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Centrale Mathématiques 1 PSI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Endomorphismes de Mn(R) conservant le rang, le déterminant, la trace ou le polynôme caractéristique
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Le sujet étudie les endomorphismes de l'espace des matrices carrées réelles qui conservent le rang, le déterminant, la trace ou le polynôme caractéristique. Il est constitué de cinq parties largement indépendantes, allant de résultats de cours d'algèbre linéaire à la détermination effective de ces endomorphismes, en passant par l'étude de la relation d'équivalence entre matrices de même rang.

  1. 1Partie I : résultats préliminairesdeuxième année (PSI)Démonstration de résultats classiques du cours de PSI sur l'algèbre linéaire.
  2. 2Partie II : étude de quelques endomorphismes de Mn(R)Mise en évidence de propriétés de certains endomorphismes de l'espace des matrices carrées.
  3. 3Partie III : endomorphismes de rang donnéDémonstration que toutes les matrices de même rang sont équivalentes à une matrice de référence Jn,r.
  4. 4Partie IV : endomorphismes de Mn(R) conservant le rangDétermination des endomorphismes de l'espace des matrices carrées qui conservent le rang.
  5. 5Partie V : endomorphismes conservant le déterminant ou le polynôme caractéristiqueDétermination des endomorphismes qui conservent le déterminant ou le polynôme caractéristique, avec une question sur le produit scalaire.

Difficile. Le rapport indique que le sujet était plutôt long, que la première partie sur des résultats de cours n'a pas été réussie dans l'ensemble, et que la cinquième partie a été très peu abordée faute de temps.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,26 / 20 · écart-type 4,14 · 4 193 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,26/ 20
Écart-type
4,14
Présents
4 193
Coefficient
15
Durée
4 h
1er quartile
6,4
Médiane
9,1
3e quartile
12,1
moyenne 9,2605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 9 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Réponse imprécise à la première question · Confusion entre somme directe et somme quelconque · Propriétés du rang mal connues
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Le sujet nécessitait une bonne maîtrise du cours d'algèbre linéaire et du recul sur les objets manipulés. La première partie, portant sur des résultats de cours, n'a pas été réussie dans l'ensemble, tandis que la deuxième partie a été bien mieux réussie. La cinquième et dernière partie a été très peu abordée, les candidats n'ayant sans doute pas eu le temps d'y arriver.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Réponse imprécise à la première questionQ1

    Les candidats ayant essayé de répondre à la première question l'ont fait de manière imprécise, en évoquant vaguement une formule de changement de base.

    « les candidats ayant essayé de répondre à la première question l’ont fait de manière imprécise en évoquant vaguement une formule de changement de base »
  2. 2
    Confusion entre somme directe et somme quelconquepartie III

    Plusieurs candidats considèrent à tort que le noyau et l'image d'un endomorphisme sont toujours en somme directe.

  3. 3
    Propriétés du rang mal connues

    Le rang n'est pas une application linéaire, et il n'y a pas d'égalité générale entre rg(AB) et min(rg(A), rg(B)), ni entre rg(AB) et rg(A) × rg(B).

  4. 4
    Critère de diagonalisabilité erronéQ10

    Le résultat selon lequel une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé à racines simples est faux, alors qu'il est repris dans plusieurs copies.

    « le résultat qui prétend que «A est diagonalisable si et seulement siχA est scindé et à racines simples », est faux »
  5. 5
    Une seule implication ne suffit pas pour une équivalence

    Pour démontrer une équivalence entre deux propriétés, il faut raisonner par équivalence directe ou par double implication ; montrer une seule implication ne suffit pas.

    « Mais montrer une seule implication ne suffit pas »
  6. 6
    Définition du produit scalaire mal démontréeQ46

    Les quatre points de la définition d'un produit scalaire ne sont pas toujours démontrés correctement, et la positivité ne signifie pas que Tr(AB) est toujours positif ou nul.

Ce qui a été bien réussi

  • La deuxième partie a été bien mieux réussie que la première, avec de nombreux arguments intéressants et des réponses très pertinentes.
  • Les premières questions de la quatrième partie ont été dans l'ensemble bien traitées.
  • Une majorité de copies est clairement présentée, avec des questions numérotées et des résultats encadrés.
  • Quelques candidats ont abordé avec succès les questions les plus difficiles du sujet.

