Corrigé détaillé Mines Physique 2 PSI 2021

À l'instant t, la particule P coïncide avec le front d'onde \Pi_1. Le front d'onde immédiatement consécutif \Pi_2, situé en arrière, se trouve à une distance spatiale égale à la longueur d'onde \lambda_e :

où x désigne l'abscisse selon l'axe orienté par \widehat{u}_e.

Entre les instants t et t' = t + \Delta t, l'onde se propage à la célérité c_0 dans la direction \widehat{u}_e. La distance parcourue par le front d'onde \Pi_2 pendant cette durée vaut :

Pendant cette même durée \Delta t, le déplacement algébrique de la particule P selon l'axe de propagation \widehat{u}_e s'écrit :

À l'instant t', la particule P est atteinte par le front d'onde \Pi_2 devenu \Pi'_2. Pour rattraper la particule, le front d'onde \Pi_2 doit parcourir la distance initiale \lambda_e augmentée du déplacement de la particule selon la direction de propagation :

En explicitant d_{\text{onde}} = c_0 \Delta t, il vient :

Par définition, la fréquence f_p perçue par la particule est l'inverse de la période temporelle apparente \Delta t = 1/f_p, d'où :

Puisque la fréquence de l'onde émise est reliée à sa longueur d'onde par f_e = c_0/\lambda_e, on obtient finalement :

Plaçons-nous dans le référentiel \mathscr{R}' lié à la particule, animé d'une vitesse de translation \vec{V} par rapport à \mathscr{R} :

• La particule P y est fixe et constitue la source de lumière diffusée à la fréquence f_p ;
• La lumière se propage dans \mathscr{R}' à la célérité c_0 selon le vecteur unitaire \widehat{u}_d en direction du photorécepteur ;
• Le photorécepteur, fixe dans le référentiel \mathscr{R}, est en mouvement à la vitesse \vec{V}_{\text{réc}/\mathscr{R}'} = -\vec{V} dans le référentiel \mathscr{R}'.

La situation physique est strictement analogue à celle de la question 1, où un récepteur se déplaçait à une vitesse donnée dans le référentiel d'un émetteur fixe. Il suffit donc d'adapter la relation établie à la question 1 :

en effectuant les correspondances suivantes :

• f_{\text{émise}} \longrightarrow f_p ;
• f_{\text{reçue}} \longrightarrow f_d ;
• \widehat{u}_{\text{prop}} \longrightarrow \widehat{u}_d ;
• \vec{V}_{\text{récepteur}} \longrightarrow -\vec{V}.

On en déduit immédiatement :

soit :

D'après les questions précédentes, la particule perçoit la fréquence (question Q1) :

puis la diffuse vers le photorécepteur qui reçoit la fréquence (question Q2) :

En injectant l'expression de f_p dans celle de f_d, on obtient :

Comme \|\vec{V}\| \ll c_0, on néglige le terme d'ordre 2 en 1/c_0^2. Sachant que c_0 = \lambda_e f_e, soit f_e / c_0 = 1/\lambda_e, il vient immédiatement :

Analyse numérique de l'écart relatif : L'écart relatif en fréquence s'écrit :

Avec \|\vec{V}\| \sim 10\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1} = 10^{-1}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et c_0 = 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

L'écart relatif en fréquence est extrêmement faible (de l'ordre de 10^{-9} à 10^{-10}, soit moins d'un milliardième). Un spectromètre optique conventionnel ne possède pas une résolution suffisante pour mesurer directement une variation de fréquence aussi minime devant une fréquence optique f_e \sim 6 \times 10^{14}\text{ Hz}. Cela justifie l'utilisation de techniques hétérodynes ou de montages à deux faisceaux créant des battements directement détectables.

1. Schéma et expression de d_0' :

Le faisceau incident étant collimaté (rayons parallèles à l'axe optique), le système optique doit être afocal pour que le faisceau émergent soit également collimaté. Le foyer image F'_1 de la lentille convergente L_1 doit donc être confondu avec le foyer objet F_2 de la lentille convergente L_2 :

D'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles formés par les rayons marginaux et le foyer commun F'_1 \equiv F_2 :

d'où l'expression de la largeur d_0' :

Pour obtenir un faisceau élargi (d_0' > d_0), il est nécessaire de choisir f'_2 > f'_1.

2. Encombrement du dispositif :

L'encombrement e correspond à la distance inter-lentilles O_1 O_2 = f'_1 + f'_2. En substituant f'_2 = f'_1 \frac{d_0'}{d_0}, il vient :

3. Réduction de l'encombrement :

Ce premier montage est une lunette astronomique (ou de Kepler). Pour réduire l'encombrement, on peut réaliser un dispositif de type lunette de Galilée en remplaçant la lentille convergente L_1 par une lentille divergente de distance focale f''_1 < 0 telle que |f''_1| = f'_1.

Le système reste afocal en faisant coïncider le foyer image virtuel de la lentille divergente avec le foyer objet réel de la lentille convergente : F''_1 \equiv F_2. Le grandissement transversal en valeur absolue est conservé :

Le nouvel encombrement e' s'écrit alors :

En factorisant par |f''_1| = f'_1 :

Puisque \frac{d_0'}{d_0} > 1, on a :

L'encombrement est donc strictement réduit d'une longueur 2f'_1.

1. Schéma complété et principe de fonctionnement

Le faisceau incident collimaté de largeur d_0' arrive parallèlement à l'axe optique. Le plan médian horizontal constitue un plan de symétrie pour le dispositif :

• Le demi-faisceau supérieur (y > 0) rencontre la face supérieure gauche inclinée d'un angle \alpha = \pi/4 par rapport à la verticale, y subit une première réfraction, traverse l'épaisseur de verre d'indice n_p, puis subit une seconde réfraction sur la face supérieure droite, parallèle à la première. Il émerge ainsi parallèlement à sa direction incidente (faisceau horizontal), translaté vers le haut.
• De manière symétrique, le demi-faisceau inférieur (y < 0) traverse la partie inférieure inclinée en sens opposé et émerge translaté vers le bas.

On obtient ainsi en sortie deux faisceaux parallèles entre eux et à l'axe optique, de largeur identique d_0'', dont les axes sont séparés d'une distance D.

2. Valeur de la largeur d_0''

Le prisme réalise une division du front d'onde : l'arête centrale sépare le faisceau incident de largeur d_0' en deux demi-faisceaux de largeur égale d_0'/2.

Chaque demi-faisceau traverse un bloc délimité par deux faces planes parallèles. La réfraction à travers deux dioptres plans parallèles conserve le parallélisme des rayons ainsi que l'extension transverse (largeur) d'un faisceau collimaté. Par conséquent :

3. Différence de marche nulle

Par raison de symétrie plane par rapport au plan horizontal contenant l'axe optique, les deux demi-faisceaux parcourent des trajets géométriques rigoureusement identiques, avec la même longueur de propagation dans le verre d'indice n_p et dans l'air d'indice n_a.

