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Mines Mathématiques 2 PSI 2000Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Équations différentielles du type y''(t) + φ(t)y(t) = 0
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Le problème étudie plusieurs propriétés d'équations différentielles du second ordre de la forme y''(t) + φ(t)y(t) = 0. Il construit d'abord une solution périodique par séries de Fourier pour φ(t) = e^(it), puis étudie une solution développable en série entière, avant d'analyser les zéros et leur espacement pour des équations de ce type.

  1. 1Première partieCaractériser et construire une solution 2π-périodique de l'équation y'' + e^(it)y = 0 par ses coefficients de Fourier, puis établir une inégalité entre f et f'.
  2. 2Deuxième partieÉtudier le rayon de convergence d'une série entière associée et le signe d'une fonction g qui en découle.
  3. 3Troisième partieÉtudier les zéros d'une fonction solution puis l'espacement de ces zéros.
  4. 4Quatrième partieMontrer qu'une fonction Ψ est solution d'une équation différentielle E2 et étudier ses zéros, notamment l'existence d'un point d'accumulation.
  5. 5Cinquième partieÉtablir une inégalité conclusive en réinvestissant les résultats des parties précédentes.

Difficile. Le rapport indique une moyenne légèrement supérieure à 7 sur 20 malgré un barème assez généreux, et de nombreuses questions rarement traitées avec succès.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Croyance erronée sur l'intégrale d'une fonction périodique · Dérivation terme à terme non justifiée · Toute fonction C∞ crue développable en série entière
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Le jury relève un manque général de rigueur et une connaissance trop approximative des résultats fondamentaux du cours, notamment sur l'intégration des fonctions, les séries entières, les séries de Fourier et les équations différentielles. Les trois défauts les plus courants sont le manque de clarté sur les questions délicates, le grappillage de questions insignifiantes, et le manque de soin dans la rédaction et les calculs.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Croyance erronée sur l'intégrale d'une fonction périodiqueI.1

    Une proportion surprenante de candidats est convaincue qu'une fonction 2π-périodique a une intégrale nulle sur le segment [0, 2π].

    « une proportion surprenante de candidats est convaincue qu'une fonction 2 π-périodique a une intégrale nulle sur le segment [0, 2π] »
  2. 2
    Dérivation terme à terme non justifiéeI.2.b

    La dérivation terme à terme de la série de Fourier est très souvent employée mais presque jamais justifiée, et le cas n=0 est très souvent négligé.

    « la dérivation terme à terme de la série de Fourier est très souvent employée, et à peu près jamais justifiée »
  3. 3
    Toute fonction C∞ crue développable en série entièreIII.1.a

    Une grande proportion de candidats est persuadée que toute fonction de classe C∞ est développable en série entière, ce qui est faux.

    « une grande proportion de candidats est persuadée que toute fonction de classe C est développable en série entière »
  4. 4
    Négation d'une proposition simple mal maîtriséeIII.2.a

    La logique la plus élémentaire est bien mal connue, une proportion énorme de candidats étant incapable de formuler le contraire d'une proposition simple.

    « une proportion énorme de candidats est incapable de formuler le contraire d'une proposition simple »
  5. 5
    Existence d'un premier zéro considérée comme évidenteIV.2

    La plupart des candidats n'imagine pas qu'il puisse y avoir un point d'accumulation de zéros, écrivant à tort le premier zéro de Ψ en considérant son existence évidente.

    « on écrit dans la rédaction «le premier zéro de Ψ », en considérant son existence évidente »

Ce qui a été bien réussi

  • La question II.1 sur le rayon de convergence est généralement bien vue.
  • Le jury a eu la satisfaction de corriger un certain nombre de bonnes copies, dont quelques-unes ont obtenu la note maximum.

Conseils du jury

  • Bien connaître et maîtriser les notions fondamentales, les définitions et les théorèmes du programme avant l'épreuve.
  • Traiter correctement les questions à sa portée plutôt que de survoler toutes les questions de façon superficielle.
  • Réfléchir préalablement au brouillon avant de rédiger la solution définitive.
  • Écrire les lettres avec soin pour éviter toute confusion, par exemple entre phi, l et f, ou x, n et u.
  • Justifier systématiquement les dérivations terme à terme d'une série et l'application des théorèmes du cours.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURDS D’ADMISSION 2000

MATHÉMATIQUES

DEUXIÈME ÉPREUVE FILIÈRE PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

L'emploi de la calculette est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 5 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le but de ce problème est d'étudier quelques propriétés de certaines équations différentielles du type suivant :
(E)
y^(′′)(t) + φ(t)y(t) = 0.

Première partie

L’objet de cette partie est l’étude de l’équation différentielle :
y^(′′)(t) + e^(it)y(t) = 0.

