Feuille d'entraînement : Atomistique et classification périodique

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie MP 2022, Q31

   Le numéro atomique du fer est fourni dans les données du sujet : Z = 26.

   À l'état fondamental, les 26 électrons de l'atome de fer se répartissent sur les sous-couches atomiques selon la règle de Klechkowski, par ordre croissant de la valeur de n + \ell (puis de n à valeur de n + \ell identique) :

   1s \ \to \ 2s \ \to \ 2p \ \to \ 3s \ \to \ 3p \ \to \ 4s \ \to \ 3d

   En tenant compte du principe d'exclusion de Pauli limitant le nombre maximal d'électrons par sous-couche (2 pour s, 6 pour p, 10 pour d), on obtient :

   \boxed{1s^2 \, 2s^2 \, 2p^6 \, 3s^2 \, 3p^6 \, 3d^6 \, 4s^2}

   Ce que l'on peut également écrire sous forme condensée à l'aide du cœur de gaz noble de l'argon (Z = 18) :

   \boxed{[\mathrm{Ar}] \, 3d^6 \, 4s^2}

   Résultat

   $$1s^{2}2s^{2}2p^{6}3s^{2}3p^{6}3d^{6}4s^2$$

   $$[\mathrm{Ar}]3d^{6}4s^2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2020, Q2

   D'après le préambule, la probabilité pour qu'un noyau donné se désintègre entre les instants t et t+\mathrm{d}t vaut :

   \mathrm{d}p = \lambda\,\mathrm{d}t

   Les désintégrations des différents noyaux étant des processus mutuellement indépendants, le nombre moyen de noyaux qui disparaissent pendant la durée \mathrm{d}t au sein d'une population de N(t) noyaux est :

   \mathrm{d}N_{\text{dés}} = N(t)\,\mathrm{d}p = \lambda N(t)\,\mathrm{d}t

   Le nombre de noyaux présents à l'instant t + \mathrm{d}t est donc relié à N(t) par :

   \boxed{N(t + \mathrm{d}t) = N(t)\,(1 - \lambda\,\mathrm{d}t)}

   La variation élémentaire de la population s'écrit \mathrm{d}N = N(t+\mathrm{d}t) - N(t) = -\lambda N(t)\,\mathrm{d}t. Pour une population macroscopique (N \gg 1), on peut assimiler N(t) à une fonction continue et dérivable du temps :

   \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}(t) = \lim_{\mathrm{d}t \to 0} \frac{N(t + \mathrm{d}t) - N(t)}{\mathrm{d}t} = -\lambda N(t)

   On obtient bien l'équation différentielle régissant l'évolution de la population :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}(t) + \lambda N(t) = 0}

   Résultat

   $$N(t+\mathrm{d}t)=N(t)(1-\lambda \mathrm{d}t)$$

   $$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}(t)+\lambda N(t)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2020, Q3

   L'intégration de la loi de décroissance radioactive établie à la question Q2 donne :

   N(t) = N(0)\,\mathrm{e}^{-\lambda t}

   Par définition de la demi-vie (ou période radioactive) T_{1/2}, le nombre de noyaux restants à l'instant t = T_{1/2} est égal à la moitié du nombre initial de noyaux :

   N(T_{1/2}) = \frac{N(0)}{2}

   En substituant dans la loi horaire :

   \begin{aligned} N(0)\,\mathrm{e}^{-\lambda T_{1/2}} &= \frac{N(0)}{2} \\ \mathrm{e}^{-\lambda T_{1/2}} &= \frac{1}{2} \\ -\lambda T_{1/2} &= \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 \end{aligned}

   On obtient ainsi la relation entre \lambda et T_{1/2} :

   \boxed{T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \quad \Longleftrightarrow \quad \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}}

   Résultat

   $$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }⟺\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2020, Q3

   D'après les données fournies en fin d'énoncé, le numéro atomique de l'oxygène est Z = 8. L'atome d'oxygène neutre possède donc 8 électrons à répartir sur les sous-couches électroniques selon la règle de Klechkowski et le principe d'exclusion de Pauli :

   • la sous-couche 1s accueille au maximum 2 électrons ;
   • la sous-couche 2s accueille au maximum 2 électrons ;
   • la sous-couche 2p accueille les 4 électrons restants.

