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Mines Mathématiques 2 PSI 2018Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Transformée d'Ornstein-Uhlenbeck et version quantitative du théorème central limite
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Le sujet étudie une intégrale à deux paramètres, la transformée d'Ornstein-Uhlenbeck, définie pour les fonctions continues à croissance lente, et établit sa continuité et sa dérivabilité selon chaque variable. Après l'étude de son générateur infinitésimal, il s'appuie sur un théorème admis pour majorer explicitement l'écart entre E(f(S)) et l'intégrale gaussienne, ce qui donne une vitesse de convergence en 1/√n dans le théorème central limite.

  1. 1Partie I : préliminairesFormule de Taylor avec reste intégral réécrite, intégrabilité de fonctions gaussiennes, calcul d'intégrale par changement de variable et espace des fonctions à croissance lente.
  2. 2Partie II : transformation d'Ornstein-UhlenbeckIntégrabilité, continuité en t, limite en l'infini et dérivabilité en x de la transformée.
  3. 3Partie III : générateur infinitésimalDérivation par rapport au paramètre t, intégration par parties et théorème de prolongement pour obtenir l'opérateur L.
  4. 4Partie IV : théorème central limiteMoments de variables aléatoires discrètes, indépendance mutuelle, formule de Taylor et majoration finale de l'écart à la loi normale.

Difficile. Le jury souligne des situations particulièrement techniques, notamment dans les dominations, et se dit fortement déçu, alors que les questions 8 à 16 ont été traitées avec peu de rigueur.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Paramètre et variable d'intégration confondus · Changements de variable et intégrations par parties non justifiés · Limite et continuité confondues
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Le sujet mobilisait l'analyse et les probabilités des programmes de PCSI et de PSI et exigeait une solide maîtrise des intégrales à paramètre et des intégrales impropres. La plupart des candidats ont traité assez correctement les questions 1 à 7, beaucoup moins bien les questions 8 à 16. Le jury déplore un net recul de la présentation et un manque de rigueur, surtout en probabilités.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Paramètre et variable d'intégration confondusQuestions 5, 6 et 11

    Dans les théorèmes de régularité des intégrales à paramètre, beaucoup mettent les deux variables sur le même plan ou oublient une hypothèse. La domination sur tout R+ au lieu d'un segment est aussi fréquente.

    « Il est cependant très dangereux de confondre l'hypothèse d'intégrabilité locale par rapport à la variable d'intégration »
  2. 2
    Changements de variable et intégrations par parties non justifiésQuestions 1, 3 et 12

    Le caractère C1 et bijectif du changement de variable, avec ses intervalles, doit être vérifié. L'existence des intégrales et la convergence du crochet sont souvent oubliées.

  3. 3
    Limite et continuité confonduesQuestion 2

    Des copies affirment que l'exponentielle est continue en l'infini. Le jury attend un usage précis des croissances comparées.

    « Les candidats confondent limite et continuité. »
  4. 4
    Fonctions à croissance lente mal comprisesQuestions 4, 6, 8 et 10

    Elles sont prises pour bornées ou croissantes, et les inégalités sur les valeurs absolues ou les puissances sont souvent fausses.

    « Les fonctions à croissance lente sont souvent considérées comme bornées. »
  5. 5
    Probabilités hors programme ou mal maîtriséesQuestions 14 à 16

    Les variables sont à valeurs réelles : il faut une énumération pour écrire l'espérance. L'indépendance mutuelle est confondue avec l'indépendance deux à deux, et l'indépendance de Xi et g(S(i)) est affirmée sans justification.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1 à 7 ont été traitées de manière relativement correcte par une grande majorité des candidats.
  • La question 7 est en général bien traitée.
  • Répondre soigneusement aux dix premières questions suffisait déjà pour obtenir une excellente note.

