Feuille d'entraînement : Dynamique des fluides parfaits

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q14

   La relation de Bernoulli s'applique sous les hypothèses suivantes :

   • fluide parfait (viscosité négligeable, absence de frottements visqueux) ;
   • fluide incompressible et homogène (\rho = \text{cte}) ;
   • écoulement stationnaire (ou permanent) ;
   • écoulement dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, en l'absence de machine (pas de pompe ni de turbine sur la portion considérée, aucun échange de travail utile) ;
   • le long d'une même ligne de courant (valable dans tout le fluide si l'écoulement est irrotationnel).

   Sous ces conditions, la quantité suivante est conservée le long d'une ligne de courant :

   \boxed{P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{cte}}

   où :

   • P est la pression statique du fluide au point considéré (en \text{Pa}) ;
   • \rho est la masse volumique du fluide (en \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}) ;
   • v est la vitesse de la particule de fluide (en \text{m}\cdot\text{s}^{-1}) ;
   • z est l'altitude du point considéré selon un axe vertical orienté vers le haut (en \text{m}) ;
   • g est l'accélération de la pesanteur (en \text{m}\cdot\text{s}^{-2} ou \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}).

   Résultat

   $$P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gz=\text{cte}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2024, Q1

   Soit un axe vertical ascendant (Oz) dont l'origine correspond au fond de l'aquarium, où se situe la vanne d'évacuation. On note h(t) la hauteur d'eau dans l'aquarium à l'instant t. À t = 0, h(0) = a = 1,0\text{ m}.

   La section horizontale de l'aquarium est S = a^2 = 1,0\text{ m}^2, et la section de l'orifice est s = 10\text{ cm}^2 = 1,0 \times 10^{-3}\text{ m}^2. On a s \ll S, ce qui justifie l'approximation du régime quasi-stationnaire : la vitesse de la surface libre v_{\text{surf}} est négligeable devant la vitesse d'évacuation v_s.

   En appliquant la relation de Bernoulli le long d'une ligne de courant entre un point de la surface libre (à la pression atmosphérique P_0) et un point situé juste à la sortie de la vanne (également à la pression P_0) :

   P_0 + \rho g h(t) + \frac{1}{2}\rho v_{\text{surf}}^2 = P_0 + 0 + \frac{1}{2}\rho v_s(t)^2

   En négligeant v_{\text{surf}}^2, on obtient la formule de Torricelli :

   v_s(t) = \sqrt{2gh(t)}

   Par conservation du débit volumique pour un fluide incompressible :

   D_v(t) = s v_s(t) = -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = -a^2 \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}

   Il vient l'équation différentielle à variables séparables :

   \frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}} = -\frac{s}{a^2}\sqrt{2g}\,\mathrm{d}t

   En intégrant entre t = 0 (h = a) et t = \tau (h = 0) :

   \begin{aligned} \int_a^0 \frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}} &= -\frac{s\sqrt{2g}}{a^2} \int_0^\tau \mathrm{d}t \\ \left[ 2\sqrt{h} \right]_a^0 &= -\frac{s\sqrt{2g}}{a^2} \tau \\ -2\sqrt{a} &= -\frac{s\sqrt{2g}}{a^2} \tau \end{aligned}

   On en déduit l'expression de la durée de vidange totale \tau :

   \boxed{\tau = \frac{a^2}{s}\sqrt{\frac{2a}{g}}}

   Application numérique :

   • a = 1,0\text{ m}
   • s = 1,0 \times 10^{-3}\text{ m}^2
   • g = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

   \tau = \frac{1,0^2}{1,0 \times 10^{-3}} \sqrt{\frac{2 \times 1,0}{9,8}} \approx 1000 \times 0,452 \approx 4,5 \times 10^2\text{ s} \approx 7,5\text{ min}

   Résultat

   $$\tau =\frac{a^2}{s}\sqrt{\frac{2a}{g}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2024, Q9

   La relation de Bernoulli (sous sa forme usuelle, sans échange de travail avec une machine ni dissipation) s'applique sous les hypothèses suivantes :