I.1. Caractérisation d'une solution périodique :

Démontrer qu'une fonction f, définie sur toute la droite réelle, solution de l'équation différentielle ( E_1 ), est 2π-périodique si et seulement si elle prend, ainsi que sa dérivée f^′, mêmes valeurs en 0 et en 2π :
f(0) = f(2π), f^′(0) = f^′(2π)

I.2. Construction d'une solution périodique :

Soit f une fonction 2π-périodique solution de l'équation différentielle ( E_1 ) ; soit c_n(f), n ∈ Z, ses coefficients de Fourier.
pour tout entier relatif n : c_n(f) = 1/(2π)∫_0^(2π)f(t)e^(− int)dt.
a. Démontrer que la fonction f est la somme de sa série de Fourier, c'est-à-dire que, pour tout
réel t,
f(t) = ∑_(n = − ∞)^∞c_n(f)e^(int)
b. Exprimer les coefficients de Fourier de la fonction dérivée seconde f^(′′) de f en fonction de ceux de f. En déduire, à l'aide de l'équation différentielle, la relation de récurrence qui lie c_n(f) à c_(n − 1)(f).
c. Préciser la valeur du coefficient de Fourier c_(− 1)(f); en déduire la valeur de tous les coefficients de Fourier de rang strictement négatif. Calculer les coefficients de Fourier de rang positif en fonction de c_0(f). En déduire l'expression de la fonction f.

I.3. Inégalité vérifiée par la fonction f et sa dérivée f^′ :

a. Soit h un réel strictement positif ; établir une majoration du module des deux nombres complexes C et D, définis ci-dessous par les relations :
C = f(t + h) − f(t) − hf^′(t); D = f(t − h) − f(t) + hf^′(t).
en fonction de la norme de la convergence uniforme de la fonction f : ‖f‖_∞ = sup|f(t)|.
b. Déduire des deux inégalités obtenues la relation :
‖f^′‖_∞ ≤ √2‖f‖_∞.

Deuxième partie

Soit (u_n)_(n = 0, 1, 2, …) la suite des fonctions définies sur la droite réelle par la relation suivante :
u_n(x) = (− 1)^n(x^n)/((n!)^2).
Soit g la fonction somme de la série entière de terme général u_n(x), définie dans l'intervalle de convergence de cette série par la relation suivante :
g(x) = ∑_(n = 0)^∞(− 1)^n(x^n)/((n!)^2).
Le but de cette partie est l'étude de la fonction g.

II.1. Rayon de convergence :

Déterminer le rayon de convergence R de la série de terme général u_n(x).

II.2. Signe de la fonction g :

Quelle est le signe de la fonction dérivée g^′, sur le segment [0, 2] ? En déduire qu'il existe un réel x_0 tel que la fonction g est positive sur l'intervalle semi-ouvert [ 0, x_0 [ et négative sur l'intervalle semi-ouvert ]x_0, 2]. Démontrer l'inégalité x_0 > √2 (prendre √2 = 1, 41 ).

Troisième partie

Le but de cette partie est d'étudier les zéros des solutions de l'équation différentielle suivante :
( E_2 )
y^(′′)(t) + e^t y(t) = 0.
Dans toute cette partie y désigne une solution réelle de l'équation différentielle ( E_2 ).

III.1. Zéros de la fonction y :

a. Préciser la fonction y lorsqu'il existe un réel α tel que la fonction y et sa dérivée sont nulles en ce point α : y(α) = 0, y^′(α) = 0.
b. Soient a et b deux réels ( a < b ), z une solution réelle de l'équation différentielle suivante :
(F)
z^(′′)(t) + e^a z(t) = 0
La fonction z est supposée s'annuler en deux points α et β de l'intervalle [a, b] ( a ≤ α < β ≤ b ) et être strictement positive sur l'intervalle ouvert ]α, β [. Soit y une solution de l'équation différentielle ( E_2 ).
Soit H l'hypothèse: "la fonction y est strictement positive sur l'intervalle [α, β] ".
Soit W la fonction définie sur l'intervalle [α, β] par la relation suivante :
W(t) = y(t)z^′(t) − y^′(t)z(t)
Etudier les variations de la fonction W sur l'intervalle [α, β]; en déduire que l'hypothèse H formulée ci-dessus est fausse.
En conclure que, pour toute solution réelle z de l'équation différentielle (F), entre deux zéros consécutifs de la fonction z se trouve au moins un zéro de la fonction y.
c. Déduire des résultats précédents que, pour tout réel τ, toute solution y réelle de l'équation différentielle E_2 a au moins un zéro dans l'intervalle
[τ, τ + πexp(− τ/2)].

