WikiPrépaLivrets

Mines Mathématiques 1 PSI 2025Sujet et rapport du jury

4,7(6 votes)
Faisable en Sup
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2025FilièrePSIMatièreMathématiques
Annales Mines PSI MathématiquesMines PSI 2025PSI MathématiquesMathématiques 2025

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord
  • Corrigé : pas encore disponible

Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Algèbre linéaire : caractériser les matrices carrées semblables à leur inverse
Afficher ou masquer la section

Le sujet étudie à quelles conditions une matrice carrée complexe est semblable à son inverse, et démontre que cela équivaut à être un produit de deux matrices de symétrie. La démonstration s'appuie d'abord sur les polynômes réciproques et antiréciproques, puis sur l'étude de la matrice de Jordan, pour construire en cinq parties la preuve complète du résultat.

  1. 1Partie 1 : Polynômes réciproquesCaractérisation des polynômes réciproques et antiréciproques à partir de leurs racines et de leurs multiplicités.
  2. 2Partie 2 : Le cas diagonalisableLien entre le fait qu'une matrice soit semblable à son inverse et le caractère réciproque ou antiréciproque de son polynôme caractéristique, avec un contre-exemple montrant que ce lien ne suffit pas hors du cas diagonalisable.
  3. 3Partie 3 : Produits de matrices de symétriesPreuve du sens facile du résultat principal, puis construction par blocs d'un produit de deux matrices de symétrie.
  4. 4Partie 4 : La matrice Jn(λ)Étude de la matrice de Jordan Jn(λ) : elle est semblable à son inverse, et pour λ égal à 1 ou -1 elle s'écrit comme un produit de deux matrices de symétrie.
  5. 5Partie 5 : Une caractérisation des matrices semblables à leur inverseDémonstration du sens difficile du résultat principal en admettant la décomposition en blocs de Jordan.

Difficulté moyenne. Le rapport décrit un sujet de longueur et de difficulté technique raisonnables, mais qui nécessite une bonne maîtrise du cours d'algèbre générale et linéaire.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 11,71 / 20 · écart-type 4,05 · 3 713 présents · où vous situez-vous ?
Afficher ou masquer la section
Moyenne
11,71/ 20
Écart-type
4,05
Présents
3 713
Coefficient
4
Durée
3 h
1er quartile
8,7
Médiane
11,8
3e quartile
14,9
moyenne 11,7105101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 22 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Mauvaise distribution du facteur X^p · Mauvaise lecture de l'indication · Confusion entre matrice de symétrie et matrice symétrique
Afficher ou masquer la section

Le rapport qualifie ce sujet d'algèbre linéaire de longueur et de difficulté technique raisonnables, tout en exigeant une bonne maîtrise du cours. Il a permis de départager les candidats selon leur rigueur, avec quelques excellentes copies menées jusqu'à la dernière partie. Le jury déplore par ailleurs une dégradation de la rédaction et de la présentation des copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Mauvaise distribution du facteur X^pQ2

    À la question 2, beaucoup de candidats se trompent en répartissant le facteur X^p dans le produit lors de la factorisation de P, ce qui les empêche de conclure correctement sur la non-nullité des racines.

    « la plupart du temps à cause d’une mauvaise distribution du facteur »
  2. 2
    Mauvaise lecture de l'indicationQ4

    À la question 4, un nombre significatif de candidats interprète mal l'indication fournie et cherche à démontrer que 1 et -1 sont les seules racines possibles, ce qui n'est pas ce qui est demandé.

  3. 3
    Confusion entre matrice de symétrie et matrice symétriquePartie 3

    Dans la partie 3, plusieurs candidats confondent la matrice de symétrie définie dans l'énoncé (S au carré égal à l'identité) avec une matrice symétrique au sens usuel.

    « des confusions entre matrice de symétrie (notion pourtant redéfinie dans l’énoncé) et matrice symétrique. »
  4. 4
    Base mal ordonnée à la question 14Q14

    Pour construire la base adaptée à la matrice nilpotente, une partie des candidats choisit mal le vecteur de départ ou range les vecteurs de la base dans le mauvais ordre, ce qui donne une matrice différente de celle attendue.

    « un certain nombre de candidats ordonnent la base dans le mauvais sens, ce qui ne conduit pas à la bonne matrice. »
  5. 5
    Calcul de l'inverse de la matrice de JordanQ15, Q16

    Le calcul explicite de l'inverse de Jn(λ) à la question 15 est rarement mené à bien, la formule de Bernoulli étant peu utilisée, et la question 16 qui en découle est très rarement traitée correctement.

    « Question très rarement traitée correctement. »
  6. 6
    Question finale de synthèse quasiment jamais traitéeQ21

    La question 21, qui demande de rassembler les résultats des parties précédentes pour conclure la démonstration, est pratiquement jamais abordée, ce que le rapport attribue à la durée de l'épreuve.