La différence de chemin optique entre les deux faisceaux est donc strictement nulle en tout plan d'onde aval :

On parle ainsi de diviseur à différence de marche nulle.

4. Autre dispositif de division de faisceau

On peut réaliser la division d'un faisceau par division d'amplitude à l'aide d'une lame semi-réfléchissante (ou miroir semi-transparent).

• Pour une lame semi-réfléchissante simple à faces parallèles, le faisceau réfléchi ne traverse pas la lame alors que le faisceau transmis la traverse : la différence de marche introduite par l'épaisseur de la lame n'est pas nulle (\delta \neq 0), sauf si l'on insère une lame compensatrice identique sur le faisceau réfléchi.
• En revanche, un cube séparateur (constitué de deux prismes rectangles identiques collés par leur hypoténuse traitée) présente une symétrie qui assure une différence de marche nulle entre les deux voies.

Considérons la moitié supérieure du prisme. La face d'entrée fait un angle \alpha = \pi/4 avec la verticale, et donc également avec l'axe optique horizontal. Un rayon incident parallèle à l'axe optique arrive sous un angle d'incidence :

La loi de Snell-Descartes pour la réfraction de l'air (n_0 = 1) vers le verre d'indice n_p s'écrit :

On en déduit l'expression de \cos r :

Puis la tangente de l'angle de réfraction :

Posons la fonction sans dimension et sans fonction trigonométrique :

La demi-partie supérieure du prisme se comporte comme une lame à faces parallèles inclinée d'angle \alpha = \pi/4, dont l'épaisseur horizontale est b. Un rayon incident horizontal subit une translation latérale verticale.

Par un calcul de trajectoire dans le repère associé à la lame :

• La face d'entrée a pour équation y = x ; un rayon incident à la hauteur y_1 y pénètre au point (y_1, y_1).
• La face de sortie, parallèle, est décalée horizontalement de b et a pour équation y = x - b.
• À l'intérieur du verre, la normale descendante étant inclinée de -\pi/4, le rayon se propage avec une pente m = \tan(-\pi/4 + r) = \frac{\tan r - 1}{1 + \tan r}.

• L'intersection du rayon avec la face de sortie donne pour ordonnée de sortie y_2 :

  y_2 - y_1 = \frac{m}{1-m}b = -\frac{b}{2}(1 - \tan r)

Le demi-faisceau supérieur subit donc un décalage vertical vers le bas en valeur absolue égal à :

Par symétrie par rapport à l'axe optique, le demi-faisceau inférieur subit un décalage opposé. L'écartement D entre les axes des deux faisceaux émergents parallèles vaut ainsi :

D'après la question précédente, chaque faisceau émergent a une largeur d_0'' = d_0'/2. Pour que les deux faisceaux ne se recouvrent pas, la distance entre leurs axes doit être au moins égale à leur largeur :

À la limite de non-recouvrement (D = d_0'/2), on obtient directement :

soit :

Pour que les deux faisceaux soient effectivement séparés (strictement sans recouvrement), il faut donc :

D'après la relation (1) établie à la question Q3, la fréquence reçue par le détecteur après diffusion de l'onde issue du faisceau F_1 s'écrit :

De même, pour le faisceau F_2, la fréquence diffusée perçue par le même récepteur dans la direction \widehat{u}_d vaut :

Par différence entre ces deux fréquences, le terme dépendant de la direction de diffusion \widehat{u}_d s'élimine rigoureusement :

D'après la figure 4, les faisceaux se propagent dans le plan (xOz) de manière symétrique par rapport à l'axe Oz. L'angle entre leurs directions de propagation étant noté \theta, les vecteurs unitaires d'onde incidente s'écrivent :

On en déduit :

En projetant le vecteur vitesse \vec{V} = V_x \widehat{u}_x + V_y \widehat{u}_y + V_z \widehat{u}_z, il vient :

On obtient finalement l'expression de l'écart de fréquence en fonction de la seule composante transverse V_x de la vitesse :

Le photorécepteur mesure l'intensité lumineuse résultant de la superposition des deux ondes diffusées :

En développant avec \underline{E_{d1}}(t) = E_0 \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi f_{d1} t} et \underline{E_{d2}}(t) = E_0 \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi f_{d2} t} :

Le signal s'écrit bien sous la forme demandée :

avec, d'après le résultat de la question Q7 :

(au signe près, la fonction cosinus étant paire).

Une fréquence étant par définition une grandeur positive, la fréquence de battement ou de clignotement f_{\mathrm{c}} correspond à :

soit :

D'après la question précédente, la fréquence de clignotement s'exprime par :

L'angle \theta/2 étant très petit, on peut utiliser l'approximation des petits angles en convertissant en radians :

On en déduit :

Avec |V_x| = 10\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1} = 0{,}10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \lambda_e = 5{,}2 \times 10^2\text{ nm} = 5{,}2 \times 10^{-7}\text{ m} :

En respectant la consigne d'un unique chiffre significatif :

Justification de l'utilisation de deux faisceaux :

• Précision de la mesure :

  1. Le résultat f_c est indépendant de la direction d'observation \widehat{u}_d du détecteur (résultat de la question Q7). L'ouverture angulaire de l'optique de collecte n'entraîne donc aucun élargissement spectral, ce qui garantit une mesure intrinsèquement précise.
  2. Le signal utile est un battement basse fréquence (f_c \sim 10\text{ kHz}), facilement mesurable par un photodétecteur classique et traitable par électronique numérique (compteur de franges, FFT), alors qu'un montage à faisceau unique exigeait de mesurer un décalage relatif infime (\Delta f/f_e \sim 10^{-10}) sur une onde optique à 10^{14}\text{ Hz}.
• Localisation de la particule : La modulation de l'intensité lumineuse à la fréquence f_c n'est générée que lorsque la particule traverse le volume d'intersection des deux faisceaux (zone de recouvrement). Cette zone de mesure constitue un volume très restreint (de taille millimétrique voire micrométrique), ce qui permet une mesure locale et autorise le tracé précis de profils de vitesse au sein du fluide (par translation de ce volume de croisement), contrairement à un faisceau unique qui diffuse de la lumière sur toute sa longueur traversée.