Conseils du jury

  • Soigner la présentation des copies : numéroter les questions, les traiter dans l'ordre et encadrer les résultats.
  • Limiter l'usage des abréviations peu courantes et des symboles mathématiques dans les explications rédigées.
  • Articuler un raisonnement avec des mots clés (considérons, or, donc, car, en effet).
  • Bien démontrer les deux inclusions lors d'un raisonnement par double inclusion, ou signaler explicitement qu'une inclusion est évidente.
  • Rédiger correctement une récurrence avec la propriété, l'initialisation, l'hérédité puis la conclusion.
  • Utiliser un brouillon et ne pas commencer la rédaction définitive aussitôt l'énoncé lu.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Notations et rappels

Dans tout le problème, n est un entier naturel non nul. On identifie un vecteur de ℝ^n et la matrice colonne à n lignes formée de ses coordonnées dans la base canonique de ℝ^n. L'élément nul de ℝ^n est noté 0_(ℝ^n).
L'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels est noté M_n(ℝ) et l'ensemble des matrices inversibles d'ordre n est noté GL_n(ℝ). On désigne par I_n la matrice identité d'ordre n et par 0_n la matrice nulle d'ordre n.
Pour toute matrice M de M_n(ℝ), on appelle image de M, notée ImM l'image de l'endomorphisme de ℝ^n canoniquement associé à M et on appelle noyau de M , noté kerM, le noyau de cet endomorphisme.
Pour toute matrice M de M_n(ℝ), on note M^⊤ sa transposée, det(M) son déterminant, rg(M) son rang, tr(M) sa trace, χ_M son polynôme caractéristique et Sp_ℂ(M) l'ensemble de ses valeurs propres complexes. On rappelle que M et M^⊤ ont le même rang et le même déterminant.
On note T la transposition dans M_n(ℝ), c'est-à-dire l'application qui à toute matrice M associe M^⊤.
Si B = (e_1, …, e_n) et B^′ = (e_1^′, …, e_n^′) sont deux bases de ℝ^n et si f est un endomorphisme de ℝ^n, on note M_(B, B^′)(f) la matrice dont, pour tout entier j ∈ [ [1, n] ], la j-ième colonne est formée des coordonnées du vecteur f(e_j) dans la base B^′.
Lorsque B = B^′, on simplifie la notation M_(B, B)(f) en M_B(f) qui désigne la matrice, dans la base B, de l'endomorphisme f. On définit la suite des puissances de f en posant
{f^0 = Id_(ℝ^n),; ∀k ∈ ℕ, f^(k + 1) = f ∘ f^k.
Si Π = ∑_(k = 0)^p a_k X^k est un polynôme de ℝ[X], on rappelle que Π(f) = ∑_(k = 0)^p a_k f^k.
Lorsque M_1, …, M_k désignent des matrices carrées d'ordres respectifs n_1, …, n_k, on note diag(M_1, …, M_k) la matrice carrée d'ordre n_1 + … + n_k, diagonale par blocs, égale à
(M_1, 0, ⋯, 0; 0, M_2, ⋮; ⋮, ⋱, 0; 0, ⋯, 0, M_k)
On dit qu'un endomorphisme Φ de M_n(ℝ)
  • conserve le rang si ∀M ∈ M_n(ℝ), rg(Φ(M)) = rg(M);
  • conserve le déterminant si ∀M ∈ M_n(ℝ), det(Φ(M)) = det(M);
  • conserve la trace si ∀M ∈ M_n(ℝ), tr(Φ(M)) = tr(M);
  • conserve le polynôme caractéristique si ∀M ∈ M_n(ℝ), χ_(Φ(M)) = χ_M.
L'objectif du problème est de caractériser les endomorphismes réalisant l'une de ces propriétés.

I Résultats préliminaires

I.A - On suppose que E, F et G sont trois bases de ℝ^n et que f et g sont deux endomorphismes de ℝ^n.
Q 1. Question de cours. Démontrer que
M_(E, G)(g ∘ f) = M_(F, G)(g)M_(E, F)(f).
Q 2. En déduire qu'il existe deux matrices P et Q appartenant à GL_n(ℝ) telles que
M_(F, G)(f) = PM_E(f)Q.
I.B − On suppose que M est une matrice de M_n(ℝ).
Q 3. Soit λ ∈ ℂ une valeur propre de M et X un vecteur propre associé. Montrer que, pour tout entier naturel k, M^k X = λ^k X.
Q 4. En déduire que, si Π ∈ ℝ[X] est un polynôme annulateur de M, alors toute valeur propre complexe de M est une racine dans ℂ de Π.

