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Mines Mathématiques 1 PSI 2000Sujet, corrigé et rapport du jury

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2000

MATHÉMATIQUES

PREMIÈRE ÉPREUVEFILIÈRE PSI(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

L'emploi de la calculette est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PSI.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 4 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le but de ce problème est l'étude d'endomorphismes définis par l'action d'un groupe sur un espace vectoriel de matrices complexes.
Soit M l'ensemble des matrices complexes m d'ordre 2 qui s'écrivent sous la forme suivante
m = (a, ib; ib¯, a¯).
Dans cette relation, a et b sont des nombres complexes, i vérifie i^2 = − 1, a¯ (resp. b¯ ) est le nombre complexe conjugué de a (resp. b ).

Partie préliminaire

0. L'ensemble M est un espace vectoriel réel :

Démontrer qu'en munissant l'ensemble M de l'addition des matrices et de la multiplication des matrices par un réel, l'ensemble M est un espace vectoriel réel. Préciser sa dimension.
Démontrer que le produit de deux matrices m_1 et m_2 de l'espace M appartient à M.
Soit I la matrice unité d'ordre 2. Soit m une matrice appartenant à l'espace vectoriel M; la matrice transposée de la matrice m est notée ^t m. Si p est un entier naturel, m^p est le produit de la matrice m p-fois par elle-même ; classiquement m^0 = I.
Soit G le sous-ensemble des matrices g appartenant à l'espace M dont le déterminant est égal à 1 :
G = {g ∈ M|detg = 1}.
Il est admis que l'ensemble G est, pour le produit des matrices, un groupe.
Soit U le sous-ensemble des matrices u de l'espace M antisymétriques dont le carré est égal à l'opposé de la matrice identité :
U = {u ∈ M|u + ^t u = 0, u^2 = − I}.
Soit V le sous-ensemble des matrices symétriques v appartenant à l'espace M :
V = {v ∈ M|v = ^t v}.
Il est admis que le sous-ensemble V de M est un sous-espace vectoriel réel.
Soient m_1 et m_2 deux matrices appartenant à l'espace vectoriel M; il est admis que la trace de la matrice m¯_1 ⋅ ^t m_2 est réelle ; soit ( m_1|m_2 ) le réel défini par la relation suivante :
(m_1|m_2) = 1/2Tr(m¯_1 ⋅ ^t m_2) = 1/2Tr(m_1 ⋅ ^t m¯_2).
L'égalité entre les traces des matrices m¯_1 ⋅ ^t m_2 et m_1 ⋅ ^t m¯_2 est admise.
Il est admis que l'espace ( M, (. | .)) est un espace euclidien. Si le produit scalaire ( m_1|m_2 ), de deux matrices m_1 et m_2, est nul, ces matrices sont dites perpendiculaires. Le sous-espace vectoriel V de M est un espace euclidien lorsqu'il est muni du produit scalaire induit par celui de M.

Première partie

I.1. Propriétés élémentaires des matrices de l'espace M :

Soit m une matrice de l'espace M; démontrer que les matrices m + ^t m¯ et m ⋅ ^t m¯ s'expriment au moyen de la matrice identité I, du déterminant det m, de la trace Trm de la matrice m.
Soit g une matrice appartenant à M; déduire du résultat précédent que, pour qu'une matrice g de l'espace M appartienne au groupe G, il faut et il suffit qu'il existe une relation simple entre les matrices g^(− 1) et ^t g¯.
Soit m une matrice de l'espace M dont la trace est nulle ( Trm = 0 ) ; établir la relation : m = − ^t m¯; calculer les matrices m^2, (^t m)^2 en fonction du déterminant de la matrice m et de la matrice unité I.

I. 2 Matrices u :

Déterminer les matrices u qui appartiennent à l'ensemble U défini ci-dessus.
Soit m une matrice de l'espace M, u une matrice de l'ensemble U. Comparer les deux produits de matrices : m.u et u. m¯. Démontrer que, lorsque la trace de la matrice m est nulle ( Trm = 0), les deux matrices m.u et и.m appartiennent au sous-espace vectoriel V.

I.3. Norme d'une matrice m :

Soit m une matrice de l'espace M; calculer la norme de la matrice m(‖m‖ = √((m|m))) en fonction du déterminant de cette matrice. Comparer pour deux matrices m et w de l'espace M la norme ‖m.w‖ du produit des matrices m et w avec le produit ‖m‖.‖w‖ des normes de ces matrices.

