Mines Mathématiques 1 PSI 2023Sujet et rapport du jury

Quelques inégalités de convexité autour du déterminant

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Inégalités de convexité sur les matrices symétriques positives : trace, déterminant et log-concavité

Le sujet établit plusieurs inégalités de convexité pour des fonctions définies sur les matrices symétriques positives et définies positives, le théorème spectral jouant un rôle central. Après des préliminaires proches du cours, il compare trace et déterminant, démontre la log-concavité du déterminant, majore ln(det(I_n + tA)) par la trace, puis étudie des développements limités de fonctions matricielles au voisinage de 0.

1Partie 1 : questions préliminairesCaractérisation spectrale des matrices symétriques positives, convexité des ensembles S_n^+(R) et S_n^{++}(R), racine carrée d'une matrice définie positive et inégalité de Jensen.
2Partie 2 : une première inégalité de convexitéDémonstration puis amélioration de l'inégalité entre Tr(M)/n et det(M)^(1/n) à l'aide de la norme ‖·‖₂.
3Partie 3 : on continue avec de la convexitéRéduction simultanée de deux matrices symétriques, inégalité sur det^(1/n)(A+B) et concavité de ln∘det.
4Partie 4 : encore de la convexitéMajoration de ln(det(I_n + tA)) par Tr(A)t à l'aide des valeurs propres.
5Partie 5 : et pour finir, de la convexitéRégularité et développements limités de det(A+tM) et de (A+tM)^(-1), puis étude de det^(-α)(A+tM) au voisinage de 0.

Difficulté moyenne. Le jury décrit des questions de difficultés variées : une première partie proche du cours, des parties 2 et 4 élémentaires ou faciles, une partie 3 nettement plus difficile et une question 8 jugée la plus difficile du sujet.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,93 / 20 · écart-type 4,29 · 3 592 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,93/ 20
Écart-type: 4,29
Présents: 3 592
Coefficient: 4
Durée: 3 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 2 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Réciproque de la caractérisation spectrale · Symétrie oubliée et coréduction abusive · Racine carrée non vérifiée

Le sujet couvre l'analyse de première année, notamment la convexité, l'algèbre linéaire et l'algèbre bilinéaire, avec un rôle essentiel du théorème spectral. La variété des questions a permis aux candidats de montrer leurs qualités et l'échelonnement des notes est jugé très satisfaisant. La fin du sujet a été réellement abordée par assez peu de candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Réciproque de la caractérisation spectraleQ1
Montrer qu'une matrice symétrique à spectre positif est positive est nettement plus délicat que le sens direct.
« la réciproque, nettement plus difficile, n’a été correctement rédigée que par un cinquième des candidats. »
2
Symétrie oubliée et coréduction abusiveQ2
Pour la convexité, la symétrie de tA + (1-t)B est souvent oubliée et l'argument de coréduction de A et B est incorrect. Un contre-exemple explicite était attendu pour montrer que ces ensembles ne sont pas des sous-espaces vectoriels.
3
Racine carrée non vérifiéeQ3
Les candidats proposent en général une matrice, mais vérifient rarement sa symétrie et la positivité de son spectre.
4
Récurrence de JensenQ4
La récurrence demande du soin et assez peu de candidats l'ont réellement menée ; certains invoquent à tort la linéarité de f.
5
Question de réduction simultanéeQ8
Seule une poignée de candidats a traité cette question, dont dépendaient aussi les questions 10 et 16.
« C’est sûrement la question la plus difficile du sujet ; elle aurait clairement mérité une indication. »
6
Concavité confondue avec convexitéQ12
Après le passage au logarithme, il fallait conclure à la concavité de ln∘det et non à sa convexité.

Ce qui a été bien réussi

Le sens direct de la question 1 est souvent bien traité.
La convexité de -ln a été démontrée par la grande majorité des candidats (Q5).
La question 6 est généralement bien traitée, avec mention du théorème spectral.
Le passage au logarithme de la question 12 est très souvent vu.
La question 13 a été bien traitée par les candidats qui l'ont abordée.

Conseils du jury

Maîtriser les techniques et les résultats du cours, en particulier en algèbre bilinéaire.
Souligner les résultats et organiser la copie pour qu'elle ne soit pas un jeu de piste.
Soigner la présentation et faire des ratures propres.
Éviter l'encre gommable, parfois difficile à lire.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : $3$ heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations et résultats admis

Dans tout le problème, $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note $M_n(R)$ (resp. $M_(n, 1)(R)$ ) l'ensemble des matrices de taille $n \times n$ (resp. $n \times 1$ ) à coefficients réels.
La matrice identité de $M_n(R)$ est notée $I_n$ .
Si $A \in M_n(R), det(A)$ est le déterminant de la matrice $A, Tr(A)$ sa trace, $Sp(A)$ son spectre et $A^⊤$ sa transposée.
On note $S_n(R)$ l'ensemble des matrices symétriques à coefficients réels de taille $n \times n$ .
Sur $M_(n, 1)(R)^2$ , on définit l'application $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ par

\forall(X, Y) \in M_(n, 1)(R)^2, ⟨X, Y⟩ = X^⊤Y

où

X^⊤

est la transposée de

X

. On admet que l'on définit ainsi un produit scalaire sur

M_(n, 1)(R)

. On note

‖ \cdot ‖

la norme associée.