Pour que le photorécepteur puisse suivre les fluctuations temporelles d'intensité du signal à la fréquence de clignotement f_c, la période des oscillations T_c = 1/f_c doit être supérieure au temps de réponse \tau du détecteur :

D'après la question Q8, la fréquence de clignotement est liée à la composante V_x de la vitesse particulaire par :

La condition f_c \le f_{c,\max} impose donc |V_x| \le V_{\max}, soit une plage de vitesses mesurables [-V_{\max}, +V_{\max}] avec :

L'angle \theta = 3{,}6^\circ étant faible devant 1\text{ rad}, on effectue l'approximation des petits angles :

Avec \lambda_e = 5{,}2 \times 10^{-7}\text{ m} et \tau = 4{,}4 \times 10^{-9}\text{ s} :

En ne conservant qu'un seul chiffre significatif :

La plage de vitesses détectables par le système est donc :

Origine de la mesure d'une seule composante : D'après la question Q7, la différence de fréquence Doppler s'écrit :

Le vecteur d'onde différentiel \Delta\vec{k} = \vec{k}_{e2} - \vec{k}_{e1} = \frac{4\pi}{\lambda_e}\sin(\theta/2)\,\widehat{u}_x est colinéaire à \widehat{u}_x. Par produit scalaire, seules les projections du mouvement selon cette direction modulent la phase relative des deux ondes diffusées. Les composantes transverses V_y et V_z, orthogonales à \Delta\vec{k}, ne contribuent pas au décalage en fréquence ni à la modulation d'intensité.

Description équivalente par le modèle des franges : Dans le volume de croisement, les deux faisceaux créent un réseau de franges d'interférences équidistantes, situées dans des plans normaux à l'axe Ox (plans parallèles à yOz). Le clignotement résulte du passage successif de la particule d'une frange brillante à une frange sombre ; il n'est donc sensible qu'à la vitesse de traversée des franges, c'est-à-dire à la composante V_x.

Solution pour mesurer simultanément les trois composantes (\boldsymbol{V_x, V_y, V_z}) : Pour obtenir le vecteur vitesse complet \vec{V} :

1. On superpose, dans le même volume de mesure, trois couples de faisceaux laser dont les plans d'incidence définissent trois directions de mesure non coplanaires (idéalement orthogonales, par exemple selon Ox, Oy et Oz).
2. Afin de séparer optiquement les trois signaux de battement et d'éviter les interférences parasites entre faisceaux de couples différents, on attribue à chaque couple une longueur d'onde différente (par exemple en exploitant les raies multiples d'un laser à argon : vert à 514{,}5\text{ nm}, bleu à 488\text{ nm} et violet à 476{,}5\text{ nm}).
3. En réception, la lumière diffusée est séparée par des miroirs ou filtres dichroïques vers trois photodétecteurs indépendants, chacun mesurant la fréquence de battement associée à une composante de la vitesse.

D'après la question Q8, le signal électrique délivré par le photorécepteur est modulé selon :

avec une pulsation de battement :

La fonction cosinus étant paire (\cos(\beta t) = \cos(-\beta t)), le signal temporel I(t) ainsi que son spectre fréquentiel ne dépendent que de la valeur absolue de \beta :

L'analyse spectrale du signal reçu ne permet de mesurer que la fréquence de clignotement f_c \ge 0. Par conséquent, deux vitesses opposées +V_x et -V_x génèrent une intensité I(t) rigoureusement identique : le dispositif ne donne accès qu'à |V_x| et est insensible au sens de déplacement de la particule selon Ox.

Le faisceau F_1 est décalé en fréquence par la cellule acousto-optique de Bragg et possède désormais la fréquence optique incidente f_e + f_B. Le faisceau F_2 conserve la fréquence f_e.

Comme f_B \ll f_e, la longueur d'onde du faisceau F_1 reste quasiment identique à \lambda_e. D'après la relation Doppler établie à la question 3, les fréquences diffusées s'écrivent :

La différence de fréquence entre les deux ondes diffusées vaut donc :

L'intensité lumineuse résultante oscille à la pulsation de battement \beta' = 2\pi |f_{d1} - f_{d2}|, ce qui donne pour la fréquence de clignotement :

D'après la question 10, le photorécepteur ne peut détecter que des signaux de fréquence inférieure à f_{c,\max} = \frac{1}{\tau} = \frac{2\sin(\theta/2)}{\lambda_e} V_{\max}.

Pour pouvoir déterminer sans ambiguïté le signe et la valeur de V_x \in [-V_{\max}/2, \, +V_{\max}/2], la fonction reliant V_x à f'_c doit être strictement monotone (bijective) sur cet intervalle. Il faut donc que le terme sous la valeur absolue reste positif ou nul, et que la fréquence n'excède pas f_{c,\max} :

En évaluant aux bornes de l'intervalle où \frac{2\sin(\theta/2)}{\lambda_e} V_x = \pm \frac{f_{c,\max}}{2} :

• Pour V_x = -V_{\max}/2 : f_B - \frac{f_{c,\max}}{2} \ge 0 \implies f_B \ge \frac{f_{c,\max}}{2}
• Pour V_x = +V_{\max}/2 : f_B + \frac{f_{c,\max}}{2} \le f_{c,\max} \implies f_B \le \frac{f_{c,\max}}{2}

La fréquence f_B optimale est donc unique :

Application numérique : Avec \tau = 4{,}4 \times 10^{-9}\text{ s} :

Avec un seul chiffre significatif :

Analyse du résultat :
Une fréquence acoustique de 100\text{ MHz} est couramment mise en œuvre dans les modulateurs acousto-optiques (cellules de Bragg utilisant par exemple du dioxyde de tellure \mathrm{TeO_2} ou du quartz excité par un transducteur piézoélectrique). Le dispositif proposé est donc parfaitement réaliste et permet de lever l'indétermination sur le sens de l'écoulement :

• Si f'_c > f_B, alors V_x > 0 ;
• Si f'_c < f_B, alors V_x < 0 ;
• Si f'_c = f_B, alors la particule est immobile selon Ox (V_x = 0).

Le nombre de Reynolds d'un écoulement est un nombre sans dimension comparant les effets inertiels aux effets visqueux :

où U est la vitesse caractéristique de l'écoulement et D_c la dimension spatiale caractéristique transverse.

La vitesse moyenne du fluide dans la conduite cylindrique de section S = \pi R^2 s'exprime à partir du débit volumique Q :

En choisissant conventionnellement pour dimension caractéristique le diamètre de la conduite D_c = 2R :

Remarque : si l'on prend le rayon R comme échelle caractéristique, on obtient Re = \frac{\mu Q}{\pi \eta R}.

Dans une conduite cylindrique lisse, l'écoulement est considéré comme laminaire tant que le nombre de Reynolds ne dépasse pas une valeur seuil critique Re_c \simeq 2\,000 :

1. Indépendance de v par rapport à x

Le fluide étant supposé incompressible et homogène, le champ des vitesses vérifie la condition d'incompressibilité locale :

En coordonnées cylindriques, avec le champ de vitesse proposé \vec{v}(M,t) = v(r,x)\,\widehat{u}_x, l'expression de la divergence fournie en formulaire donne :

Par conséquent, la vitesse v est strictement indépendante de x :

2. Équation différentielle en v(r)

Considérons le système fermé constitué par le volume de fluide contenu à l'instant t dans un cylindre coaxial à la conduite, de rayon r \leqslant R et de longueur L comprise entre l'entrée (x = 0) et la sortie (x = L).