Conseils du jury

  • Vérifier systématiquement l'existence des objets manipulés avant de calculer.
  • Énoncer précisément les hypothèses des théorèmes de changement de variable, d'intégration par parties et de régularité des intégrales à paramètre.
  • Ne pas écrire « f(x) est continue » : une fonction ne se confond pas avec son expression.
  • N'utiliser que les outils du programme de PSI, les théorèmes hors programme étant sanctionnés.
  • Analyser en profondeur un nombre réduit de questions plutôt que survoler tout le sujet.
  • Éviter les abréviations non expliquées et les symboles d'implication ou d'équivalence mal employés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2018

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Définition 1 (Fonctions dérivables) Pour tout entier k, on notera C_b^k(R) l'ensemble des fonctions bornées de classe C^k sur R dont toutes les dérivées d'ordre inférieur ou égal à k sont aussi bornées. On note
‖f‖_∞ = sup_(x ∈ R)|f(x)| et ‖f‖_(k, ∞) = sup_(j = 0, ⋯, k)‖f^((j))‖_∞
où, comme d'habitude, f^((0)) = f.
Définition 2 (Fonctions à croissance lente) On dira qu'une fonction f est à croissance lente si et seulement si il existe (A, m) ∈ R_+^∗ × N tels que pour tout réel x,
|f(x)| ≤ A(1 + |x|^m)
On notera C_l(R) l'ensemble des fonctions continues sur R qui sont à croissance lente.
On note C_l^k(R) l'ensemble des fonctions à croissance lente, de classe C^k dont toutes les dérivées jusqu'à l'ordre k sont à croissance lente.
On rappelle la formule de Taylor avec reste intégral : pour k ≥ 0, pour toute fonction f de classe C^(k + 1) sur [a, b],
f(b) = ∑_(j = 0)^k(f^((j))(a))/(j!)(b − a)^j + 1/(k!)∫_a^b(b − t)^k f^((k + 1))(t)dt

I Préliminaires

  1. Montrer que pour toute fonction f de classe C^(k + 1) sur [a, b],
f(b) = ∑_(j = 0)^k(f^((j))(a))/(j!)(b − a)^j + ((b − a)^(k + 1))/(k!)∫_0^1(1 − θ)^k f^((k + 1))(a + θ(b − a))dθ
Pour n ∈ N et α > 0, on définit
g_(n, α) : R, ⟶ R; x, ⟼ x^n e^(− αx^2)
  1. Démontrer que pour tout α > 0, pour tout n ≥ 0,
lim_(|x| → + ∞)x^2 g_(n, α)(x) = 0
et en déduire que g_(n, α) est intégrable sur R.
On admettra que
∫_R e^(− y^2/2)dy = √(2π)
  1. Calculer
∫_0^∞(e^(− 3t))/(√(1 − e^(− 2t)))dt
en utilisant le changement de variables θ = arcsin(e^(− t)).
4. Démontrer que pour tout (m, n) ∈ N^2, la fonction
x ↦ ((1 + |x|^m)(1 + |x|^n))/(1 + |x|^(n + m)),
est bornée sur R. En déduire que C_l(R) est un R-espace vectoriel qui est stable par produit, puis que les fonctions polynomiales appartiennent à C_l(R).

