Mines Mathématiques 2 PSI 2026Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Nombres de Bernoulli, valeurs de ζ aux entiers pairs et probabilité qu'un entier soit sans facteur à la puissance k

Le sujet établit d'abord un développement eulérien de 2πx/(e^(2πx) - 1) à l'aide de séries de fonctions et d'une équation différentielle, puis développe x/(e^x - 1) en série entière pour relier les nombres de Bernoulli aux valeurs ζ(2k) et calculer ζ(2) et ζ(4). Les deux dernières parties montrent que la probabilité q_n(k) qu'un entier tiré uniformément dans ⟦1, n⟧ soit sans facteur à la puissance k tend vers 1/ζ(k), par inclusion-exclusion, fonction de Möbius et convergence dominée.

1Partie 1 : calcul de la somme des 1/(n² + x²)À partir d'une somme géométrique écrite sous forme intégrale, on calcule la somme des sin(kθ)/k, on étudie les séries de fonctions S(t) et g_x(t), puis on résout une équation différentielle linéaire du second ordre pour obtenir le développement de 2πx/(e^(2πx) - 1).
2Partie 2 : développement en série entière de x/(e^x - 1) et applicationsOn développe la somme des x²/(x² + n²) en série entière, on en déduit les coefficients b_k (nombres de Bernoulli) par un produit de Cauchy, puis les valeurs de ζ(2) et ζ(4).
3Partie 3 : probabilité qu'un entier choisi dans ⟦1, n⟧ soit sans facteur à la puissance kAvec les fonctions indicatrices et la formule d'inclusion-exclusion, on exprime q_n(k) à l'aide de la fonction de Möbius et on montre sa convergence par le théorème de convergence dominée.
4Partie 4 : calcul de la somme des μ(d)/d^kPar un produit de séries de Dirichlet traité de manière élémentaire, on montre que la limite de q_n(k) vaut 1/ζ(k) et on précise les cas k = 2 et k = 4.

Difficile. Le jury décrit une première partie technique qui a pris les candidats à froid, des questions 5 et 19 presque jamais résolues, et une majorité de candidats qui ne sont pas allés au-delà de la partie II.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Majorations de nombres complexes · Existence des objets non vérifiée · Confusion entre conditions nécessaires et suffisantes

Le jury déplore un net relâchement dans le soin des copies et un manque d'effort pour rendre les calculs lisibles. La partie I, technique, n'a été réussie que sur quelques questions proches du cours ; la partie II a été mieux traitée. La partie probabiliste a été peu abordée au-delà des questions 15 à 18, et une partie des difficultés venait de l'absence de théorème de Fubini au programme de PSI, que plusieurs questions contournaient.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Majorations de nombres complexesQ2
Pour dominer la suite de fonctions de la question 2, beaucoup ont comparé directement des nombres complexes au lieu de passer au module. L'intervalle de convergence dominée, [0, 1[, était aussi souvent mal identifié.
« La plupart des erreurs sont provenues de tentatives de majorations de nombres complexes, ce qui a été justement (donc lourdement) sanctionné. »
2
Existence des objets non vérifiéeQ1, Q3
La raison de la somme géométrique différente de 1 (question 1) et la bonne définition de la fonction u_θ (question 3) ont rarement été justifiées. Des candidats ont bluffé pour faire coïncider une dérivée avec l'intégrande.
« presque aucun ne prend la peine de vérifier ... que cette fonction est correctement définie »
3
Confusion entre conditions nécessaires et suffisantesQ7
Il suffisait de proposer un polynôme et de vérifier par ses dérivées qu'il est solution ; beaucoup ont rédigé une analyse-synthèse confuse.
« Les confusions entre conditions nécessaires et conditions suffisantes ont été omniprésentes. »
4
Équation différentielle mal résolueQ8
La résolution devait se faire sur [0, π], avec prolongement par continuité du résultat de la question 5 en π. Les solutions de l'équation homogène dépendant du paramètre x étaient peu justifiées, et les fonctions hyperboliques étaient préférables aux exponentielles.
5
Interversions de sommes non justifiéesQ11
La limite de ζ(s) en +∞ demandait un théorème de double limite avec convergence normale, puis une sommation justifiée de l'identité de la question 10. Beaucoup ont interverti sans argument.
« Trop de candidats se sont pourtant permis des interversions de sommes infinies sans justification. »
6
Vocabulaire des probabilitésQ16, Q17
Des candidats confondent issues et événements, ou événements et espérances, et invoquent à tort l'indépendance. Les fonctions indicatrices sont peu utilisées.
« De telles confusions ruinent toute possibilité de raisonnement. »

