Feuille d'entraînement : Dynamique des fluides parfaits

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2022, Q10

   L'air est modélisé par un mélange de gaz parfaits diatomiques constitué d'environ 80\,\% de diazote \mathrm{N}_2 et 20\,\% de dioxygène \mathrm{O}_2 en fractions molaires. Sa masse molaire moyenne s'écrit :

   \begin{aligned} M_{\mathrm{air}} &= 0{,}80 \times 2 M_{\mathrm{N}} + 0{,}20 \times 2 M_{\mathrm{O}} \\ &= 0{,}80 \times 28{,}0 + 0{,}20 \times 32{,}0 = 28{,}8\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 28{,}8 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}. \end{aligned}

   D'après l'équation d'état des gaz parfaits appliquée à une masse m d'air occupant un volume V sous la pression atmosphérique P_0 et à la température T_{\mathrm{max}} :

   P_0 V = n R T_{\mathrm{max}} = \frac{m}{M_{\mathrm{air}}} R T_{\mathrm{max}}

   On en déduit l'expression de la masse volumique de l'air :

   \boxed{\rho_{\mathrm{air}} = \frac{P_0 M_{\mathrm{air}}}{R T_{\mathrm{max}}}}

   Avec P_0 = 1{,}013 \times 10^5\text{ Pa}, R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} et T_{\mathrm{max}} = 35\,^\circ\text{C} = 308{,}15\text{ K} :

   \rho_{\mathrm{air}} = \frac{1{,}013 \times 10^5 \times 28{,}8 \times 10^{-3}}{8{,}314 \times 308{,}15} \simeq 1{,}14\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}.

   Le débit massique D_{\mathrm{m}} traversant le ventilateur est relié au débit volumique D_{\mathrm{v}} par :

   \boxed{D_{\mathrm{m}} = \rho_{\mathrm{air}} D_{\mathrm{v}}}

   Avec D_{\mathrm{v}} = 830\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1} = \frac{830}{3600}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} \simeq 0{,}231\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} :

   D_{\mathrm{m}} = 1{,}14 \times \frac{830}{3600} \simeq 0{,}26\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}.

   Résultat

   $${\rho }_{\mathrm{air}}=\frac{P_0{M}_{\mathrm{air}}}{R{T}_{\max }}$$

   $$D_{\mathrm{m}}={\rho }_{\mathrm{air}}{D}_{\mathrm{v}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question