II Transformation d'Ornstein-Uhlenbeck

Pour simplifier les notations, pour t ≥ 0, on pose
β_t = √(1 − e^(− 2t))
  1. Démontrer que pour tout f ∈ C_l(R), pour tout x ∈ R et tout t ≥ 0 la fonction
R, ⟶ R; y, ⟼ 1/(√(2π))f(e^(− t)x + β_t y)e^(− (y^2)/2)
est intégrable sur R.
Pour tout t ≥ 0, on définit alors la fonction P_t f par P_0 f = f et pour tout t > 0,
P_t f : R, ⟶ R; x, ⟼ ∫_R f(e^(− t)x + β_t y)e^(− (y^2)/2)(dy)/(√(2π)).
Pour x ∈ R, on note h_x la fonction définie par
h_x : R_+, ⟶ R; t, ⟼ P_t f(x).
  1. Démontrer que, pour tout f ∈ C_l(R) et tout x ∈ R, h_x est une fonction continue sur R_+vérifiant
lim_(t → ∞)P_t f(x) = ∫_R f(y)e^(− (y^2)/2)(dy)/(√(2π))
Indication. On pourra utiliser, après l'avoir prouvée, l'inégalité suivante : pour tout (x, y) ∈ R^2 et tout t ≥ 0 :
|e^(− t)x + β_t y| ≤ |x| + |y|
  1. A l'aide d'un changement de variables, démontrer que pour tout f ∈ C_l(R), tout x, h ∈ R et tout t > 0 :
P_t f(x + h) = ∫_R f(e^(− t)x + β_t y)exp(− 1/2(y − (e^(− t))/(β_t)h)^2)(dy)/(√(2π))
Pour α > 0 et y ∈ R fixés, soit ψ_y la fonction définie par
ψ_y : [ − 1/α, 1/α], ⟶ R; h, ⟼ exp(− 1/2(y − αh)^2)
  1. Montrer que
sup_(h ∈ [ − 1/α, 1/α])|ψ_y^′(h)| ≤ {α(|y| + 1), si |y| ≤ 1,; α(|y| + 1)exp(− 1/2(|y| − 1)^2), si |y| > 1.
  1. Soit f ∈ C_l(R) et t > 0 fixé. Déterminer
lim_(h → 0)(P_t f(x + h) − P_t f(x))/h
En déduire que P_t f est de classe C^1 sur R et que pour tout x ∈ R, sa dérivée est donnée par :
(P_t f)^′(x) = (e^(− t))/(β_t)∫_R f(e^(− t)x + β_t y)ye^(− (y^2)/2)(dy)/(√(2π))
  1. Démontrer que pour tout (a, b) ∈ R^2 et tout m ≥ 0 :
|a + b|^m ≤ 2^m(|a|^m + |b|^m)
En déduire que pour tout f ∈ C_l(R), on a x ↦ P_t f(x) ∈ C_l(R).
On admet dorénavant le lemme suivant.
Lemme 1 Si f appartient à C_l^k alors pour tout t > 0, la fonction x ↦ P_t f(x) est de classe C^k et
(P_t f)^((k))(x) = e^(− kt)∫_R f^((k))(e^(− t)x + β_t y)e^(− (y^2)/2)(dy)/(√(2π))

III Générateur infinitésimal

Dans toute cette partie, on suppose que f appartient à C_l^2(R) et l'on fixe x ∈ R.
11. Démontrer que h_x est C^1 sur R_+^∗ et que pour tout t_0 > 0,
h_x^′(t_0) = − e^(− t_0)x(P_(t_0)f^′)(x) + (e^(− 2t_0))/(β_(t_0))∫_R f^′(e^(− t_0)x + β_(t_0)y)ye^(− (y^2)/2)(dy)/(√(2π))
  1. Soit g ∈ C_l^1(R), montrer que
∫_R g(β_(t_0)y)ye^(− (y^2)/2)(dy)/(√(2π)) = β_(t_0)∫_R g^′(β_(t_0)y)e^(− (y^2)/2)(dy)/(√(2π))
  1. Montrer que h_x est C^1 sur R_+à l'aide du théorème de prolongement et que
h_x^′(0) = f^(′′)(x) − xf^′(x)
On notera L l'opérateur défini par
L : C_l^2, ⟶ C_l(R); f, ⟼ Lf : (x ↦ f^(′′)(x) − xf^′(x))
ou de façon plus simple, pour tout x ∈ R,
(Lf)(x) = f^(′′)(x) − xf^′(x)