En régime stationnaire, l'accélération d'une particule fluide est purement convective :

Le système n'est donc soumis à aucune accélération, et le principe fondamental de la dynamique se réduit à l'équilibre des forces extérieures :

• Forces de pression sur les deux faces planes transversales :

  \vec{F}_{\text{press}} = \left(P(0)\,\pi r^2 - P(L)\,\pi r^2\right)\widehat{u}_x = (P_e - P_s)\pi r^2\,\widehat{u}_x = \Delta P\,\pi r^2\,\widehat{u}_x

• Force de viscosité exercée par le fluide extérieur (r' > r) sur la surface latérale à la distance r, d'après la formule de l'énoncé :

  \vec{F}_{\text{visc}} = 2\eta\pi r L \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\,\widehat{u}_x

À l'équilibre, la somme de ces forces selon \widehat{u}_x est nulle :

On obtient l'équation différentielle du premier ordre régissant v(r) :

Remarque : En dérivant par rapport à r, cette relation s'écrit également sous la forme classique issue de Navier-Stokes : \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\right) = - \frac{\Delta P}{\eta L}.

3. Détermination du profil de vitesse

En intégrant cette équation différentielle par rapport à r :

où C est une constante d'intégration fixée par la condition d'adhérence du fluide visqueux à la paroi solide en r = R :

Le profil des vitesses s'écrit donc :

Par identification avec la forme demandée v(r) = A\left[1 - \left(\frac{r}{R}\right)^q\right], on en déduit :

4. Relation entre le débit volumique Q, A et R

Le débit volumique Q à travers une section droite de la conduite s'obtient en intégrant le flux de vitesse sur des couronnes élémentaires de surface \mathrm{d}S = 2\pi r\,\mathrm{d}r :

On aboutit directement à :

1. Identification de l'écoulement laminaire

D'après la question Q15, un écoulement laminaire établi dans une conduite cylindrique présente un profil de vitesse parabolique :

Sur la figure 5, les points expérimentaux de la solution 2 (+) suivent remarquablement cette allure parabolique, avec une vitesse nulle aux parois (r = \pm R = \pm 13\text{ mm}) et maximale au centre. En revanche, la solution 1 (*) présente un profil très aplati en forme de « bouchon » au centre.

C'est donc l'écoulement de la solution 2 qui correspond le plus à un écoulement laminaire établi de Poiseuille.

2. Débit et nombre de Reynolds pour la solution 2

Pour la solution 2, on lit au centre de la conduite (r = 0) la vitesse maximale :

Le profil étant parabolique, le débit volumique s'exprime (d'après Q15) par :

Avec R = 13\text{ mm} = 1{,}3 \times 10^{-2}\text{ m} :

Le nombre de Reynolds associé s'écrit (d'après Q14) :

Avec \mu_2 = 1{,}2 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \eta_2 = 5{,}5 \times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} :

3. Débit et nombre de Reynolds pour la solution 1

Pour la solution 1 (eau pure, \mu_1 = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, \eta_1 = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}), la vitesse reste quasi constante au centre, v_1 \approx 72\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1}, sur un rayon R_0 \approx 8\text{ mm}, avant de chuter vers les parois (v \approx 40\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1} à r = 10\text{ mm} et v \approx 20\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1} à r = 12\text{ mm}).

L'intégration sur la section (somme du cœur cylindrique et de la couche annulaire externe de cisaillement) conduit à un débit de l'ordre de :

On en déduit le nombre de Reynolds de l'écoulement 1 :

4. Interprétation des résultats

• Pour la solution 2, Re_2 \simeq 200 \ll 2\,000 : l'écoulement est strictement laminaire. La viscosité élevée favorise une dissipation visqueuse efficace qui permet à l'écoulement d'atteindre rapidement son régime établi de Poiseuille.
• Pour la solution 1, bien que Re_1 \simeq 700 reste inférieur au seuil critique de turbulence développée (Re_{\text{crit}} \approx 2\,000), le profil plat au centre indique que le régime de Poiseuille n'est pas établi. La longueur d'établissement hydrodynamique nécessaire pour que les couches limites pariétales se rejoignent sur l'axe (L_e \approx 0{,}05 \times Re \times 2R \approx 90\text{ cm}) est bien plus grande que pour la solution 2 (L_{e,2} \approx 25\text{ cm}), ce qui explique le profil d'entrée de conduite tronqué observé à l'endroit de la mesure.

1. Définition de l'approximation acoustique

L'onde acoustique est modélisée comme une petite perturbation d'un état de repos homogène caractérisé par la pression P_0, la masse volumique \mu_0 et une vitesse nulle. Les grandeurs s'écrivent :

L'approximation acoustique repose sur les hypothèses suivantes :

• Les perturbations sont infinitésimales au premier ordre : |p_1| \ll P_0, |\mu_1| \ll \mu_0 et |v_1| \ll c, où c est la célérité du son.
• Le terme de dérive convective (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} dans l'accélération particulaire est d'ordre 2, donc négligeable devant l'accélération locale \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t}.
• La propagation s'effectue sans frottement visqueux notable et de manière adiabatique réversible (isentropique), compte tenu des fréquences usuelles et de la faible conductivité thermique du fluide.

2. Système de trois équations locales linéarisées unidimensionnelles

• Équation d'Euler linéarisée (conservation de la quantité de mouvement sans terme convectif ni viscosité ni pesanteur) :

  \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial t} = -\frac{\partial p_1}{\partial x}

• Équation de continuité linéarisée (conservation de la masse) :

  \frac{\partial \mu_1}{\partial t} + \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial x} = 0

• Équation d'état isentropique introduisant le coefficient de compressibilité isentropique \chi_S = \dfrac{1}{\mu_0} \left(\dfrac{\partial \mu}{\partial P}\right)_{\!S} :

  \mu_1 = \mu_0 \chi_S \, p_1

3. Équation d'onde pour la surpression p_1(x,t)

En injectant la relation d'état isentropique dans l'équation de conservation de la masse, on obtient :

En dérivant cette relation par rapport au temps t :

On utilise ensuite l'équation d'Euler pour exprimer \dfrac{\partial v_1}{\partial t} = -\dfrac{1}{\mu_0}\dfrac{\partial p_1}{\partial x} :

En posant c = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0 \chi_S}}, on obtient l'équation d'onde de d'Alembert :

Pour une transformation isentropique d'un gaz parfait vérifiant la loi de Laplace, P V^\gamma = \text{cte}. Sachant que pour une masse m de gaz, le volume est relié à la masse volumique par V = m/\mu, cette loi se réécrit :

Le coefficient de compressibilité isentropique s'en déduit à l'état de repos (P_0, \mu_0) :

En utilisant l'expression de la célérité établie à la question Q17, c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \chi_S}}, on obtient la relation de Laplace :

L'équation d'état du gaz parfait s'écrit P_0 V = \frac{m}{M} R T_0, soit :

où T_0 est la température absolue du repos et M la masse molaire du milieu. On en déduit l'expression de la célérité du son :

La célérité c est ainsi inversement proportionnelle à la racine carrée de la masse molaire M du gaz considéré.

