ N^∗,
M_n:=1/n∑_(k = 1)^n X_k
appelée n-ième moyenne empirique des variables X_k. L'objectif du sujet est d'établir la convergence simple d'une suite de fonctions associées aux variables M_n.
Les trois premières parties du sujet sont totalement indépendantes les unes des autres.

Questions de cours

1▹ Soit X une variable aléatoire. Rappeler la définition de « X est d'espérance finie». Montrer alors que X est d'espérance finie si et seulement si |X| est d'espérance finie.
2▹ Soit X une variable aléatoire. Montrer que si X est bornée, autrement dit s'il existe un réel M ≥ 0 tel que P(|X| ≤ M) = 1, alors X est d'espérance finie.

Généralités sur les variables aléatoires

3▹ Soit X une variable aléatoire entière vérifiant (D_α). Montrer que X n'est pas d'espérance finie, et que X^2 non plus.
4▹ Soit X une variable aléatoire symétrique, et f : R → R une fonction impaire. Montrer que f(X) est symétrique et que si f(X) est d'espérance finie alors E(f(X)) = 0 .
5▹ Soit X et Y deux variables aléatoires symétriques indépendantes. En comparant la loi de ( − X, − Y ) à celle de ( X, Y ), démontrer que X + Y est symétrique.

Deux sommes de séries

On fixe ici un nombre complexe z tel que z ≠ 1 et |z| ≤ 1. On introduit la fonction
L : t ↦ ∫_0^t z/(1 − uz) du
6▹ Montrer que, sur le segment [0, 1], la fonction L est convenablement définie et de classe C^∞. Donner une expression simple de sa dérivée n-ième pour tout n ≥ 1.
7▹ Justifier que pour tout t ∈ ]0, 1], on a 1 − t ≤ |1 − tz|, et plus précisément encore que 1 − t < |1 − tz|.
8 - En déduire successivement que
∫_0^1|(1 − t)/(1 − tz)|^n dt ⟶ _(n → + ∞)0 et ∫_0^1(z^(n + 1)(1 − t)^n)/((1 − tz)^(n + 1)) dt ⟶ _(n → + ∞)0
9▹ En déduire, grâce à une formule de Taylor, que L(1) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(z^n)/n.
10▹ Montrer que la fonction
γ : {R^2, ⟶ R; (t, u), ⟼ |1 + ue^(it)|
est continue. En déduire qu'il existe, pour tout a ∈ ]0, π[, un réel m_a > 0 tel que
∀(t, u) ∈ [ − a, a] × [0, 1], |1 + ue^(it)| ≥ m_a
11 - Montrer que la fonction
F : t ∈ ] − π, π[ ⟼ ∫_0^1(e^(it))/(1 + ue^(it)) du
est de classe C^1 et donner une expression de sa dérivée sous la forme d'une intégrale à paramètre.
12▹ Montrer que
∀t ∈ ] − π, π[, F^′(t) = − (tan(t/2))/2 + i/2
et en déduire la valeur de F(t) pour tout t ∈ ] − π, π[.
13▹ Soit θ ∈ ]0, 2π[. Déduire des questions précédentes que
∑_(n = 1)^(+ ∞)(cos(nθ))/n = − ln(2sinθ/2) et ∑_(n = 1)^(+ ∞)(sin(nθ))/n = (π − θ)/2.

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire symétrique

On fixe dans cette partie une variable aléatoire symétrique X. On pose
Φ_X : {R, ⟶ R; t, ⟼ E(cos(tX)),
appelée fonction caractéristique de X.
14▹ Montrer que Φ_X est bien définie, paire et que ∀t ∈ R, |Φ_X(t)| ≤ 1.
15▹ En utilisant le théorème du transfert, montrer que Φ_X est continue.
Dans la suite de cette partie, on suppose que X est une variable aléatoire entière symétrique vérifiant la condition ( D_α ). Pour tout n ∈ N, on pose
R_n:=P(|X| ≥ n).
16▹ On fixe un réel t ∈ ]0, 2π[. Montrer successivement que
Φ_X(t) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(R_n − R_(n + 1))cos(nt)
puis
Φ_X(t) = 1 + ∑_(n = 1)^(+ ∞)R_n[cos(nt) − cos((n − 1)t)].
On pourra établir au préalable la convergence de la série ∑_n R_n cos(nt).
17▹ Montrer qu'il existe un nombre réel C tel que
∑_(n = 1)^(+ ∞)(R_n − α/n)e^(int) ⟶ _(t → 0^+)C
et en déduire que, quand t tend vers 0^+,
∑_(n = 1)^(+ ∞)R_n cos(nt) = O(lnt) et ∑_(n = 1)^(+ ∞)R_n sin(nt) = (πα)/2 + o(1).
18▹ Conclure que, quand t tend vers 0^+,
Φ_X(t) = 1 − (πα)/2t + o(t)
La fonction Φ_X est-elle dérivable en 0 ?

Convergence simple de la suite des fonctions caractéristiques des variables M_n

19▹ Soit X et Y deux variables aléatoires symétriques indépendantes. Montrer que
∀t ∈ R, Φ_(X + Y)(t) = Φ_X(t)Φ_Y(t)
20▹ Démontrer que pour tout entier n ≥ 1, la variable M_n est symétrique et
∀t ∈ R, Φ_(M_n)(t) = (Φ_(X_1)(t/n))^n.
21▹ En déduire que pour tout réel t,
Φ_(M_n)(t) ⟶ _(n → + ∞)exp(− (πα|t|)/2).
22▹ La convergence établie à la question précédente est-elle uniforme sur R ?
À partir de là, des théorèmes d'analyse de Fourier permettraient de démontrer que la suite (M_n)_(n ≥ 1) converge en loi vers une variable de Cauchy de paramètre (πα)/2, ce qui signifie que pour tout segment [a, b]deR,
P(a ≤ M_n ≤ b) ⟶ _(n → + ∞)α/2∫_a^b(du)/(u^2 + (πα/2)^2).
Fin du problème
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Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 1 PSI 2021 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 1 PSI 2021 ?

Il associe les probabilités discrètes (espérance, indépendance, variables symétriques) à l'analyse : séries numériques, convergence dominée, intégrales à paramètre et séries de fonctions.

Le sujet Mines Maths 1 PSI 2021 était-il difficile ?

Selon le jury, peu de questions sont vraiment faciles mais la plupart sont de difficulté raisonnable. Les questions de synthèse et la question Q10 n'ont été réussies que par peu de candidats.

Quelles erreurs le jury de Mines Maths 1 PSI 2021 a-t-il le plus relevées ?

Une définition de l'espérance finie mal connue, l'usage d'un logarithme complexe hors programme, des inégalités écrites entre nombres complexes et des dominations mal justifiées.

Quelles questions de Mines Maths 1 PSI 2021 étaient les plus accessibles ?

Le jury cite Q14, question élémentaire de probabilité souvent traitée, ainsi que Q21, question classique d'analyse de première année, bien réussie par ceux qui l'ont abordée.

Pas de description pour le moment