IV Théorème central limite

On admet le théorème de représentation suivant.
Théorème 1 Pour toute fonction f ∈ C_l^2(R), pour tout y ∈ R,
1/(√(2π))∫_R f(x)e^(− x^2/2)dx − f(y) = ∫_0^∞L(P_t f)(y)dt
Soit ( X_n, n ≥ 1 ) une suite de variables aléatoires discrètes, mutuellement indépendantes et de même loi, toutes définies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P). On suppose de plus que |X_1|^3 a une espérance finie.
14. Montrer que X_1 et X_1^2 ont une espérance finie.
Indication. On pourra découper l'espace probabilisé Ω selon la position de |X_1(ω)| par rapport à 1 .
On suppose dorénavant que E[X_1^2] = 1 et E[X_1] = 0. On fixe n ≥ 1 et l'on pose
S = 1/(√n)∑_(i = 1)^n X_i et S^((j)) = 1/(√n)∑_(i = 1; i ≠ j)^n X_i
  1. Rappeler la définition de l'indépendance mutuelle des variables X_1, ⋯, X_n. En déduire que les variables X_1 et (X_2, ⋯, X_n) sont indépendantes.
  2. Pour g fonction bornée, montrer que pour m ∈ {1, 2, 3} et tout i ∈ {1, ⋯, n},
E[X_i^m g(S^((i)))] = E[X_i^m]E[g(S^((i)))]
Dans les questions suivantes, on suppose g ∈ C_b^3.
17. Déduire de (2) l'identité suivante :
E[g^(′′)(S) − Sg^′(S)] = 1/n, ∑_(i = 1)^n E[g^(′′)(S) − g^(′′)(S^((i)))]; − 1/(√n)∑_(i = 1)^n E[X_i(g^′(S) − g^′(S^((i))) − (X_i)/(√n)g^(′′)(S^((i))))].
  1. En appliquant deux fois la formule de Taylor établie dans la question 1, établir l'identité suivante :
E[Lg(S)] = 1/(n^(3/2))∑_(i = 1)^n E[X_i, ∫_0^1 g^((3))(S^((i)) + θ/(√n)X_i)dθ]; − 1/(n^(3/2))∑_(i = 1)^n E[X_i^3∫_0^1(1 − θ)g^((3))(S^((i)) + θ/(√n)X_i)dθ]
  1. Montrer que
|E[Lg(S)]| ≤ (‖g^((3))‖_∞)/(√n)E[|X_1| + |X_1|^3]
  1. En utilisant la question 9 et l'équation (1), montrer que pour f ∈ C_b^2, pour tout t > 0, pour tout réel x,
(P_t f)^((3))(x) = (e^(− 3t))/(β_t)∫_R f^(′′)(e^(− t)x + β_t y)ye^(− y^2/2)(dy)/(√(2π))
puis que
‖(P_t f)^((3))‖_∞ ≤ √(2/π)(e^(− 3t))/(β_t)‖f‖_(2, ∞)
  1. En déduire que
sup_(f ∈ C_b^2)|E[f(S)] − ∫_R f(y)e^(− y^2/2)(dy)/(√(2π))| ≤ (√π)/(2√2)(‖f‖_(2, ∞))/(√n)E[|X_1| + |X_1|^3]
On admet que l'expression suivante
sup_(f ∈ C_b^2; ‖f‖_(2, ∞) ≤ 1)|E[f(X)] − E[f(Y)]|
définit une distance entre les lois de X et de Y. On a donc montré que la vitesse de convergence dans le théorème de la limite centrée est de l'ordre de 1/√n.

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 PSI 2018 ?
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Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 PSI 2018 ?

Sur la transformée d'Ornstein-Uhlenbeck, une intégrale à deux paramètres, puis sur son utilisation pour obtenir une version quantitative du théorème central limite avec une vitesse de convergence en 1/√n.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 2 Mines PSI 2018 ?

La confusion entre paramètre et variable d'intégration, des changements de variable non justifiés, la confusion entre limite et continuité, des inégalités fausses et une indépendance mutuelle mal définie. Plus d'un tiers des candidats affirment aussi que 1/x² est intégrable sur R.

Le sujet Mines maths 2 PSI 2018 était-il difficile ?

Le jury parle de haute technicité dans les dominations. Il précise toutefois qu'un candidat répondant soigneusement aux dix premières questions obtenait déjà une excellente note.

Quels chapitres réviser pour le sujet de maths 2 Mines Ponts PSI 2018 ?

Les intégrales généralisées, les intégrales à paramètre, le changement de variable, l'intégration par parties, la formule de Taylor avec reste intégral et les variables aléatoires discrètes, qui relèvent des programmes de PCSI et de PSI.

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