Ce qui a été bien réussi

Les questions 4 et 6, applications directes du cours sur les séries de fonctions, ont été bien ou correctement réussies.
Les calculs de la question 7 et la question de conclusion 9 ont souvent abouti.
La partie II a été mieux réussie que la première ; beaucoup de candidats ont donné les expressions des coefficients b_k à la question 12.
Un nombre substantiel de candidats a obtenu b_2 et ζ(2) à la question 14, et la question 17 a donné lieu à une quantité appréciable de solutions correctes.

Conseils du jury

Énoncer complètement les théorèmes utilisés (convergence dominée, dérivation des séries de fonctions, produit de Cauchy de séries entières) et en vérifier les hypothèses.
Vérifier l'existence des objets manipulés, notamment la non-annulation des dénominateurs, avant tout calcul.
Ne jamais écrire d'inégalité entre nombres complexes : passer au module.
Justifier une convergence par un argument précis, par exemple une comparaison à 1/n², la règle de Riemann n'étant pas au programme de la filière.
Traiter en profondeur un nombre réduit de questions plutôt que de picorer les questions tardives.
Utiliser les fonctions indicatrices pour les calculs de probabilités d'unions et les variables de comptage.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2026

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Probabilité qu'un entier choisi au hasard et uniformément dans $[ [1; n] ]$ soit sans facteur à la puissance $k$

La partie 1 permet d'obtenir un développement en série utilisé dans la partie 2.
La partie 2 n'utilise que le développement en série obtenu à la dernière question de la partie 1 et en est donc indépendante exceptée cette question. Cette partie 2 permet un calcul effectif de proche en proche des valeurs de la fonction zêta en un entier pair non nul à partir des nombres de Bernoulli.
La partie 3 est indépendante des parties 1 et 2. La partie 4 utilise les valeurs obtenues à la dernière question de la partie 2 et est donc indépendante des parties 1 et 2 exceptée cette question.
Dans les parties 3 et 4, on se donne un entier naturel non nul

n

et un entier naturel

k

vérifiant

k \geq 2

. On s'intéresse au tirage uniforme d'un entier dans

[ [1; n] ]

et on détermine la probabilité

q_n(k)

que cet entier soit sans facteur à la puissance

k

.
On montre enfin que à

k

fixé, la suite

(q_n(k))_(n \in N^*)

est convergente et on détermine sa limite.

Partie 1 : Calcul de la somme $\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2 + x^2)$

$1▹$ Soit $θ \in R∖2πZ$ . Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul :
$\sum_(k = 1)^n(e^(ikθ))/k = \int_0^1 e^(iθ)(1 - (e^(iθ)t)^n)/(1 - e^(iθ)t) dt$
$2▹$ En déduire que pour $θ \in R∖2πZ$ , la série numérique $\sum_(k \geq 1)(e^(ikθ))/k$ converge, et que :
$\sum_(k = 1)^(+ \infty)(e^(ikθ))/k = \int_0^1(e^(iθ))/(1 - e^(iθ)t) dt.$
$3▹$ En déduire que pour $θ \in ]0; π[$ , la série numérique $\sum_(k \geq 1)(sin(kθ))/k$ converge et que :
$\sum_(k = 1)^(+ \infty)(sin(kθ))/k = (π - θ)/2.$

