X ENS Modélisation PSI 2019Sujet et rapport du jury

ECOLES NORMALES SUPERIEURES - ECOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D'ADMISSION 2019

JEUDI 25 AVRIL 2019-8h00 - 13h00 FILIERE PSI

COMPOSITION de MODELISATION (XUCR)

Durée : 5 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Étude d'un véhicule sous-marin autonome : modélisation, identification et localisation

1 Présentation de l'étude

1.1 Les enjeux liés aux drones sous-marins

Figure 1 - Drone sous-marin - DRONECOM ©ECA GROUP

• une énergie embarquée faible au regard des distances à parcourir ;
• la prise de décision dans un environnement inconnu;
• sa localisation sans possibilité de recalage par satellite;
• le contrôle du drone en position, vitesse et orientation.

1.2 Objectifs de l'étude

• le domaine physique où l'on fait des mesures sur un système réel;
• le domaine virtuel où l'on réalise des simulations sur une maquette.

Figure 2 - Véhicule sous-marin autonome

Figure 3 - Présentation de la démarche de modélisation

• la modélisation du comportement dynamique du drone;
• la modélisation des actions mécaniques s'exerçant sur le drone;
• l'identification des coefficients hydrodynamiques;
• l'estimation de l'orientation, la vitesse et la position du drone.

2 Modélisation du comportement dynamique du véhicule

• la cinématique du véhicule;
• le comportement dynamique du véhicule;
• les actions mécaniques extérieures au véhicule.

2.1 Définitions des référentiels fixe et mobile

• O soit le point de départ du mouvement;
• x⃗_0 soit l'axe longitudinal orienté vers le Nord géographique;
• y⃗_0 soit l'axe transversal orienté vers l'Est ;
• z⃗_0 soit l'axe dirigé vers le centre de la terre.

Figure 4 - Définition des repères fixe et mobile

• C le centre de carène du véhicule;
• x⃗_1 l'axe longitudinal orienté vers le sens d'avancement;
• y⃗_1 l'axe transversal orienté vers le sens du glissement à droite;
• z⃗_1 l'axe dirigé vers la descente en profondeur.

• 3 paramètres linéaires x, y et z représentant les coordonnées du vecteur position OC^(→−) dans le repère fixe R_0

• 3 paramètres angulaires φ, θ et ψ représentant l'orientation de la base mobile B_1 = (x⃗_1, y⃗_1, z⃗_1) par rapport à la base fixe B_0 = (x⃗_0, y⃗_0, z⃗_0). Ces angles φ, θ et ψ sont nommés respectivement roulis, tangage et lacet.
  On appelle ℙ_(01) la matrice de passage de la base B_0 à la base B_1 :

Figure 5 - Définition du lacet - Vue de dessus

Figure 6 - Définition du tangage - Vue de côté

Figure 7 - Définition du roulis - Vue de face

• Le vecteur η = [x, y, z, φ, θ, ψ]^t = [η_1, η_2]^t qui représente la position et l'orientation du véhicule dans le repère terrestre fixe R_0, avec η_1 = [x, y, z]^t le vecteur position et η_2 = [φ, θ, ψ]^t le vecteur attitude;
• Le vecteur ν = [u, v, w, p, q, r]^t = [ν_1, ν_2]^t qui représente la vitesse linéaire V_(10)(C)^– et la vitesse angulaire Ω_(10)^(→−) dans le repère mobile R_1.
• Les vitesses u, v et w sont appelées respectivement la vitesse longitudinale (ou vitesse d'avance), la vitesse transversale (ou dérive) et la vitesse de pilonnement. On note ν_1 = [u, v, w]^t le vecteur vitesse linéaire local.
• Les vitesses angulaires p, q et r sont appelées respectivement les vitesses de roulis, tangage et lacet. On note ν_2 = [p, q, r]^t le vecteur vitesse angulaire local.
  Nota : l'opérateur ^t est l'opérateur transposé.
  On montre qu'il est possible d'écrire deux relations entre les vecteurs d'état de position et de vitesse telles que:

• le comportement en plongée;
• le maintien de cap.

• x, la position horizontale du véhicule;
• z, sa profondeur;
• θ, son angle de tangage;
• u, sa vitesse d'avancement;
• w, sa vitesse de descente;
• q, sa vitesse de tangage.

2.2 Définition des caractéristiques inertielles

• il doit être transportable par deux personnes;
• il doit avoir jusqu'à 20 heures d'autonomie;
• sa maintenance et sa récupération doivent être facilitées;
• il doit être maniable à haute et basse vitesse (vitesse nominale de 1, 5 m ⋅ s^(− 1) et vitesse maximale de 2, 5 m.s^(− 1) );
• il doit naviguer jusqu'à 200 mètres de profondeur.