    « Question nécessitant la synthèse de plusieurs résultats antérieurs ; pratiquement jamais abordée, ce qui est assez logique compte-tenu de la durée de l’épreuve. »

Ce qui a été bien réussi

  • Le calcul par blocs de la question 12 est maîtrisé dans la plupart des copies.
  • Le maniement du polynôme caractéristique en partie 2 a été plutôt satisfaisant.
  • Quelques excellentes copies montrent une bonne compréhension de la démarche générale et abordent la dernière partie.
  • Le calcul de s1 au carré et s2 au carré à la question 17 est le plus souvent correct.

Conseils du jury

  • Souligner ou encadrer les résultats et aérer la présentation (sauts de ligne, espaces).
  • Annoncer sa démarche au début de chaque raisonnement.
  • Citer clairement les résultats de cours utilisés, avec leurs hypothèses précises.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2025

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Matrices semblables à leur inverse

Notations et définitions.

On note C le corps des nombres complexes, N l'ensemble des entiers naturels. Pour n ∈ N^∗, M_n désigne l'algèbre des matrices carrées complexes de taille n et GL_n le groupe des matrices complexes inversibles de taille n.
On rappelle que deux matrices A et B de M_n sont semblables si
∃P ∈ GL_n, A = P^(− 1)BP.
Pour toute matrice A ∈ M_n le polynôme caractéristique de A est défini par
χ_A = det(XI_n − A)

Partie 1. Polynômes réciproques.

Soit p ∈ N^∗. Un polynôme P ∈ C[X] de degré p est dit réciproque lorsqu'il satisfait l'égalité
P(X) = X^p P(1/X).
1▹ Soit P ∈ C[X] de degré p. On écrit P = ∑_(k = 0)^p a_k X^k, où a_0, …a_p sont des nombres complexes, et a_p ≠ 0.
Montrer que P est réciproque si et seulement si pour tout entier k, 0 ≤ k ≤ p, on a l'égalité a_k = a_(p − k).
2▹ Soit P un polynôme de degré p écrit sous forme factorisée P = a_p∏_(i = 1)^d(X − λ_i)^(m_i), où λ_1, …, λ_d sont les racines complexes distinctes de P et m_1, …, m_d leurs multiplicités.
Ecrire sous forme factorisée le polynôme X^p P(1/X) et démontrer que si P est réciproque alors pour tout entier i, 1 ≤ i ≤ d, λ_i est non nul et 1/(λ_i) est racine de P avec la multiplicité m_i.
3▹ Soit Q un polynôme de degré p. On dit que Q est antiréciproque si
Q(X) = − X^p Q(1/X).
Montrer que si Q est antiréciproque, 1 est une racine de Q et qu'il existe un polynôme P constant ou réciproque tel que Q = (X − 1)P.
Soit R un polynôme non constant de C[X] ayant la propriété suivante :
Toute racine a de R est non nulle et 1/a est racine de R de même multiplicité que a.
4▹ Démontrer que le produit des racines de R, comptées avec multiplicités, ne peut prendre que les valeurs 1 ou -1 . On pourra remarquer que l'égalité a = 1/a n'a lieu que pour a = 1 ou -1 .
5▹ En déduire que R est réciproque ou antiréciproque.

Partie 2. Le cas diagonalisable.

Soit A une matrice appartenant à GL_n.
6▹ Soit x un nombre réel non nul. Exprimer det(xI_n − A) en fonction de x, detA et det(1/xI_n − A^(− 1)).
7▹ On suppose dans cette question que A est semblable à son inverse. Préciser les valeurs que peut prendre le déterminant de A, et en déduire que χ_A est soit réciproque, soit antiréciproque.
8▹ Soit B ∈ M_n une matrice diagonalisable. On suppose que le polynôme caractéristique de B est réciproque ou antiréciproque. Démontrer que B est inversible et semblable à son inverse.
9▹ Montrer que la matrice B = (2, 0, 0, 0; 0, 2, 0, 0; 0, 0, 1/2, 1; 0, 0, 0, 1/2) n'est pas semblable à son inverse (bien que son polynôme caractéristique (X − 2)^2(X − 1/2)^2 soit réciproque).
On pourra déterminer les espaces propres de B et B^(− 1) pour la valeur propre 2 .
Ainsi, hors du cas diagonalisable, le polynôme caractéristique ne suffit pas à caractériser les matrices semblables à leur inverse. La suite du problème se propose de caractériser ces matrices par une autre méthode.

Partie 3. Produits de matrices de symétries.