   • Écoulement stationnaire (ou permanent) : les grandeurs eulériennes ne dépendent pas explicitement du temps ;
   • Fluide incompressible et homogène : la masse volumique \rho est constante dans tout l'écoulement ;
   • Fluide parfait : les effets visqueux sont négligés (pas de dissipation d'énergie mécanique en chaleur par frottement interne) ;
   • Forces volumiques conservatives : dans un référentiel galiléen, la seule force de volume est la pesanteur uniforme (\vec{g} = -g\,\vec{u}_z) ;
   • Le long d'une même ligne de courant (la constante de Bernoulli est identique sur tout le domaine si l'écoulement est de surcroît irrotationnel) ;
   • Absence de machine hydraulique (pompe ou turbine) sur le tronçon considéré.

   Dans ces conditions, la charge se conserve :

   \boxed{P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{cte le long d'une ligne de courant}}

   Résultat

   $$P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gz=\text{cte le long d’une ligne de courant}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie TSI 2020, Q46

   1. Conditions générales d'application du théorème de Bernoulli

   La relation de Bernoulli sous la forme indiquée s'applique pour :

   • un écoulement en régime stationnaire (ou permanent) ;
   • un fluide parfait (viscosité négligeable, c'est-à-dire sans frottements visqueux, ce qui est le cas hors de la couche limite) ;
   • un fluide incompressible et homogène (\rho_f = \text{constante}) ;
   • des forces de volume dérivant d'un potentiel (ici, pesanteur uniforme) ;
   • le long d'une même ligne de courant (ou dans tout le volume fluide si l'écoulement est irrotationnel).

   2. Expression entre l'entrée et la sortie du réseau

   En notant l'indice 1 pour l'entrée et l'indice 2 pour la sortie :

   \frac{V_1^2}{2} + \frac{P_1}{\rho_f} + g z_1 = \frac{V_2^2}{2} + \frac{P_2}{\rho_f} + g z_2

   3. Simplification de l'expression

   • Le réseau de tuyauteries est posé horizontalement sur un « sol plat, ferme et nivelé », donc les altitudes d'entrée et de sortie sont identiques :

     z_1 = z_2

   • Le fluide est incompressible et le diamètre du tube est constant d'un bout à l'autre de la conduite (d_1 = d_2 = d = 60\text{ mm}, soit une section droite constante S_1 = S_2 = S). Par conservation du débit volumique D_v = S_1 V_1 = S_2 V_2 :

     V_1 = V_2

   En simplifiant les termes cinétiques et de pesanteur dans le théorème de Bernoulli, il vient directement :

   \frac{P_1}{\rho_f} = \frac{P_2}{\rho_f}

   soit :

   \boxed{P_1 = P_2}

   Résultat

   $$P_1=P_2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q17

   Dans le cadre des hypothèses précédentes, le fluide est parfait, incompressible et en écoulement stationnaire. On applique le théorème de Bernoulli entre les points D (sortie de pompe) et F (sommet de la colonne montante) situés sur une même ligne de courant :

   P_D + \frac{1}{2}\rho v_D^2 + \rho g z_D = P_F + \frac{1}{2}\rho v_F^2 + \rho g z_F

   D'après la question Q15, la section utile du tuyau étant constante de D à F (S = 5{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m}^2), la conservation du débit volumique impose v_D = v_F. Le terme d'énergie cinétique se simplifie donc :

   P_F = P_D - \rho g (z_F - z_D)

   D'après le schéma de la figure 3, le tronçon DE est horizontal (z_E = z_D) et le tronçon vertical EF a pour hauteur L_2 = 25\text{ m}, d'où :

   z_F - z_D = L_2 = 25\text{ m}

   L'expression littérale de la pression P_F est donc :

   P_F = P_D - \rho g L_2

   Application numérique :

   • P_D = 5{,}5\text{ bar} = 5{,}5\cdot 10^5\text{ Pa}
   • \rho = 1{,}0\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
   • g = 10\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}
   • L_2 = 25\text{ m}

   \begin{aligned} P_F &= 5{,}5\cdot 10^5 - 1{,}0\cdot 10^3 \times 10 \times 25 \\ &= 5{,}5\cdot 10^5 - 2{,}5\cdot 10^5 = 3{,}0\cdot 10^5\text{ Pa} \end{aligned}

   \boxed{P_F = 3{,}0\text{ bar}}

   Résultat

   $$P_F=3,0\text{ bar}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q20

   Considérons l'écoulement permanent d'eau (fluide incompressible de masse volumique \rho) entre un point de la surface libre du bassin (noté \text{SL}) et le point de refoulement G.