II Étude de quelques endomorphismes de M_n(ℝ)

II.A - Multiplication à gauche par une matrice donnée

L'ensemble des endomorphismes de M_n(ℝ) est noté L(M_n(ℝ)).
Pour toute matrice A ∈ M_n(ℝ), on note Γ_A l'application
Γ_A : | M_n(ℝ), → M_n(ℝ); M, ↦ AM
Q 5. Vérifier que, pour toute matrice A ∈ M_n(ℝ), Γ_A appartient à L(M_n(ℝ)).
Q 6. Démontrer que, si A appartient à GL_n(ℝ), alors Γ_A conserve le rang.
Q 7. Démontrer que l'application
Γ : | M_n(ℝ), →, L(M_n(ℝ)); A, ↦ Γ_A
est linéaire et injective.
Dans la suite de cette sous-partie II.A, A est un élément fixé de M_n(ℝ).
Q 8. Démontrer que ∀k ∈ ℕ, Γ_(A^k) = (Γ_A)^k.
Q 9. En déduire que, pour tout polynôme Π de ℝ[X], Γ_(Π(A)) = Π(Γ_A).
Q 10. À l'aide du résultat précédent, démontrer que A est diagonalisable si et seulement si Γ_A est diagonalisable.
Q 11. Démontrer que χ_A est un polynôme annulateur de Γ_A et que χ_(Γ_A) est un polynôme annulateur de A.
Q 12. En déduire que Sp_ℂ(Γ_A) = Sp_ℂ(A).
II.B - Multiplication à gauche et à droite par des matrices inversibles avec ou sans transposition préalable
Pour toutes matrices P et Q appartenant à GL_n(ℝ), on considère les applications
Φ_(P, Q) : | M_n(ℝ), →, M_n(ℝ); M, ↦, PMQ; Ψ_(P, Q), : | M_n(ℝ), →, M_n(ℝ); M, ↦, PM^⊤Q.; Ψ^⊤
On admet que Φ_(P, Q) et Ψ_(P, Q) sont des endomorphismes de M_n(ℝ).
On pose
L_1 = {Φ_(P, Q)|(P, Q) ∈ (GL_n(ℝ))^2} et L_2 = {Ψ_(P, Q)|(P, Q) ∈ (GL_n(ℝ))^2}
Q 13. Démontrer que L_1 ∪ L_2 est stable par composition, c'est-à-dire que
∀(Θ, Θ^′) ∈ (L_1 ∪ L_2)^2, Θ ∘ Θ^′ ∈ L_1 ∪ L_2.
II.B.1) Soient P et Q deux matrices de GL_n(ℝ).
Q 14. Montrer que Φ_(P, Q) et Ψ_(P, Q) sont des automorphismes de M_n(ℝ) et préciser leurs applications réciproques.
Q 15. Montrer que Φ_(P, Q) et Ψ_(P, Q) conservent le rang.
Q 16. Donner une condition nécessaire et suffisante sur P et Q pour que Φ_(P, Q) et Ψ_(P, Q) conservent le déterminant.
Q 17. Montrer que Φ_(P, P^(− 1)) et Ψ_(P, P^(− 1)) conservent le polynôme caractéristique.
II.B.2) Dans cette section, on prend n ⩾ 2.
Q 18. Montrer que T ∈ L_2 et T ∉ L_1.
Q 19. En déduire que les ensembles L_1 et L_2 sont disjoints.