On admet que l'application $A \in M_n(R) \mapsto ‖A‖_2 = \sqrt(Tr(A^⊤A))$ est une norme sur $M_n(R)$ .
On note $S_n^+(R)$ (resp. $S_n^(+ +)(R)$ ) l'ensemble des matrices symétriques $S \in S_n(R)$ telles que

∀X ∈ M_(n, 1)(R)∖{0}, ⟨SX, X⟩ ≥ 0(resp. > 0).

Soit $C$ une partie non vide d'un $R$ -espace vectoriel $E$ . On dit que $C$ est convexe si : pour tous $x, y \in C$ et pour tout $t \in [0, 1], (1 - t)x + ty \in C$ .
On admet que si $C$ est une partie convexe d'un $R$ -espace vectoriel $E$ , alors pour tout $p \in N^⋆$ , pour tout $(x_1, \dots, x_p) \in C^p$ et pour tout $(λ_1, \dots, λ_p) \in (R_+)^p$ tel que $\sum_(i = 1)^p λ_i = 1$ , alors $\sum_(i = 1)^p λ_i x_i \in C$ .
Une application $f : C \to R$ définie sur une partie convexe $C$ d'un $R$ -espace vectoriel
$E$ est dite convexe si

\forall(x, y) \in C^2, \forallt \in [0, 1], f((1 - t)x + ty) \leq (1 - t)f(x) + tf(y).

Une application $f : C \to R$ définie sur une partie convexe $C$ d'un $R$ -espace vectoriel $E$ est dite concave si son opposé, $- f$ , est convexe, c'est-à-dire

\forall(x, y) \in C^2, \forallt \in [0, 1], f((1 - t)x + ty) \geq (1 - t)f(x) + tf(y)

Partie 1 : Questions préliminaires

1▹

Montrer qu'une matrice

S \in S_n(R)

appartient à

S_n^+(R)

si, et seulement si,

Sp(S) \subset R_+

De même, on admettra dans la suite du problème que :

S \in S_n^(+ +)(R)

si, et seulement si,

Sp(S) \subset R_+^⋆

2▹

Montrer que

S_n^+(R)

S_n^(+ +)(R)

sont des parties convexes de

M_n(R)

. Sont-elles des sous-espaces vectoriels de

M_n(R)

3▹

Montrer que, si

A \in S_n^(+ +)(R)

, il existe

S \in S_n^(+ +)(R)

telle que

A = S^2

4▹

Soit

I

intervalle de

R

. Soit

f : I \to R

une fonction convexe. Montrer que, pour tout

p \in N^⋆

, pour tout

(λ_1, \dots, λ_p) \in (R_+)^p

tel que

\sum_(i = 1)^p λ_i = 1

et pour tout

(x_1, \dots, x_p) \in I^p

, on a :

f(\sum_(i = 1)^p λ_i x_i) \leq \sum_(i = 1)^p λ_i f(x_i)

Indication : On pourra procéder par récurrence sur

p

Partie 2 : Une première inégalité de convexité

Soit

M \in S_n^+(R)

une matrice non nulle.

5▹

Montrer l'inégalité

(Tr(M))/n \geq det^(1/n)(M)

.
Indication : On pourra montrer que

x \mapsto - ln(x)

est convexe sur

R_+^⋆

On pourra dans la suite de cette partie utiliser, sans la prouver, l'inégalité ci-dessous

∀(x_1, …, x_n) ∈ (R_+)^n; 2max{x_1, …, x_n}(1/n∑_(k = 1)^n x_k − ∏_(k = 1)^n x_k^(1/n)) ≥ 1/n∑_(k = 1)^n(x_k − ∏_(j = 1)^n x_j^(1/n))^2

6▹

Exprimer

‖M‖_2

en fonction des valeurs propres de

M

7▹

En déduire que

(Tr(M))/n - det^(1/n)(M) \geq (‖M - det^(1/n)(M)I_n‖_2^2)/(2n‖M‖_2).

Partie 3 : On continue avec de la convexité

8▹

Soient

A \in S_n^(+ +)(R)

B \in S_n(R)

. Montrer qu'il existe une matrice diagonale

D \in M_n(R)

Q \in GL_n(R)

telles que

B = QDQ^⊤

A = QQ^⊤

. Que dire des éléments diagonaux de

D

B \in S_n^(+ +)(R)

Indication : On pourra utiliser la question 3.