Indication : Pour

θ \in ]0; π[

, on pourra introduire la fonction

u_θ : [0; 1] \to R

définie par

u_θ(t) = Arctan((tsin(θ))/(1 - tcos(θ))),

et vérifier que
$\sum_(k = 1)^(+ \infty)(sin(kθ))/k = \int_0^1 u_θ^'(t)dt.$
$4▹$ Soit $S$ la fonction numérique définie pour tout $t$ réel par $S(t) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(cos(nt))/(n^2)$ . Justifier que $S$ est bien définie sur R. Montrer que $S$ est également continue sur R.
5▷ En déduire que pour tout $θ \in [0; π[$ , on a :
$S(θ) = (θ^2)/4 - (πθ)/2 + S(0).$
6▷ Pour tout $x$ réel, on introduit la fonction numérique $g_x$ bien définie sur R par :
$g_x(t) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(cos(nt))/(n^2(n^2 + x^2)).$
Justifier que pour tout $x$ réel, la fonction $t \mapsto g_x(t)$ est de classe $C^2$ sur $R$ et vérifie :
$\forallt \in R, g_x^('')(t) - x^2 g_x(t) = - S(t).$
7▷ Pour un réel $x$ non nul fixé, déterminer une solution polynomiale $t \mapsto P(t)$ de degré 2 de l'équation différentielle :
$(E_x) : \forallt \in R, y^('')(t) - x^2 y(t) = - (t^2)/4 + (πt)/2 - S(0).$
8▷ Pour tout réel $x$ , calculer $g_x^'(0)$ et $g_x^'(π)$ . Pour $x$ réel non nul, montrer que :
$g_x^('')(0) = - π/(2x) \times (1 + e^(- 2πx))/(1 - e^(- 2πx)) + 1/(2x^2).$
9▷ En déduire que pour tout réel $x$ non nul :
$(2πx)/(e^(2πx) - 1) = 1 - πx + \sum_(n = 1)^(+ \infty)(2x^2)/(n^2 + x^2).$

Partie 2 : Développement en série entière de $x \mapsto x/(e^x - 1)$ et applications

On introduit la fonction

h

, définie sur R, par :

h : x ↦ {x/(e^x − 1), si x ≠ 0; 1, si x = 0.

On rappelle également que la fonction zêta de Riemann est définie sur

]1; + \infty[

par :

ζ : s \mapsto \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^s).

10 ▷ Soient

x \in

] -1 ; 1 [ et deux entiers naturels

N

n

avec

n \in N^*

. Montrer que :

1/(x^2 + n^2) = (1/(n^2)\sum_(k = 0)^N((- x^2)/(n^2))^k) + R_(N, n)(x),

où

R_(N, n)(x) = (- 1)^(N + 1)1/(x^2 + n^2) \times (x^(2N + 2))/(n^(2N + 2))

, et justifier que

\sum_(n = 1)^(+ \infty)|R_(N, n)(x)| \leq ζ(2N + 2)|x|^(2N + 2)

11 ▷ Après avoir justifié que

lim_(s \to + \infty)ζ(s) = 1

, en déduire que pour

x \in ] - 1; 1[

\sum_(n = 1)^(+ \infty)(x^2)/(x^2 + n^2) = \sum_(k = 1)^(+ \infty)(- 1)^(k + 1)ζ(2k)x^(2k)

12 ▷ En déduire que la fonction

h

est développable en série entière, et que pour tout

x \in ] - 2π; 2π[

h(x) = 1 - 1/2x + \sum_(k = 1)^(+ \infty)(- 1)^(k + 1)(ζ(2k))/(2^(2k - 1)π^(2k))x^(2k)

Pour tout

k

entier naturel, on pose :

b_k = h^((k))(0)

.
Déterminer alors

b_0

b_1

. De plus, si

k

est un entier naturel non nul, déterminer

b_(2k)

ainsi que

b_(2k + 1)

13▹

Justifier que pour tout entier naturel

n

non nul

: \sum_(k = 0)^n(b_k)/(k!(n + 1 - k)!) = 0

.
Indication : On pourra remarquer que pour

x

réel non nul :

x/(e^x - 1) \times (e^x - 1)/x = 1

14

▷ À l'aide des valeurs de

b_0

b_1

calculées précédemment et de la question 13 ▷, calculer

b_2

b_4

.
En utilisant la question

12▹

, déterminer les valeurs

ζ(2)

ζ(4)

Partie 3 : Probabilité qu'un entier naturel choisi au hasard et uniformément dans $[ [1; n] ]$ soit sans facteur à la puissance $k$

*On note $P$ l'ensemble des nombres premiers. On ordonne $P$ par ordre croissant, et on note $p_n$ le n-ième nombre premier. Ainsi, par exemple, $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5$ et $p_7 = 17$ .
*Soit $k$ un entier naturel non nul tel que $k \geq 2$ .
On dit qu'un entier naturel $n$ non nul est sans facteur à la puissance $k$ si :
${p ∈ P, p^k|n} = ∅.$
Lorsque $n \neq 1$ , cela revient à dire que si $n$ s'écrit $n = \prod_(k = 1)^r q_i^(α_i)$ avec des facteurs premiers $q_i$ tous distincts, alors pour tout $i \in [ [1; r] ]$ , on a $α_i \leq k - 1$ .