III.2. Espacement des zéros de la fonction y :

Soit y une solution réelle de l'équation différentielle E_2, différente de la solution nulle.
a. Soit τ un zéro de la fonction y; démontrer qu'il existe un intervalle ouvert ]τ, τ + c[, où c est un réel strictement positif sur lequel la fonction y n'est pas nulle.
b. Soient deux zéros consécutifs α et β de la fonction y. Démontrer, en considérant une solution réelle z de l'équation différentielle suivante :
(G)
z^(′′)(t) + e^β z(t) = 0
que les réels α et β vérifient l'inégalité suivante :
β − α ≥ πexp(− β/2)

Quatrième partie

L'objet de cette partie est de construire une fonction Ψ solution de l'équation différentielle E_2. Soit (v_n)_(n = 0, 1, 2, …), une suite de fonctions définies sur la droite réelle par la relation :
v_n(t) = ((− 1)^n)/((n!)^2)e^(nt)
Lorsque la série de fonctions de terme général v_n est convergente, soit Ψ la fonction somme de cette série :
Ψ(t) = ∑_(n = 0)^∞((− 1)^n)/((n!)^2)e^(nt)

IV. 1 La fonction Ψ est solution de l'équation différentielle E_2 :

a. Etablir que, pour tout réel a, la série de terme général v_n(t) est uniformément convergente sur la demi-droite ] − ∞, a].
b. Démontrer que la fonction Ψ est une solution de l'équation différentielle (E_2) définie sur toute la droite réelle.

IV.2. Zéros de la fonction Ψ :

Démontrer, en utilisant des résultats des deuxième et troisième parties, que les zéros de la fonction Ψ constituent une suite monotone croissante (t_n)_(n = 0, 1, 2, …), de réels :
t_0 < t_1 < t_2 < … < t_n < …
telle que :
(ln2)/2 < t_0, lim_(n → ∞)t_n = + ∞, lim_(n → ∞)(t_(n + 1) − t_n) = 0

Cinquième partie

Le but de cette partie est d'établir des majorations des fonctions solutions de l'équation différentielle :
y^(′′)(t) + φ(t)y(t) = 0.

V.1.Une inégalité :

Soient M un réel strictement positif ( M > 0 ) et a un réel. Soient f et g deux fonctions positives, définies et continues sur la demi-droite [a, ∞[, telles que, pour tout réel t de la demi-droite [ a, ∞ [, l'inégalité ci-dessous ait lieu :
f(t) ≤ M + ∫_a^t f(x)g(x)dx
Etablir, en considérant par exemple la fonction F, définie sur la demi-droite [a, ∞[ par la relation :
F(t) = ∫_a^t f(x)g(x)dx
la propriété :
f(t) ≤ Mexp(∫_a^t g(x)dx)
Dans la suite le réel a est strictement positif ( a > 0 ) ; soit y une fonction réelle, définie et
continue sur la demi-droite [ a, ∞ [, vérifiant l'équation différentielle ( E ) :
y^(′′)(t) + φ(t)y(t) = 0
où φ est une fonction réelle, définie et continue sur la demi-droite [a, ∞[, telle que la fonction t ↦ t.φ(t) est intégrable sur la demi-droite [a, ∞[. (l'intégrale ∫_a^∞t|φ(t)|dt existe).
V.2. Majoration de la fonction |y(t)|/t :
a. Déterminer une fonction affine A : t ↦ A(t), définie sur la demi-droite [a, ∞[, telle que, pour tout réel t de cette demi-droite, la relation ci-dessous ait lieu :
y(t) = A(t) − ∫_a^t(t − x)y(x)φ(x)dx
b. Démontrer que la fonction j définie par la relation
j(t) = (y(t))/t,
est bornée lorsque le réel t croît vers l'infini. C'est-à-dire : il existe deux réels strictement positifs C et D tels que, pour tout t supérieur ou égal à C(t ≥ C), il vienne : |y(t)| ≤ Dt.
V.3. Limites de y^′(t) et de y(t)/t :
Démontrer, en utilisant les résultats précédents que la fonction dérivée y^′ : t ↦ y^′(t) a une limite lorsque le réel t croît vers l'infini ; soit ℓ cette limite :
ℓ = lim_(t → ∞)y^′(t)
b. En déduire que l'expression j(t) = (y(t))/t a pour limite ℓ lorsque le réel t croît vers l'infini.
FIN DU PROBLEME

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 2 Mines PSI 2000 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 2 Mines PSI 2000 ?

Le sujet porte sur les séries de Fourier, les séries entières et les équations différentielles, à travers l'étude de l'équation y'' + φ(t)y = 0 pour plusieurs choix de φ.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury relève une croyance erronée sur l'intégrale d'une fonction périodique, des dérivations terme à terme non justifiées, et une confusion sur les fonctions développables en série entière.

Le sujet Mathématiques 2 Mines PSI 2000 est-il difficile ?

Oui, la moyenne était légèrement supérieure à 7 sur 20 malgré un barème assez généreux, et de nombreuses questions, notamment en fin de sujet, ont été très rarement traitées avec succès.

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