Application numérique : À 20^\circ\text{C}, la température thermodynamique vaut T_0 = 20 + 273 = 293\text{ K}. Avec \gamma = 1{,}4, R = 8{,}3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} et M = 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 29 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} :

En respectant la consigne de l'énoncé imposant un seul chiffre significatif pour les résultats numériques :

1. Expression de l'impédance acoustique Z_a

Considérons une onde acoustique plane progressive monochromatique (OPPM) se propageant selon les x croissants :

D'après l'équation d'Euler acoustique unidimensionnelle (question Q17) :

En notation complexe, cette relation devient :

car la relation de dispersion acoustique impose \omega/k = c. Par définition, l'impédance acoustique caractéristique Z_a du milieu est le rapport de la surpression à la vitesse acoustique :

2. Expression du niveau d'intensité acoustique I_{\mathrm{dB}}

Le vecteur densité de courant d'énergie acoustique instantané est :

L'intensité acoustique moyenne I correspond à la moyenne temporelle de sa norme :

Le niveau acoustique en décibels s'écrit alors :

soit :

3. Application numérique pour I_{\mathrm{dB}} = 120\text{ dB}

On déduit de la relation précédente l'expression littérale de v_m :

Données numériques :

• I_{\mathrm{dB}} = 120\text{ dB} \implies I = 1{,}0 \times 10^{-12} \times 10^{12} = 1{,}0\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} ;
• \mu_0 = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et c \simeq 3{,}4 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q18) ;
• Z_a = 1{,}2 \times 3{,}4 \times 10^2 \simeq 4{,}1 \times 10^2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{s}^{-1} \simeq 4 \times 10^2\text{ Pa}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-1}.

Le calcul de l'amplitude de vitesse donne :

4. Faisabilité de la mesure par le vélocimètre laser

• Gamme de vitesse : la vitesse v_m \simeq 7\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1} est du même ordre de grandeur que la vitesse typique de 10\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1} étudiée à la question Q9, et elle est très largement inférieure à la vitesse maximale détectable par le dispositif V_{\max} \approx 2 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (question Q10).
• Bande passante temporelle : l'onde acoustique a une fréquence f = 40\text{ kHz}. Le temps de réponse du photodétecteur est \tau = 4{,}4 \times 10^{-9}\text{ s}, ce qui correspond à une fréquence de coupure 1/\tau \approx 2 \times 10^8\text{ Hz} \gg f. Le système optoélectronique est donc suffisamment rapide pour suivre temporellement l'oscillation acoustique.

Le vélocimètre à deux lasers permet donc parfaitement d'accéder à de telles valeurs de v_m.

1. Justification de la forme cherchée

• Régime harmonique : l'émetteur impose une excitation sinusoïdale de pulsation \omega = 2\pi f. Le système étant linéaire, la réponse en régime établi est monochromatique de pulsation \omega.

• Invariance selon Oy : le guide est constitué de plaques infinies de normale \widehat{u}_z, invariantes par translation selon l'axe Oy. En l'absence de dépendance de la source selon y, la surpression acoustique ne dépend pas de y :

  \frac{\partial p_1}{\partial y} = 0 \implies p_1(M,t) = p_1(x, z, t)

• Séparation des variables et propagation : le guide s'étend le long de l'axe Ox sans obstacle dans cette direction, tandis qu'il est confiné selon Oz entre les plaques rigides z = 0 et z = a. En appliquant une méthode de séparation des variables, on recherche un mode se propageant dans la direction Ox (terme de phase progressive \omega t - kx + \phi, avec k > 0) modulé dans la direction transverse Oz par une amplitude p(z) :

  p_1(M,t) = p(z)\cos(\omega t - kx + \phi)

2. Caractérisation physique de l'onde

• Il s'agit d'une onde guidée, confinée spatialement entre les deux plans z=0 et z=a.
• Selon l'axe longitudinal Ox, l'onde est progressive vers les x croissants avec une vitesse de phase v_\varphi = \frac{\omega}{k}.
• Selon l'axe transverse Oz, l'onde est stationnaire : l'amplitude p(z) présente des ventres et des nœuds de surpression fixés dans l'espace.
• Il s'agit donc d'une onde mixte (ou onde stationnaire-progressive), résultant de l'interférence entre des ondes planes progressives se réfléchissant sur les deux parois rigides.

Le champ de surpression s'écrit :

Calculons les dérivées intervenant dans l'équation de d'Alembert \frac{\partial^2 p_1}{\partial t^2} = c^2 \left( \frac{\partial^2 p_1}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 p_1}{\partial z^2} \right) :

En simplifiant par le terme oscillant non nul \cos(\omega t - kx + \phi), on obtient :

soit l'équation différentielle linéaire du second ordre :

Posons K_z^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - k^2.

• Si K_z^2 < 0, en posant K_z^2 = -\kappa^2 (\kappa > 0), la solution générale est p(z) = C_1 \cosh(\kappa z) + C_2 \sinh(\kappa z). La condition \left.\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\right|_{z=0} = \kappa C_2 = 0 donne C_2 = 0, puis \left.\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\right|_{z=a} = \kappa C_1 \sinh(\kappa a) = 0 impose C_1 = 0 (solution identiquement nulle).
• Si K_z^2 = 0, la solution est une droite affine p(z) = C_1 z + C_2. La condition en z=0 impose C_1 = 0, d'où p(z) = C_2 = \text{cte}.

• Si K_z^2 > 0, la solution s'écrit sous la forme harmonique :

  p(z) = C_1 \cos(K_z z) + C_2 \sin(K_z z)

  La dérivée première s'exprime par :

  \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -K_z C_1 \sin(K_z z) + K_z C_2 \cos(K_z z)

L'application des conditions aux limites imposées par les parois rigides conduit à :

Pour obtenir une onde non identiquement nulle (C_1 \neq 0), il est nécessaire que :

Le cas n = 0 correspond à K_z = 0, redonnant la solution constante p(z) = A_0.