9▹

Étudier la convexité de la fonction

t \mapsto ln(1 + e^t)

10▹

Montrer l'inégalité

\forall(A, B) \in S_n^(+ +)(R)^2, det^(1/n)(A + B) \geq det^(1/n)(A) + det^(1/n)(B).

11▹

Montrer que, si

A

B

appartiennent

S_n^(+ +)(R)

, alors :

\forallt \in [0, 1], det((1 - t)A + tB) \geq det(A)^(1 - t)det(B)^t.

Justifier que cette inégalité reste valable pour

A

B

seulement dans

S_n^+(R)

12▹

Que peut-on en déduire sur la fonction

ln \circ detsurS_n^(+ +)(R)

Partie 4 : Encore de la convexité !

Soit

A \in S_n^(+ +)(R)

et soit

g : t \in R \mapsto det(I_n + tA)

13▹

Exprimer, pour tout

t \in R, g(t)

à l'aide des valeurs propres de

A

. En déduire que

g

est de classe

C^\infty

sur

R

14▹

Soit

f : t \mapsto ln(det(I_n + tA))

. Montrer que

\forallt \in R_+, ln(det(I_n + tA)) \leq Tr(A)t

Partie 5 : Et pour finir... de la convexité !

Soient

A \in S_n^(+ +)(R)

M \in S_n(R)

. Soit l'application

f_A

définie sur

R

par

f_A(t) = det(A + tM)

15▹

Montrer que

f_A

est de classe

C^\infty

sur

R

16▹

Montrer qu'il existe

ε_0 > 0

tel que, pour tout

t \in ] - ε_0, ε_0[, A + tM \in S_n^(+ +)(R)

17▹

Montrer que

f_A(t) = _(t \to 0)det(A) + det(A)Tr(A^(- 1)M)t + o(t)

.
Indication : On pourra commencer par traiter le cas où

A = I_n

18▹

Déterminer

f_A^'(t)

pour tout

t \in ] - ε_0, ε_0[

19▹

On admet que la fonction

Φ : t \mapsto (A + tM)^(- 1)

est de classe

C^1

sur

] - ε_0, ε_0

[. En remarquant que

Φ(t) \times (A + tM) = I_n

, montrer que

Φ(t) = _(t \to 0)A^(- 1) - A^(- 1)MA^(- 1)t + o(t)

Soit

α \in ] - 1/n, + \infty[∖{0}

. On définit l'application

φ_α

par

\forallt \in ] - ε_0, ε_0[, φ_α(t) = 1/αdet^(- α)(A + tM).

20▹

Montrer que

φ_α

est dérivable sur

] - ε_0, ε_0[

et que

\forallt \in ] - ε_0, ε_0[, φ_α^'(t) = - Tr((A + tM)^(- 1)M)det^(- α)(A + tM).

21▹

Montrer que

φ_α

est deux fois dérivable en 0 et que

φ_α^('')(0) = det^(- α)(A)(αTr^2(A^(- 1)M) + Tr((A^(- 1)M)^2)).

22▹

Montrer que

A^(- 1)M

est semblable à une matrice symétrique réelle.
Indication : On pourra utiliser la question 3.

23▹

En déduire que

φ_α^('')(0) \geq 0

24▹

Montrer que, si

φ_α^('')(0) > 0

, alors il existe

η > 0

, tel que pour tout

t \in ] - η, η[

1/αdet^(- α)(A + tM) \geq 1/αdet^(- α)(A) - Tr(A^(- 1)M)det^(- α)(A)t

Fin du problème

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Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 PSI 2023 ?

Le sujet mobilise la convexité des fonctions d'une variable réelle, l'algèbre linéaire, l'algèbre bilinéaire avec le théorème spectral, et les fonctions vectorielles en fin de problème.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines maths 1 PSI 2023 ?

Le jury relève une réciproque de la caractérisation spectrale rarement bien rédigée, l'oubli de la symétrie dans les preuves de convexité, une racine carrée proposée sans vérification et des récurrences mal menées pour l'inégalité de Jensen.

Quelle est la question la plus difficile de Mines maths 1 PSI 2023 ?

Le jury désigne la question 8, sur la réduction simultanée d'une matrice définie positive et d'une matrice symétrique, comme sûrement la plus difficile ; seule une poignée de candidats l'a traitée.

Quelles parties de Mines maths 1 PSI 2023 sont les plus abordables ?

D'après le rapport, la première partie reprend des résultats proches du cours, la deuxième est assez élémentaire et la quatrième est courte et facile. La troisième est nettement plus difficile.

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