   Le théorème de Bernoulli généralisé avec apport de travail utile et pertes de charge s'écrit sous forme de bilan de puissance :

   P_u = D_V \left[ \left( P_G - P_{\text{SL}} \right) + \frac{1}{2}\rho \left( v_G^2 - v_{\text{SL}}^2 \right) + \rho g (z_G - z_{\text{SL}}) \right] + D_V \Delta P_{\text{pertes}}

   Précisons les conditions en chacun des deux points :

   • À la surface libre (SL) :

     • Le bassin étant ouvert à l'air libre, la pression est atmosphérique : P_{\text{SL}} = P_{\text{atm}}.
     • Les dimensions du bassin étant très grandes devant la section du tuyau, la vitesse y est négligeable : v_{\text{SL}} \approx 0.

   • Au point de refoulement (G) :

     • Le jet débouche à l'air libre, donc la pression vaut également la pression atmosphérique : P_G = P_{\text{atm}}, d'où P_G - P_{\text{SL}} = 0.
     • La vitesse du fluide est la vitesse d'éjection calculée à la question précédente : v_G = \dfrac{D_V}{S}.

   • Dénivelé : D'après la figure 3, la pompe et le tronçon horizontal DE sont situés à la profondeur p sous la surface libre (z_E = z_{\text{SL}} - p), et le tronçon vertical a pour hauteur L_2 (z_G = z_E + L_2). On en déduit :

     z_G - z_{\text{SL}} = L_2 - p

   En injectant ces résultats dans le bilan de puissance, on obtient :

   \boxed{P_u = D_V \left[ \frac{1}{2}\rho v_G^2 + \rho g (L_2 - p) + \Delta P_{\text{pertes}} \right]}

   Résultat

   $$P_u=D_V\left[\frac{1}{2}\rho v_G^2+\rho g(L_2-p)+\Delta P_{\text{pertes}}\right]$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2024, Q2

   Si la pompe était située au point E d'altitude z_E = 25\text{ m}, l'ensemble de la colonne d'eau devrait être mis en mouvement par aspiration depuis la mer (z_O = 0) voire depuis le point de captage A (z_A = -50\text{ m}).

   Pour qu'un liquide monte par aspiration, la pompe doit créer une dépression en amont. La pression minimale absolue ne pouvant être inférieure à la pression de vapeur saturante de l'eau (et strictement supérieure à 0\text{ Pa}), la hauteur maximale théorique d'aspiration h_{\max} sous la pression atmosphérique P_0 est donnée par la statique des fluides :

   h_{\max} = \frac{P_0}{\rho g}

   Avec P_0 = 1,0 \times 10^5\text{ Pa}, \rho = 1,0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et g = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

   h_{\max} = \frac{1,0 \times 10^5}{1,0 \times 10^3 \times 9,8} \approx 10,2\text{ m}

   Or, le dénivelé minimal à franchir en aspiration entre la surface libre de la mer et le point E vaut :

   \Delta z = z_E - z_O = 25\text{ m} > h_{\max} \approx 10\text{ m}

   (et atteint \Delta z_{AE} = z_E - z_A = 75\text{ m} depuis le point de captage).

   La pression chuterait en dessous de la pression de vapeur saturante bien avant d'atteindre le point E, ce qui provoquerait la cavitation (formation de poches de vapeur) et le désamorçage immédiat de la pompe.