En notant A_n l'amplitude associée, les solutions s'écrivent bien sous la forme :

Justification du mode fondamental (n=0) :

• Le mode propre fondamental d'un système guidé est le mode associé à la plus petite valeur propre spatiale (K_z = 0), ce qui correspond à la fréquence de coupure la plus basse (nulle ici).
• Pour n = 0, la surpression p_0(z) = A_0 est rigoureusement indépendante de z : l'onde se propage alors comme une onde plane acoustique longitudinale non dispersive le long de Ox à la célérité c (\omega = c k), et peut exister pour n'importe quelle pulsation \omega > 0.

L'équation de d'Alembert vérifiée par la surpression s'écrit :

En injectant le mode propre d'ordre n :

il vient :

On obtient ainsi la relation de dispersion du mode n :

Le nombre d'onde k selon la direction de propagation Ox s'écrit alors :

Pour qu'une onde se propage selon Ox sans atténuation, il faut que k soit réel strictement positif :

• Si \omega > \omega_{c,n}, k \in \mathbb{R}^{+*} : le mode propre est propagatif.
• Si \omega < \omega_{c,n}, k = -i\alpha avec \alpha = \frac{1}{c}\sqrt{\omega_{c,n}^2 - \omega^2} \in \mathbb{R}^{+*} : le mode est évanescent (décroissance exponentielle en e^{-\alpha x} sans transport moyen d'énergie).

Il existe donc bien, pour chaque mode n > 0, une pulsation minimale de propagation appelée pulsation de coupure :

Pour \omega > \omega_{c,n}, le nombre d'onde s'écrit :

La vitesse de phase v_\varphi = \frac{\omega}{k} vaut alors :

Pour déterminer la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}, on différentie la relation de dispersion \omega^2 = c^2 k^2 + \omega_{c,n}^2 :

On en déduit l'expression de la vitesse de groupe :

D'après la question Q22, un mode propre n se propage si et seulement si sa pulsation vérifie \omega > \omega_{c,n} = \frac{n\pi c}{a}.

• Pour le mode fondamental n = 0, la pulsation de coupure est \omega_{c,0} = 0 : il se propage donc à n'importe quelle fréquence.

• Les modes d'ordre supérieur (n \ge 1) ont pour pulsation de coupure croissante :

  \omega_{c,1} = \frac{\pi c}{a} < \omega_{c,2} < \dots

Le mode fondamental n = 0 se propage donc seul (régime monomode) si et seulement si la pulsation de l'onde est strictement inférieure à la pulsation de coupure du mode n=1 :

En introduisant la longueur d'onde \lambda de l'onde libre dans l'air, définie par \lambda = \frac{c}{f}, cette condition devient :

Application numérique : L'émetteur acoustique fonctionne à la fréquence f = 40\text{ kHz} et la célérité du son calculée à la question Q18 vaut c \simeq 3{,}4 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. La longueur d'onde libre associée est :

La condition pour obtenir une propagation monomode s'écrit alors :

Avec un seul chiffre significatif comme imposé par l'énoncé :

D'après les résultats de la question Q22 appliqués à la géométrie cylindrique, un mode propre caractérisé par le couple (n,m) se propage sans atténuation si sa pulsation \omega = 2\pi f est supérieure à sa pulsation de coupure \omega_{c,nm} :

ce qui se réécrit comme une condition sur le paramètre sans dimension \mu_{nm} :

où \lambda = \frac{c}{f} \simeq 8{,}5\text{ mm} est la longueur d'onde de l'onde libre dans l'air à 20^\circ\text{C} (obtenue à la question Q23 avec c \simeq 3{,}4 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} d'après la question Q18).

Calculons la valeur seuil correspondante :

Un mode propre peut donc se propager si et seulement si \mu_{nm} \le 4{,}1.

En observant le tableau fourni par l'énoncé :

• Pour n = 0 : \mu_{01} = 0 \le 4{,}1 et \mu_{02} = 3{,}8 \le 4{,}1 (alors que \mu_{03} = 7{,}0 > 4{,}1) ;
• Pour n = 1 : \mu_{11} = 1{,}8 \le 4{,}1 (alors que \mu_{12} = 5{,}3 > 4{,}1) ;
• Pour n = 2 : \mu_{21} = 3{,}1 \le 4{,}1 (alors que \mu_{22} = 6{,}7 > 4{,}1) ;
• Pour n \ge 3 : la plus petite valeur est \mu_{31} = 4{,}2 > 4{,}1.

Les seuls modes propres pouvant se propager dans le tuyau sont donc :

Un paquet d'ondes associé au mode propre (n,m) se propage à la vitesse de groupe v_{g,nm} établie à la question 22 :

où \mu_{\max} = \frac{\omega a}{c} = \frac{\pi (2a)}{\lambda} \simeq 4{,}1 d'après la question 24.

Le temps de propagation nécessaire à ce paquet d'ondes pour parcourir un tuyau de longueur L est :

Calculons les vitesses de groupe pour les quatre modes propagatifs identifiés à la question 24 :

• Mode (0,1) : \mu_{01} = 0 \implies v_{g,01} = c ;
• Mode (1,1) : \mu_{11} = 1{,}8 \implies v_{g,11} = c\sqrt{1 - (1{,}8/4{,}1)^2} \simeq 0{,}90\,c ;
• Mode (2,1) : \mu_{21} = 3{,}1 \implies v_{g,21} = c\sqrt{1 - (3{,}1/4{,}1)^2} \simeq 0{,}65\,c ;
• Mode (0,2) : \mu_{02} = 3{,}8 \implies v_{g,02} = c\sqrt{1 - (3{,}8/4{,}1)^2} \simeq 0{,}37\,c.

Pour que deux paquets d'ondes consécutifs soient résolus en sortie sans chevauchement temporel, le retard entre leurs instants d'arrivée doit être supérieur ou égal à la durée d'une salve :

La condition la plus restrictive pour résoudre l'ensemble des modes correspond à la plus faible différence d'inverse de vitesse de groupe, c'est-à-dire entre les modes (0,1) et (1,1) :

alors que pour les paires suivantes, l'écart est nettement plus grand (\simeq 0{,}43/c puis \simeq 1{,}16/c).

La longueur minimale de tuyau nécessaire pour résoudre tous les modes est donc donnée par :

Avec \lambda \simeq 8{,}5\text{ mm} (d'après la question 23), on obtient numériquement :

Avec un chiffre significatif :

L'amplificateur linéaire intégré (ALI) comporte une boucle de rétroaction reliant la sortie à son entrée inverseuse (borne -), ce qui garantit son fonctionnement en régime linéaire.

L'ALI étant supposé idéal, on a :

• les courants d'entrée sont nuls : i^+ = i^- = 0 ;
• la tension différentielle d'entrée est nulle : \varepsilon = V^+ - V^- = 0, soit V^- = V^+.