15▹

Soit

r \in N^*

. Montrer que pour tout

r

-uplet de réels

(x_1, x_2, \dots, x_r)

\prod_(i = 1)^r(1 + x_i) = 1 + \sum_(m = 1)^r(\sum_(1 \leq i_1 < \dots < i_m \leq r)x_(i_1)x_(i_2)\dotsx_(i_m)),

où la notation

\sum_(1 \leq i_1 < \dots < i_m \leq r)

désigne la somme sur tous les

m

-uplets

(x_(i_1), x_(i_2), \dots, x_(i_m))

R^m

qui vérifient

1 \leq i_1 < \dots < i_m \leq r

Pour les deux prochaines questions 16 ▷ et 17 ▷, on se donne un espace probabilisé

(Ω, A, P)

16▹

Soient

A, A_1, A_2, \dots, A_m \in A

. Montrer que

1_(A¯) = 1 - 1_A

, où

1_A

désigne l'indicatrice de

A

.
De même, montrer que

1_(A_1)1_(A_2)\dots1_(A_m) = 1_(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_m)

17▹

En déduire que si

A_1, A_2, \dots, A_r \in A

, alors :

P(A_1 \cup A_2\dots \cup A_r) = \sum_(m = 1)^r(- 1)^(m + 1)(\sum_(1 ⩽ i_1 < \dots < i_m ⩽ r)P(A_(i_1) \cap \dots \cap A_(i_m)))

Indication : On pourra utiliser les questions 15 ▷ et 16 - et se souvenir que pour un événement

A

, on a

P(A) = E(1_A)

Pour toute la suite de cette partie, on se donne un entier naturel

n

non nul et on note

p_r

le plus grand nombre premier inférieur ou égal à

n

.
On a donc

p_1 < p_2 < \dots < p_r \leq n

p_(r + 1) > n

.
On se donne également un entier

k

tel que

k \geq 2

On s'intéresse au tirage d'un entier au hasard dans

[ [1; n] ]

selon la loi uniforme. On munit

[ [1; n] ]

de la probabilité uniforme

P_n

et on note :

S_n(k) = {m ∈ [ [1; n] ] : ∀j ∈ [ [1; r] ], p_j^k∤m}.

On pose

q_n(k) = P_n(S_n(k))

qui représente donc la probabilité que l'entier choisi soit sans facteur à la puissance

k

Pour

d \in N^*

, on pose

A_n(d) = {j ∈ [ [1; n] ] : d|j}

18▹

Justifier que :

q_n(k) = 1 - P_n(⋃_(i = 1)^r A_n(p_i^k))

. En déduire que :

q_n(k) = 1 + \sum_(m = 1)^r\sum_(1 ⩽ i_1 < i_2 < \dotsi_m ⩽ r)(- 1)^m P_n(A_n(p_(i_1)^k p_(i_2)^k\dotsp_(i_m)^k))

La fonction de Möbius

μ : N^∗ → { − 1; 0; 1}

est la fonction définie par

àéμ(m) = {1, si m = 1; (− 1)^q, si m est le produit de q nombres premiers distincts avec q ∈ N^∗; 0, sinon, c'est à dire si m contient au moins un facteur carré

19 ▷ Justifier que :

q_n(k) = 1/n\sum_(d = 1)^(+ \infty)μ(d)⌊n/(d^k)⌋.

20▷ Montrer que la suite $(q_n(k))_(n \in N^*)$ est convergente et qu'elle converge vers $ℓ =$ $\sum_(d = 1)^(+ \infty)(μ(d))/(d^k)$ .
Indication : on pourra introduire la suite de fonctions $(f_n)_(n \in N^*)$ , où chaque $f_n$ est constante par morceaux sur $[1; + \infty[$ et définie par :
$\foralld \in N^*, \forallt \in [d; d + 1[, f_n(t) = 1/nμ(d)⌊n/(d^k)⌋,$
et chercher à utiliser le théorème de convergence dominée.

Partie 4 : Calcul de la somme $\sum_(d = 1)^(+ \infty)(μ(d))/(d^k)$

Pour les questions 21 ▷ et 22 ↓ , on se donne un réel

s > 1

et on pose pour

i \in N^*

u_i = (μ(i))/(i^s), v_i = 1/(i^s).

De plus, pour

N \in N^*

, on pose

E_N = [ [1; N] ]^2

F_N = {(i, j) ∈ E_N, ij ≤ N}

et on définit

w_N = \sum_(d|N)|u_d|v_(N/d) et S_N = \sum_(m = 1)^N w_m.