III Endomorphismes de rang donné

On suppose que f est un endomorphisme de ℝ^n. Son noyau est noté ker(f).
III. A - On suppose dans cette sous-partie que f est un isomorphisme. On se donne une base B = (e_1, …, e_n) de ℝ^n. On note B^′ la base
B^′ = (f(e_1), …, f(e_n)).
Q 20. Déterminer M_(B, B^′)(f).
III. B - On suppose dans cette sous-partie que f n'est pas l'endomorphisme nul et que ker(f) ≠ {0_(ℝ^n)}. Soit B_2 une base de ker(f), que l'on complète (à gauche) en une base B = (e_1, …, e_k, B_2) de ℝ^n.
Q 21. Montrer que la famille (f(e_1), …, f(e_k)) est libre.
Q 22. Justifier que k < n.
On complète la famille (f(e_1), …, f(e_k)) en une base B^′ = (f(e_1), …, f(e_k), f_(k + 1), …, f_n) de ℝ^n.
Q 23. Déterminer M_(B, B^′)(f).
III. C - Dans toute la suite du problème, pour tout entier entier naturel r ∈ [ [0, n] ], on note
J_(n, r) = diag(I_r, 0_(n − r))
en convenant que J_(n, n) = I_n et J_(0, n) = 0_n.
Soit M un élément de M_n(ℝ) de rang r.
Q 24. Montrer qu'il existe deux matrices P et Q de GL_n(ℝ) telles que
M = Φ_(P, Q)(J_(n, r)).
III.D - On suppose dans cette sous-partie que n = 2 et que A et B sont deux éléments de M_2(ℝ) de rang 1. On suppose que ImA et ImB sont distinctes.
Q 25. Montrer qu'il existe deux matrices P_2 et Q_2 de GL_2(ℝ) telles que
A = P_2(1, 0; 0, 0)Q_2 et B = P_2(0, 0; α, β)Q_2
où α et β sont des réels, non tous deux nuls.

IV Endomorphismes de M_2(ℝ) conservant le rang

Dans toute cette partie, on suppose que n = 2.
On désigne par B_(ca) = (B_1, B_2, B_3, B_4) la base canonique de M_2(ℝ), avec
B_1 = (1, 0; 0, 0), B_2 = (0, 1; 0, 0), B_3 = (0, 0; 1, 0) et B_4 = (0, 0; 0, 1).

IV.A -

Q 26. Expliciter la matrice de la transposition T dans la base canonique de M_2(ℝ).
Cette matrice de M_4(ℝ) sera notée T.
Q 27. Justifier sans calcul que T est diagonalisable
Q 28. Préciser les valeurs propres et les sous-espaces propres de T.
On se donne deux éléments P et Q de GL_2(ℝ),
P = (a, b; c, d) et Q = (e, f; g, h)
Q 29. Montrer que la matrice, dans la base B_(ca), de l'endomorphisme Φ_(P, Q) est de la forme
(aU, bU; cU, dU),
où U est un élément de M_2(ℝ) à déterminer.
On suppose dans la suite de cette partie que Φ est un endomorphisme de M_2(ℝ) conservant le rang.
IV.B -
Q 30. Montrer que Φ est un automorphisme de M_2(ℝ).
Q 31. Déterminer les rangs de Φ(B_1), Φ(B_4), Φ(B_1 + B_4). En déduire l'existence de deux matrices P_1 et Q_1 de GL_2(ℝ), telles que:
Φ_(P_1, Q_1) ∘ Φ(B_1) = (1, 0; 0, 0) et Φ_(P_1, Q_1) ∘ Φ(B_4) = (0, 0; α, β)
où α et β sont des réels tels que (α, β) ≠ (0, 0).
On adopte alors les notations suivantes: Φ^′ = Φ_(P_1, Q_1) ∘ Φ, M^′ = M_(B_(ca))(Φ^′).
Pour tout j ∈ {1, 2, 3, 4}, B_j^′ = Φ^′(B_j) et C_j = (a_j, b_j, c_j, d_j)^⊤ désigne la j-ième colonne de la matrice M^′.
Q 32. Déterminer C_1 et C_4.
Q 33. Démontrer que ∀i ∈ {1, 2, 3, 4}, a_i d_i − b_i c_i = 0.
Q 34. En considérant le rang des matrices B_1^′ + B_2^′ et B_1^′ + B_3^′, démontrer que d_2 = d_3 = 0.
On déduit des deux questions précédentes que b_2 c_2 = b_3 c_3 = 0.
IV.C − On suppose dans cette sous-partie que c_2 = 0.
Q 35. En étudiant det(M^′), démontrer que les nombres b_2, c_3, d_4 sont tous trois non nuls.
Q 36. En utilisant les résultats de la question précédente et en considérant les rangs des matrices B_3^′ + B_4^′, B_2^′ + B_4^′ et B_1^′ + B_2^′ + B_3^′ + B_4^′, démontrer que
M^′ = (1, a_2, 0, 0; 0, b_2, 0, 0; 0, 0, c_3, c_4; 0, 0, 0, d_4)
avec c_4 = a_2 c_3 et d_4 = b_2 c_3.
Q 37. En déduire que Φ appartient à L_1.
IV.D - On suppose à présent que c_2 ≠ 0.
Q 38. Démontrer que la matrice, dans la base B_(ca), de l'endomorphisme Φ^′ ∘ T de M_2(ℝ) est égale à
(1, a_3, a_2, 0; 0, b_3, 0, 0; 0, c_3, c_2, c_4; 0, 0, 0, d_4)
Q 39. Démontrer que c_3 = 0.
Q 40. En déduire que Φ appartient à L_2.
On a ainsi démontré, pour n = 2, qu'un endomorphisme de M_n(ℝ) conserve le rang si et seulement s'il appartient à L_1 ∪ L_2.
On admet que ce résultat est encore valable lorsque n est un entier strictement supérieur à 2 .