I.4. Matrices appartenant à G :

a. Démontrer que toute matrice g appartenant au groupe G s'écrit, de manière unique, sous la forme
g = Icosθ + m,
où θ est un réel appartenant au segment [0, π] et m une matrice de trace nulle ( Trm = 0 ) qui appartient à M.
Calculer, en fonction du réel θ, le déterminant de la matrice m, ainsi définie à partir de la matrice g, ainsi que le carré m^2 de la matrice m.
b. Soit m une matrice de l'espace M différente de 0(m ≠ 0) : démontrer que la matrice g_1 définie par la relation ci-dessous appartient au groupe G :
g_1 = 1/(√(detm))m

I-5 Un sous-groupe de G :

Soit g_1 une matrice de trace nulle ( Trg_1 = 0 ) appartenant à G; soit G(g_1) l'ensemble des matrices m_θ définies par la relation suivante
m_θ = Icosθ + g_1 sinθ
où θ un réel quelconque appartenant au segment [0, 2π]; soit :
G(g_1) = {m_θ = Icosθ + g_1 sinθ|θ ∈ [0, 2π]}.
Démontrer que l'ensemble G(g_1) est un sous-groupe commutatif du groupe G.

Deuxième partie

Cette partie est consacrée à l'étude d'une application définie dans le sous-espace vectoriel V des matrices symétriques de M à l'aide d'une matrice du groupe G.
Dans toute cette partie, g est une matrice donnée du groupe G, de trace nulle ( Trg = 0 ) ; étant donnée une matrice w appartenant au sous-espace vectoriel V soit l_g(w) la matrice définie par la relation suivante :
l_g(w) = g ⋅ w + w ⋅ ^t g.

II-1. L'endomorphisme l_g de V :

a. Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel réel V de l'espace vectoriel M. Déterminer une base de ce sous-espace vectoriel.
b. Démontrer que l'application l_g : w ↦ l_g(w) est un endomorphisme de l'espace vectoriel V. Démontrer que cet endomorphisme l_g n'est pas nul.

II-2. Propriétés de l'endomorphisme l_g :

a. Comparer l'endomorphisme l_g ∘ l_g : w ↦ l_g(l_g(w)) à l'endomorphisme w ↦ 2g.l_g(w). Calculer l'expression l_g(g ⋅ l_g(w)) en fonction de l_g(w).
Comparer les deux normes ‖l_g(w)‖ et ‖g ⋅ l_g(w)‖.
Calculer, pour une matrice u de l'ensemble U, l'expression l_g(g ⋅ u).
b. Déterminer une relation simple qui lie, pour deux matrices quelconques v et w de l'espace V, les produits scalaires (l_g(v)|w) et (v|l_g(w)).
En déduire l'endomorphisme adjoint de l'endomorphisme l_g.
c. Déduire des résultats précédents, que, pour toute matrice w de V, les matrices l_g(w) et g ⋅ l_g(w) sont perpendiculaires.

II-3. Une base de l'espace V :

Etant données une matrice v de l'espace vectoriel V telle que son image par l'endomorphisme l_g soit différente de 0(l_g(v) ≠ 0 ), une matrice u de l'ensemble U ( u appartient à M, est antisymétrique, u^2 = − I ), soient h_0 le produit des matrices g et u, h_1 l'image de la matrice v par l'application l_g, h_2 le produit des matrices g et h_1 :
h_0 = g ⋅ u, h_1 = l_g(v), h_2 = g ⋅ l_g(v).
a. Calculer les produits scalaires de la matrice u avec chacune des matrices h_i, 0 ≤ i ≤ 2, et des matrices h_i, 0 ≤ i ≤ 2, deux à deux :
(u|h_i), 0 ≤ i ≤ 2, (h_k|h_l), 0 ≤ k ≤ l ≤ 2.
b. Démontrer que la suite des matrices h_i, 0 ≤ i ≤ 2, est une base de l'espace vectoriel V. Déduire de cette base une base orthonormée. Quelle est la matrice associée à l'endomorphisme l_g dans cette base ? Déterminer la transformation géométrique associée à l'endomorphisme 1/2l_g.

II-4. Un endomorphisme de l'espace vectoriel M :

Soit θ un réel donné appartenant au segment [0, 2π]; soit m_θ la matrice appartenant au groupe G (question I-5) définie par la relation suivante :
m_θ = Icosθ + gsinθ.
Soit s_θ l'application qui, à une matrice w de l'espace vectoriel M, associe la matrice m_θ.w.
s_θ : w ↦ m_θ.w.
Déterminer la matrice associée à l'endomorphisme s_θ dans la base définie par les matrices u, h_0, h_1, h_2.

FIN DU PROBLEME

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