• f_(ext) représente les actions mécaniques extérieures au système s'appliquant au centre de carène C ;
• 𝕄_v désigne une matrice représentant l'inertie du véhicule;
• ℂ_v(ν) désigne une matrice représentant des forces inertielles du référentiel mobile.

3 Modélisation des actions mécaniques s'exerçant sur le drone

• les actions mécaniques de la gravité et de la flottabilité notées {F_s};
• les actions mécaniques hydrodynamiques notées {F_h} (voir la figure 8);
• les actions mécaniques dues à la propulsion et à la gouverne notées respectivement {F_m} et {F_g}( voir la figure 8) ;
• les actions mécaniques dues aux perturbations notées {F_p}.

Figure 8 - Inventaire partiel des actions mécaniques

3.1 Hypothèses et perturbations {F_p}

• non-additive, par la modification des coefficients hydrodynamiques liés au milieu marin comme la variation de la masse volumique;
• additive, par l'action d'un mouvement ou d'une force supplémentaire sur la dynamique initiale du drone. C'est le cas des courants marins par exemple.
  La masse volumique ρ de l'eau de mer dépend de la salinité, de la température et de la pression au point considéré. Pour simplifier notre étude, nous considérons la masse volumique de l'eau de mer comme homogène et identique à celle de l'eau à 20^∘C.
  Les courants marins résultent d'un certain nombre de facteurs (gradient de température de l'eau, les marées, les vents, ...). Ils sont aussi influencés par les côtes et la topographie des fonds marins. Par la suite nous considérons que l'eau de mer s'écoule autour de l'engin par la seule action de son mouvement.
  Toutes les conditions extérieures modifiant les hypothèses d'études seront donc prises en compte à travers une perturbation {F_p} non connue.

3.2 Actions mécaniques de l'eau la coque

• la flottabilité F⃗_(h0) (au repos, elle correspond à la poussée d'Archimède);
• l'action mécanique inertielle d'une masse d'eau déplacée F⃗_(h1);
• le frottement hydrodynamique F⃗_(h2).

3.3 Actions mécaniques de commande (propulsion et gouverne)

Figure 9 - Architecture des gouvernes

4 Identification des coefficients hydrodynamiques

4.1 Protocole expérimental

Figure 10 - Drone suspendu

Figure 11 - Chariot de remorquage

4.2 Analyse des résultats expérimentaux

Figure 12 - Résultats bruts - véhicule en position axiale - vitesse de 1, 5 m/s

Figure 13 - Résultats filtrés par un passe-bas du deuxième ordre

• une décade est un rapport de 10 et 20∗log_(10)(10) = 20dB;
• une octave est un rapport de 2 et 20∗log_(10)(2) = 6dB.

def rejet ( $e, h, w n$ ):
    $\mathrm{xn}, \mathrm{xd}=0.01,1 / 2 * * 0.5$
    $\mathrm{a} 2=(\mathrm{wn} * \mathrm{~h}) * * 2$
    $\mathrm{n}=\operatorname{len}(\mathrm{e})$
    $\mathrm{s}=\mathrm{n} *[0]$
    \# partie de la fonction non présentée
    \#
    $\mathrm{s}[0]=\mathrm{a} 0 / \mathrm{b} 0 * \mathrm{e}[0]$
    $\mathrm{s}[1]=(-\mathrm{b} 1 * \mathrm{~s}[0]+\mathrm{a} 0 * \mathrm{e}[1]+\mathrm{a} 1 * \mathrm{e}[0]) / \mathrm{b} 0$
    for $\mathbf{i}$ in range $(2, \mathbf{n})$ :
        $\mathrm{s}[\mathrm{i}]=(-\mathrm{b} 1 * \mathrm{~s}[\mathrm{i}-1]-\mathrm{b} 2 * \mathrm{~s}[\mathrm{i}-2]+\mathrm{a} 0 * \mathrm{e}[\mathrm{i}]+\mathrm{a} 1 * \mathrm{e}[\mathrm{i}-1]+\mathrm{a} 2 * \mathrm{e}[\mathrm{i}-2]) / \mathrm{b} 0$
    return $s$

Figure 14 - Résultats bien conditionnés - 1, 5 m/s

Figure 15 - Essais pour différentes vitesses

• F_(h2) est la force résistante;
• ρ la masse volumique de l'eau;
• S la section du drone.