L'entrée non inverseuse étant directement reliée à la masse, on a V^+ = 0\text{ V}, d'où :

Appliquons le théorème de Millman (ou la loi des nœuds en termes de potentiels) à l'entrée inverseuse V^- :

En tenant compte de V^- = 0\text{ V} :

On en déduit l'expression de la tension de sortie s_1 :

Le montage constitue ainsi un sommateur inverseur.

Pour obtenir la tension s = -s_1, on place en cascade un étage amplificateur inverseur de gain -1, réalisé à l'aide d'un second ALI idéal en régime linéaire bouclé sur son entrée inverseuse par une résistance R_0, avec une résistance d'entrée de même valeur R_0 :

En effet, pour cet inverseur, la masse virtuelle impose V^- = 0, et la conservation du courant au nœud inverseur donne \frac{s_1}{R_0} + \frac{s}{R_0} = 0, soit s = -s_1.

D'après la question Q26, avec R = R_1 = R_2 = 47\text{ k}\Omega, le montage est un sommateur non inverseur de gain unité :

Caractérisons chacun des deux signaux d'entrée :

• Signal sinusoïdal e_1(t) :

  T_1 = \frac{1}{f_1} = \frac{1}{40 \times 10^3\text{ Hz}} = 25\text{ }\mu\text{s} = 0{,}25 \times 10^{-4}\text{ s}

  Son amplitude crête à crête étant de 8\text{ V}, son amplitude est E_{1} = 4\text{ V}, d'où e_1(t) \in [-4\text{ V}, +4\text{ V}].

• Signal créneau e_2(t) :

  T_2 = \frac{1}{f_2} = \frac{1}{5{,}0 \times 10^3\text{ Hz}} = 200\text{ }\mu\text{s} = 2 \times 10^{-4}\text{ s}

  Son amplitude crête à crête étant de 12\text{ V}, le signal créneau symétrique oscille entre E_{2} = +6\text{ V} et -E_{2} = -6\text{ V}.

La durée totale d'observation demandée \Delta t_{\text{obs}} = 4 \times 10^{-4}\text{ s} = 400\text{ }\mu\text{s} correspond exactement à :

Chaque demi-période de e_2(t) dure T_2 / 2 = 100\text{ }\mu\text{s}, ce qui correspond exactement à 4 périodes complètes du signal sinusoïdal e_1(t).

Vérification du régime linéaire : La tension maximale susceptible d'être atteinte est :

Les amplificateurs opérationnels ne saturent à aucun moment ; ils fonctionnent en régime linéaire.

Points remarquables de s(t) :

• Pour t \in [0\,;\,100\text{ }\mu\text{s}[ et t \in [200\,;\,300\text{ }\mu\text{s}[ (e_2(t) = +6\text{ V}) :

  • Valeur moyenne : \langle s(t) \rangle = +6\text{ V} ;
  • Valeur maximale : s_{\max} = +6 + 4 = \mathbf{+10\text{ V}} ;
  • Valeur minimale : s_{\min} = +6 - 4 = \mathbf{+2\text{ V}}.

• Pour t \in [100\,;\,200\text{ }\mu\text{s}[ et t \in [300\,;\,400\text{ }\mu\text{s}[ (e_2(t) = -6\text{ V}) :

  • Valeur moyenne : \langle s(t) \rangle = -6\text{ V} ;
  • Valeur maximale : s_{\max} = -6 + 4 = \mathbf{-2\text{ V}} ;
  • Valeur minimale : s_{\min} = -6 - 4 = \mathbf{-10\text{ V}}.
• Des sauts de tension de discontinuité de \pm 12\text{ V} ont lieu à t = 100\text{ }\mu\text{s}, 200\text{ }\mu\text{s}, 300\text{ }\mu\text{s} et 400\text{ }\mu\text{s}.

1. Modification des tensions de saturation

Avec une alimentation comprise entre 0\text{ V} et 15\text{ V}, les tensions de saturation d'un ALI idéal deviennent :

La tension de sortie s(t) est donc désormais bornée inférieurement par 0\text{ V} et supérieurement par 15\text{ V}.

2. Allure de la tension s(t)

D'après l'étude menée à la question précédente :

• Sur les demi-périodes où e_2(t) = +6\text{ V} (par exemple t \in [0 \,;\, 100\,\mu\text{s}] et [200 \,;\, 300\,\mu\text{s}]) :

  s(t) = 6 + 4\sin(2\pi f_1 t) \in [2\text{ V} \,;\, 10\text{ V}]

  Ces valeurs sont strictement comprises dans l'intervalle [0\text{ V} \,;\, 15\text{ V}] : l'ALI fonctionne en régime linéaire et le signal sinusoïdal n'est pas écrêté. Durant cette phase de durée T_2/2 = 100\,\mu\text{s}, il y a exactement :

  N = \frac{T_2/2}{T_1} = \frac{100\,\mu\text{s}}{25\,\mu\text{s}} = 4 \text{ périodes d'oscillation}

• Sur les demi-périodes où e_2(t) = -6\text{ V} (par exemple t \in [100 \,;\, 200\,\mu\text{s}] et [300 \,;\, 400\,\mu\text{s}]) :

  e_1(t) + e_2(t) \in [-10\text{ V} \,;\, -2\text{ V}] < 0\text{ V}

  La tension de sortie ne pouvant pas être négative, l'ALI sature à sa tension minimale :

  s(t) = V_{\text{sat}}^{-} = 0\text{ V}

Sur l'intervalle d'observation de durée 4 \times 10^{-4}\text{ s} = 2 T_2, l'allure de s(t) est donc modifiée par un écrêtage complet de la partie négative : le signal est constitué d'une succession de salves de 4 périodes sinusoïdales (oscillant entre 2\text{ V} et 10\text{ V}) alternant avec des paliers nuls de même durée (100\,\mu\text{s}).

3. Évaluation de l'objectif d'un générateur de salves

• Aspects positifs : le dispositif génère bien périodiquement des trains d'ondes d'une durée calibrée de 4 périodes à 40\text{ kHz} séparés par des extinctions complètes (s = 0\text{ V}), ce qui répond au besoin énoncé à la question Q25 pour exciter l'émetteur acoustique.

• Limites du montage :

  1. Les oscillations ne sont pas centrées autour de zéro mais présentent une valeur moyenne non nulle (+6\text{ V}) lors de la salve. Pour alimenter proprement un transducteur piézoélectrique sans le polariser en continu, il serait nécessaire d'ajouter un condensateur de liaison (filtre passe-haut).
  2. Un ALI réel n'étant pas toujours rail-to-rail, la saturation basse réelle ne descend pas exactement à 0\text{ V} sans alimentation négative.

