Feuille d'entraînement : Dynamique des fluides parfaits

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2025, Q7

   Déterminons la dimension de chacune des grandeurs intervenant dans l'expression (3) :

   • La vitesse du front u a pour dimension celle d'une vitesse :

     [u] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1}
   • La constante F est sans dimension par hypothèse : [F] = 1.

   • La gravité effective g' est homogène à l'accélération de la pesanteur g (puisque (\rho_{\mathrm{c}}-\rho_0)/\rho_0 est un rapport de masses volumiques, donc sans dimension) :

     [g'] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}

   • La hauteur h du nuage est une longueur :

     [h] = \mathrm{L}

   En appliquant le principe d'homogénéité à la relation u = F \, (g')^{\alpha} \, h^{\beta}, on obtient :

   [u] = [g']^{\alpha} \, [h]^{\beta} \iff \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1} = \left(\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}\right)^{\alpha} \mathrm{L}^{\beta} = \mathrm{L}^{\alpha + \beta} \, \mathrm{T}^{-2\alpha}

   Par identification des exposants de chaque grandeur fondamentale :

   \begin{aligned} \text{Sur le temps }\mathrm{T} : & \quad -2\alpha = -1 \implies \alpha = \frac{1}{2} \\ \text{Sur la longueur }\mathrm{L} : & \quad \alpha + \beta = 1 \implies \beta = 1 - \alpha = \frac{1}{2} \end{aligned}

   On en déduit donc les valeurs des deux exposants :

   \boxed{\alpha = \frac{1}{2}} \quad \text{et} \quad \boxed{\beta = \frac{1}{2}}

   Résultat

   $$\alpha =\frac{1}{2}$$

   $$\beta =\frac{1}{2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique BCPST 2025, Q8

   D'après le résultat de la question 7, la vitesse du front du nuage s'écrit :

   u = F \sqrt{g' h}

   En substituant l'expression de la gravité effective g' donnée par l'équation (2) :

   g' = g \, \frac{\Delta\rho}{\rho_0} \, \psi

   on obtient directement l'expression de la vitesse u du nuage :

   \boxed{u = F \sqrt{g \, \frac{\Delta\rho}{\rho_0} \, \psi \, h} = F \left( g \, \frac{\Delta\rho}{\rho_0} \, \psi \, h \right)^{1/2}}

   Résultat

   $$u=F\sqrt{g\frac{\Delta \rho }{{\rho }_0}\psi h}=F{\left(g\frac{\Delta \rho }{{\rho }_0}\psi h\right)}^{1/2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique BCPST 2025, Q9

   D'après l'expression établie à la question Q8, la vitesse du front s'écrit :

   u = F \sqrt{g \frac{\Delta\rho}{\rho_0} \psi h}

   avec \Delta\rho = \rho_{\mathrm{s}} - \rho_{\mathrm{g}} \simeq 900 - 0{,}64 \simeq 899{,}4\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}.

   Avec les valeurs numériques de l'énoncé :

   • F \simeq 1{,}2 ;
   • g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
   • \Delta\rho \simeq 900\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
   • \rho_0 = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
   • \psi = 1\% = 1{,}0 \times 10^{-2} ;
   • h = 200\text{ m}.

   Le terme sous la racine vaut :

   g' = g \frac{\Delta\rho}{\rho_0} \psi = 9{,}8 \times \frac{899{,}4}{1{,}2} \times 1{,}0 \times 10^{-2} \simeq 73{,}5\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

   d'où :

   \begin{aligned} u &= 1{,}2 \times \sqrt{73{,}5 \times 200} \\ &\simeq 1{,}2 \times 121 \\ &\simeq 1{,}5 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

   Soit, en kilomètres par heure :

   u \simeq 145 \times 3{,}6 \simeq 5{,}2 \times 10^2\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}

   \boxed{u \simeq 1{,}5 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \simeq 520\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}}

   Commentaire : La vitesse obtenue est considérable (de l'ordre de 500\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, supérieure à celle d'un TGV en service commercial). Une telle vitesse explique le caractère foudroyant et dévastateur des nuées ardentes : le front progresse beaucoup trop vite pour permettre une quelconque fuite ou évacuation des populations à son approche (ce qui corrobore le lourd bilan de la catastrophe de la Montagne Pelée rappelé dans l'introduction).

   Résultat

   $$u\simeq 1,5\times 10^2\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}\simeq 520\text{ km}\cdot {\text{h}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question