   \boxed{\text{Il n'aurait pas été possible de positionner la pompe en } E.}

   Résultat

   $$\text{Il n’aurait pas eˊteˊ possible de positionner la pompe en }E.$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q67

   Pour qu'Ingenuity effectue un vol stationnaire, la force de poussée verticale \vec{F} compense exactement son poids \vec{P}_{\text{poids}} :

   F = P_{\text{poids}} = m \, g_{\text{Mars}}

   D'après le document 8 et les données :

   • m = 1{,}8\text{ kg} ;
   • g_{\text{Mars}} = 3{,}7\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
   • F = 1{,}8 \times 3{,}7 \approx 6{,}7\text{ N} ;
   • \rho = \frac{\rho_{\text{Terre}}}{100} = \frac{1{,}29}{100} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;

   • Le rayon des pales est R = 60\text{ cm} = 0{,}60\text{ m}, d'où la surface balayée :

     S = \pi R^2 \approx 3{,}14 \times 0{,}60^2 \approx 1{,}13\text{ m}^2

   D'après la formule de Rankine-Froude donnée par l'énoncé, la puissance induite minimale nécessaire s'écrit :

   P = \sqrt{\frac{F^3}{2\rho S}} = \sqrt{\frac{(m \, g_{\text{Mars}})^3}{2\rho S}}

   En effectuant le calcul numérique :

   \begin{aligned} F^3 &\approx 6{,}66^3 \approx 295\text{ N}^3 \approx 3{,}0 \cdot 10^2\text{ N}^3 \\ 2\rho S &\approx 2 \times 1{,}29 \cdot 10^{-2} \times 1{,}13 \approx 2{,}9 \cdot 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-1} \\ \frac{F^3}{2\rho S} &\approx \frac{295}{2{,}9 \cdot 10^{-2}} \approx 1{,}0 \cdot 10^4\text{ W}^2 \end{aligned}

   On en déduit :

   \boxed{P \approx 100\text{ W} \sim 10^2\text{ W}}

   Résultat

   $$P\approx 100\text{ W}\sim 10^2\text{ W}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2023, Q1

   D'après le théorème de Bernoulli, pour l'écoulement permanent (régime stationnaire), incompressible et homogène (de masse volumique \rho) d'un fluide parfait soumis au seul champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{e}_z (l'axe vertical (Oz) étant orienté vers le haut), la charge volumique se conserve le long d'une ligne de courant.

   Cette constante du mouvement \mathcal{C}, homogène à une pression, s'exprime sous la forme :

   \boxed{\mathcal{C} = P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z}

   où :

   • P est la pression statique locale ;
   • \frac{1}{2}\rho v^2 est la pression dynamique ;
   • \rho g z est le terme de pesanteur lié à l'altitude z.

   Résultat

   $$\mathcal{C}=P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gz$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2023, Q2

    Oui, la grandeur \mathcal{C} = P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z n'est pas conservée dans plusieurs situations :

    1. Présence d'une machine hydraulique (pompe ou turbine) : Sur le schéma de puisage (figure 1), le fluide traverse une pompe. Celle-ci fournit un travail mécanique au fluide (w_i > 0) pour lui permettre de vaincre la pesanteur sur la hauteur h et d'augmenter sa pression de P_E = P_0 à P_S > P_0. Lors de la traversée de la pompe, la charge volumique augmente :

       \Delta \mathcal{C} = \mathcal{C}_S - \mathcal{C}_E = \rho\, w_i > 0
    2. Écoulement d'un fluide réel (visqueux) : Si le fluide n'est plus supposé parfait, les frottements visqueux dissipent de l'énergie mécanique sous forme thermique (pertes de charge régulières le long de la conduite de longueur h et pertes de charge singulières au niveau des coudes et raccords), ce qui entraîne une diminution de \mathcal{C} dans le sens de l'écoulement.
    3. Régime non stationnaire : Si l'écoulement dépend explicitement du temps, l'intégration de l'équation d'Euler fait apparaître un terme supplémentaire \int \rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}, brisant l'invariance temporelle de \mathcal{C}.

    Sur l'installation proposée, c'est principalement la présence de la pompe (échange de travail) et, secondairement, les pertes de charge visqueuses dans la conduite qui empêchent la conservation globale de \mathcal{C} entre le point de captage E et la sortie S.

    Indice, stratégie et pièges de cette question