1. Cause de la déformation du signal

La vitesse de balayage (slew rate) limite la vitesse de variation de la tension de sortie de l'ALI à :

Le signal s(t) présente deux causes de dépassement de cette limite :

• La composante sinusoïdale : pendant la salve, s(t) oscille à la fréquence f_1 = 40\text{ kHz} avec une amplitude E_{1} = 4\text{ V} (puisque l'amplitude crête à crête vaut 8\text{ V}). La vitesse maximale d'évolution associée est :

  \left| \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} \right|_{\max,\text{sin}} = 2\pi f_1 E_1

  Numériquement :

  \left| \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} \right|_{\max,\text{sin}} = 2\pi \times 40 \times 10^3 \times 4 \simeq 1{,}0 \times 10^6\text{ V}\cdot\text{s}^{-1} = 1{,}0\text{ V}\cdot\mu\text{s}^{-1}

  Comme \left| \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} \right|_{\max,\text{sin}} > \sigma, l'ALI ne peut pas suivre les variations de la sinusoïde : celle-ci est déformée et tend vers un profil triangulaire.

• Les fronts du créneau : le passage entre l'état bloqué (0\text{ V}) et l'état passant exige une discontinuité théorique de tension d'au moins \Delta V \approx 6\text{ V} à 12\text{ V}. L'ALI convertit ces sauts instantanés en rampes de pente \pm \sigma. La durée de montée associée est de l'ordre de :

  \Delta t \approx \frac{\Delta V}{\sigma} \approx \frac{6\text{ V}}{0{,}5\text{ V}\cdot\mu\text{s}^{-1}} \approx 12\,\mu\text{s}

  Cette durée est très importante devant la demi-période acoustique T_1/2 = 12{,}5\,\mu\text{s} : le premier front de la salve est donc tronqué et fortement altéré.

2. Minimisation du défaut sans changer de composant

La fréquence f_1 = 40\text{ kHz} étant imposée par l'émetteur acoustique et le composant restant le LM741, la seule façon de satisfaire la condition \left| \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} \right| \le \sigma est de diminuer l'amplitude de l'oscillation en sortie :

soit une tension crête à crête maximale de 4\text{ V} (au lieu de 8\text{ V}).

Pour y parvenir sans changer de composant actif, on peut :

• Réduire l'amplitude des tensions d'entrée e_1(t) et e_2(t) délivrées par les générateurs basse fréquence ;
• Ou réduire le gain du sommateur en diminuant la résistance de contre-réaction R (ou en augmentant R_1 et R_2).

L'expression proposée, \vec{F} = -3\pi d_p \eta_f (\vec{v}_p - \vec{v}_f) = -6\pi \eta_f R_p (\vec{v}_p - \vec{v}_f) où R_p = d_p/2, est la formule de Stokes pour la force de traînée fluide exercée sur une particule sphérique.

Cette formule est valide lorsque le régime d'écoulement autour de la particule est rampant (les effets inertiels sont négligeables devant les effets visqueux), ce qui se traduit par un nombre de Reynolds particulaire très inférieur à 1 :

La vitesse relative |v_p - v_f| est au plus de l'ordre de la vitesse acoustique v_m. D'après la question Q19, pour un niveau sonore déjà très élevé de 120\text{ dB}, on a v_m \simeq 7 \times 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

En prenant cette valeur majorante :

Comme avec 1 chiffre significatif :

Le nombre de Reynolds est très largement inférieur à 1 : l'écoulement autour de la particule est bien un écoulement rampant (de Stokes), ce qui justifie rigoureusement l'expression de la force de frottement visqueux linéaire.

La particule P est une sphère de diamètre d_p, de volume V_p = \frac{\pi d_p^3}{6} et de masse :

Dans le référentiel \mathscr{R} du laboratoire supposé galiléen, le principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule soumise à la seule force de traînée s'écrit :

soit sous forme canonique :

en introduisant le temps de relaxation de la particule :

En régime sinusoïdal forcé à la fréquence f (pulsation \omega = 2\pi f), en notations complexes associées aux grandeurs réelles avec la convention e^{i\omega t} :

On en déduit l'expression du rapport des vitesses :

où la fréquence caractéristique f_0 est définie par :

Application numérique :

• \eta_f = 1{,}8 \times 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s}
• \mu_p = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• d_p = 1{,}0\ \mu\text{m} = 1{,}0 \times 10^{-6}\text{ m}

Avec un chiffre significatif :

1. Domaine fréquentiel d'utilisation

Pour que la particule joue fidèlement son rôle de traceur, sa vitesse doit être la plus proche possible de celle du fluide (v_p \simeq v_f). D'après la relation établie à la question précédente :

Le comportement correspond à un filtre passe-bas du premier ordre de fréquence de coupure mécanique f_0. Il faut donc travailler dans la bande passante, c'est-à-dire :

2. Erreur relative à la fréquence de l'émetteur

Le rapport des amplitudes réelles des vitesses s'écrit :

L'erreur relative commise sur l'amplitude de la vitesse du fluide mesurée à l'aide de la particule est définie par :

À la fréquence de l'émetteur f = 40\text{ kHz}, avec f_0 \simeq 5 \times 10^4\text{ Hz} :

En conservant un seul chiffre significatif :

3. Fréquence maximale pour une erreur inférieure à 1 %

On cherche la condition \varepsilon \le 10^{-2}. Comme cette erreur est très faible, on a f \ll f_0, ce qui permet un développement limité au premier ordre non nul :

La condition \varepsilon \le 10^{-2} conduit donc à :

Avec f_0 \simeq 5 \times 10^4\text{ Hz} et \sqrt{2} \simeq 1{,}4 :

4. Bilan et intérêt des particules

• Infrasons (f < 20\text{ Hz}) : on a f \lll f_{\max}, les particules suivent parfaitement l'écoulement sans déphasage ni atténuation mesurable.
• Sons audibles (20\text{ Hz} \le f \le 20\text{ kHz}) : pour les sons graves et médiums (f \le 7\text{ kHz}), l'erreur relative reste inférieure à 1\,\%. Pour les aigus (7\text{ kHz} < f < 20\text{ kHz}), l'erreur reste modérée (au maximum environ 7\,\% à 20\text{ kHz}). Ces particules constituent donc d'excellents traceurs acoustiques sur la quasi-totalité du spectre audible.
• Ultrasons (f > 20\text{ kHz}) : à f = 40\text{ kHz}, l'erreur dépasse déjà 20\,\%, et elle devient critique plus haut en fréquence en raison de l'inertie de la particule qui atténue fortement son mouvement (v_p \ll v_f). Ces particules sont donc inadaptées à l'étude des ultrasons, sauf si l'on réduit considérablement leur diamètre d_p afin d'augmenter f_0 \propto 1/d_p^2.