V Endomorphisme de M_n(ℝ) conservant le déterminant ou le polynôme caractéristique

V.A − On suppose dans cette sous-partie que n = 2 et que Φ est un endomorphisme de M_2(ℝ) conservant le déterminant.
On considère une matrice A non nulle de M_2(ℝ) vérifiant Φ(A) = 0_2.
Q 41. Montrer que A est de rang 1.
La partie III assure l'existence de deux éléments P et Q de GL_2(ℝ) tels que
A = PJ_(2, 1)Q
On pose alors N = P(I_2 − J_(2, 1))Q.
Q 42. En calculant de deux manières différentes det(A + N), aboutir à une absurdité et conclure que Φ est un automorphisme de M_2(ℝ).
Q 43. En discutant selon les valeurs possibles du rang, démontrer que Φ conserve le rang.
On a ainsi démontré que tout endomorphisme de M_2(ℝ) qui conserve le déterminant conserve le rang. On admet que ce résultat s'étend au cas où n est un entier naturel non nul quelconque.
Q 44. Caractériser les endomorphismes de M_n(ℝ) qui conservent le déterminant.
V.B - On revient au cas général où n est un entier naturel non nul.

V.B.1) Propriétés de la trace

Q 45. Démontrer que l'application
M_n(ℝ), →, ℝ; M, ↦, tr(M)
est une forme linéaire vérifiant
∀(A, B) ∈ (M_n(ℝ))^2, tr(AB) = tr(BA).
Q 46. Montrer que l'application
| (M_n(ℝ))^2, →, ℝ; (A, B), ↦, tr(A^⊤B)
est un produit scalaire sur M_n(ℝ).
Q 47. En déduire que, si une matrice A de M_n(ℝ) vérifie
∀M ∈ M_n(ℝ), tr(AM) = 0,
alors A = 0.
V.B.2) Application à la caractérisation des endomorphismes de M_n(ℝ) conservant le polynôme caractéristique
Q 48. Démontrer qu'un endomorphisme de M_n(ℝ) qui conserve le polynôme caractéristique conserve également le déterminant et la trace.
Q 49. Caractériser les endomorphismes de M_n(ℝ) qui conservent le polynôme caractéristique.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques 1 Centrale PSI 2023 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques 1 Centrale PSI 2023 ?

Le sujet porte sur l'algèbre linéaire : trace, déterminant, rang, réduction des endomorphismes et produit scalaire, à travers l'étude des endomorphismes de l'espace des matrices carrées qui conservent ces quantités.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale maths 1 PSI 2023 ?

Le jury relève des propriétés du rang et du déterminant mal maîtrisées, un critère de diagonalisabilité erroné, des équivalences démontrées par une seule implication, et une rédaction trop approximative de la logique et des récurrences.

Ce sujet Centrale maths 1 PSI 2023 est-il long ?

Oui, le rapport indique que le sujet était plutôt long, avec cinq parties, la dernière n'ayant été que très peu abordée faute de temps par la plupart des candidats.

La première partie du sujet Centrale maths 1 PSI 2023 est-elle facile ?

Non, bien que portant sur des résultats de cours, le rapport indique qu'elle n'a pas été réussie dans l'ensemble, avec des réponses souvent imprécises.

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