On dit qu'un endomorphisme f d'un C-espace vectoriel E est une symétrie si f ∘ f = Id_E. On dit qu'une matrice S ∈ M_n est une matrice de symétries si S^2 = I_n.
10▹ Démontrer que si S_1 et S_2 sont deux matrices de symétrie, la matrice produit A = S_1 S_2 est inversible et semblable à son inverse.
11▹ Si une matrice A est un produit de deux matrices de symétries, en est-il de même de toute matrice semblable à A ?
Soit B et C deux matrices de GL_n. Soit A ∈ M_(2n) la matrice définie par blocs suivante :
A = (B, 0_n; 0_n, C)
12▹ Soit S_1 la matrice par blocs
S_1 = (0_n, P; Q, 0_n)
où P, Q sont deux éléments de GL_n.
Déterminer les conditions reliant B, C, P, Q pour que les matrices S_1 et S_2 = S_1 A soient des matrices de symétries.
13 - En déduire que si C est semblable à B^(− 1), alors A est un produit de deux matrices de symétries.

Partie 4. La matrice J_n(λ).

14▹ Soit E un C-espace vectoriel de dimension n. Soit g un endomorphisme de E tel que g^n = 0 et g^(n − 1) ≠ 0.
Démontrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de g est la matrice N ci-après :
N = (0, 1, 0, …, 0; 0, 0, 1, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, 1; 0, …, …, 0).
Autrement dit : N = (n_(i, j))_(1 ≤ i, j ≤ n) avec n_(i, j) = 1 si j = i + 1 et n_(i, j) = 0 sinon.
15▹ Pour tout λ ∈ C non nul, on pose J_n(λ) = λI_n + N.
Démontrer que J_n(λ) est inversible et déterminer en fonction de N et de λ la matrice N^′ telle que J_n(λ)^(− 1) = 1/λI_n + N^′
16▹ Calculer (N^′)^n et en déduire que J_n(λ)^(− 1) est semblable à J_n(1/λ).
Pour tout polynôme P = P(X) ∈ C_(n − 1)[X] on pose
{s_1(P) = P(− X),; s_2(P) = P(1 − X),; g(P) = P(X + 1) − P(X).
On définit ainsi trois endomorphismes de l'espace vectoriel C_(n − 1)[X] (il n'est pas demandé de le prouver).
17▹ Calculer s_1^2, s_2^2 et exprimer s_1 ∘ s_2 en fonction de g et Id_(C_(n − 1)[X]).
18 - Soit P un polynôme non constant. Exprimer le degré du polynôme g(P) en fonction du degré de P.
19▹ Déduire des questions précédentes que la matrice J_n(1) est un produit de deux matrices de symétries.
On pourrait démontrer par le même type de raisonnement, et on l'admet, que la matrice J_n(− 1) est un produit de deux matrices de symétries.

Partie 5. Une caractérisation des matrices semblables à leur inverse.

Soit A une matrice de GL_n semblable à son inverse. On admet le résultat suivant :
A est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme
A^′ = (J_(n_1)(λ_1), 0, ⋯, 0; 0, J_(n_2)(λ_2), ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, ⋯, 0, J_(n_r)(λ_r))
où les λ_i sont les valeurs propres de A (pas nécessairement distinctes) et r ainsi que les n_i, 1 ≤ i ≤ r, des entiers naturels non nuls.
De plus la matrice A^′ est unique à l'ordre près des blocs.
20▹ Démontrer que A^(− 1) est semblable à (J_(n_1)(1/(λ_1)), 0, ⋯, 0; 0, J_(n_2)(1/(λ_2)), ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, ⋯, 0, J_(n_r)(1/(λ_r))).
21 - En utilisant les résultats établis dans les parties précédentes, démontrer que A est un produit de deux matrices de symétries.
Fin du problème
  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Mines-Ponts PSI 2025 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Mines-Ponts PSI 2025 ?

Le sujet porte sur les polynômes (réciproques, racines, multiplicités), la réduction des matrices (diagonalisation, polynôme caractéristique), les matrices semblables et nilpotentes, ainsi que la décomposition de Jordan.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le rapport signale des confusions entre matrice de symétrie et matrice symétrique, des difficultés à distribuer le facteur X^p dans une factorisation, et des erreurs dans l'ordre de construction de la base à la question 14.

Le sujet de mathématiques 1 Mines-Ponts PSI 2025 est-il difficile ?

Le rapport le qualifie de longueur et de difficulté technique raisonnables, tout en soulignant qu'il exige une bonne maîtrise du cours d'algèbre générale et linéaire.

Quelle est la question la plus difficile du sujet mathématiques 1 Mines-Ponts PSI 2025 ?

La question 21, qui conclut la démonstration en synthétisant les résultats précédents, est pratiquement jamais abordée par les candidats selon le rapport.

Pas de description pour le moment