$21▹$ Pour $N \in N^*$ , justifier que $F_N \subset E_N \subset F_(N^2)$ , et montrer que la suite $(S_N)_(N \in N^*)$ converge.
En déduire que :
$\sum_(m = 1)^(+ \infty)(\sum_(d|m)|u_d|v_(m/d)) = (\sum_(i = 1)^(+ \infty)(|μ(i)|)/(i^s))(\sum_(j = 1)^(+ \infty)1/(j^s)),$
où $\sum_(d|m)$ désigne la somme sur tous les entiers naturels divisant $m$ .
22▷ Pour $N \in N^*$ , justifier que :
$|(\sum_(i = 1)^N u_i)(\sum_(j = 1)^N v_j) - \sum_(m = 1)^N(\sum_(d|m)u_d vm/d)| \leq \sum_((i, j) \in E_N)|u_i|v_j - \sum_((i, j) \in F_N)|u_i|v_j.$

En déduire que :

\sum_(m = 1)^(+ \infty)1/(m^s)(\sum_(d|m)μ(d)) = (\sum_(i = 1)^(+ \infty)(μ(i))/(i^s))(\sum_(j = 1)^(+ \infty)1/(j^s)).

23▹

Pour

m \in N^*

, montrer que

∑_(d|m)μ(d) = {1, si m = 1; 0, sinon

.
24 ▷ En utilisant les questions 22 ▷ et 23 ▷, en déduire que pour

s > 1

, on a :

\sum_(i = 1)^(+ \infty)(μ(i))/(i^s) = 1/(ζ(s)).

25▹

Montrer que

lim_(n \to + \infty)q_n(k) = 1/(ζ(k))

.
En particulier, préciser les valeurs de

lim_(n \to + \infty)q_n(2)

lim_(n \to + \infty)q_n(4)

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Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 2 PSI 2026 ?

Le sujet mobilise les séries numériques, les séries de fonctions, la convergence dominée, une équation différentielle linéaire du second ordre, les séries entières et le produit de Cauchy, puis les probabilités sur un univers fini avec la fonction de Möbius.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines maths 2 PSI 2026 ?

Le jury cite les majorations de nombres complexes, l'oubli de vérifier l'existence des objets, les interversions de sommes sans justification, les confusions entre conditions nécessaires et suffisantes, et un vocabulaire probabiliste mal maîtrisé.

Le sujet Mines maths 2 PSI 2026 était-il difficile ?

La première partie, technique, a été très mal réussie en dehors de quelques questions de cours. La deuxième a été mieux traitée, mais une grande partie des candidats ne l'a pas dépassée.

Pourquoi le sujet Mines maths 2 PSI 2026 contourne-t-il le théorème de Fubini ?

Le rapport rappelle que le programme de PSI ne permet pas d'évaluer les théorèmes de Fubini ou de sommation par paquets sur les sommes doubles. Plusieurs questions des parties II et IV proposaient donc des voies élémentaires pour obtenir les mêmes résultats.

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Probabilité qu'un entier choisi au hasard et uniformément dans [ [1; n] ] soit sans facteur à la puissance k

Partie 1 : Calcul de la somme ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2 + x^2)

Partie 2 : Développement en série entière de x ↦ x/(e^x − 1) et applications

Partie 3 : Probabilité qu'un entier naturel choisi au hasard et uniformément dans [ [1; n] ] soit sans facteur à la puissance k

Partie 4 : Calcul de la somme ∑_(d = 1)^(+ ∞)(μ(d))/(d^k)

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 2 PSI 2026 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines maths 2 PSI 2026 ?

Le sujet Mines maths 2 PSI 2026 était-il difficile ?

Pourquoi le sujet Mines maths 2 PSI 2026 contourne-t-il le théorème de Fubini ?

Commentaires• Mines Mathématiques 2 PSI 2026

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Probabilité qu'un entier choisi au hasard et uniformément dans $[ [1; n] ]$ soit sans facteur à la puissance $k$

Partie 1 : Calcul de la somme $\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2 + x^2)$

Partie 2 : Développement en série entière de $x \mapsto x/(e^x - 1)$ et applications

Partie 3 : Probabilité qu'un entier naturel choisi au hasard et uniformément dans $[ [1; n] ]$ soit sans facteur à la puissance $k$

Partie 4 : Calcul de la somme $\sum_(d = 1)^(+ \infty)(μ(d))/(d^k)$