   La configuration électronique de l'oxygène dans son état fondamental s'écrit donc :

   \boxed{1s^2 \, 2s^2 \, 2p^4 \quad \text{ou} \quad [\mathrm{He}] \, 2s^2 \, 2p^4}

   Résultat

   $$1s^{2}2s^{2}2p^4\text{ou}[\mathrm{He}]2s^{2}2p^4$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5E3A Physique-Chimie MP 2020, Q29

   1. Configuration électronique de l'atome de titane dans son état fondamental :

      Le titane possède un numéro atomique Z = 22, soit 22 électrons à répartir. En appliquant la règle de Klechkowski (remplissage par valeurs croissantes de n+\ell, puis de n à n+\ell constant), l'ordre de remplissage des sous-couches est : 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d.

      La configuration électronique à l'état fondamental s'écrit donc :

      \boxed{1s^2\, 2s^2\, 2p^6\, 3s^2\, 3p^6\, 4s^2\, 3d^2 \quad\text{ou}\quad [\mathrm{Ar}]\, 4s^2\, 3d^2}

   2. Électrons de cœur et électrons de valence :

      • Électrons de cœur : ce sont les 18 électrons appartenant aux sous-couches internes entièrement remplies, correspondant au cœur de gaz rare de l'argon [\mathrm{Ar}] :

        \boxed{1s^2\, 2s^2\, 2p^6\, 3s^2\, 3p^6 \quad\text{(18 électrons)}}

      • Électrons de valence : ce sont les 4 électrons situés sur les sous-couches de nombre quantique principal maximal (4s) et sur la sous-couche en cours de remplissage (3d) :

        \boxed{4s^2\, 3d^2 \quad\text{(4 électrons)}}

   3. Ions susceptibles de se former :

      En cédant l'ensemble de ses 4 électrons de valence pour acquérir la configuration électronique particulièrement stable du gaz rare argon ([\mathrm{Ar}]), le titane forme préférentiellement l'ion titane(IV) :

      \boxed{\mathrm{Ti}^{4+}}

      Il peut également perdre partiellement ses électrons de valence (en perdant d'abord les deux électrons 4s), donnant naissance à l'ion titane(III) \boxed{\mathrm{Ti}^{3+}} (présent par exemple dans le trichlorure de titane \mathrm{TiCl}_3 étudié dans la suite) ou à l'ion titane(II) \mathrm{Ti}^{2+}.

   Résultat

   $$1s^{2}2s^{2}2p^{6}3s^{2}3p^{6}4s^{2}3d^2\text{ou}[\mathrm{Ar}]4s^{2}3d^2$$

   $$1s^{2}2s^{2}2p^{6}3s^{2}3p^6\text{(18 eˊlectrons)}$$

   $$4s^{2}3d^2\text{(4 eˊlectrons)}$$

   $${\mathrm{Ti}}^{4+}$$

   $${\mathrm{Ti}}^{3+}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique MP 2026, Q24

   Le noyau atomique est constitué de nucléons (protons et neutrons) dont la masse individuelle vaut m_p \simeq 1{,}67 \cdot 10^{-27}\text{ kg}. Même pour le plus léger des noyaux (le proton pour l'hydrogène), le rapport entre la masse du noyau M_{\text{noyau}} et la masse m de l'électron vaut :

   \frac{M_{\text{noyau}}}{m} \ge \frac{m_p}{m} \simeq \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}} \simeq 1\,836 \gg 1.

   Pour des atomes plus lourds, ce rapport est encore plus grand (de l'ordre de 10^4 à 10^5).

   D'après le principe fondamental de la dynamique, sous l'action de forces d'interaction électrostatique d'intensités comparables, l'accélération subie par une particule est inversement proportionnelle à sa masse :

   \|\vec{a}_{\text{noyau}}\| = \frac{\|\vec{F}\|}{M_{\text{noyau}}} \ll \frac{\|\vec{F}\|}{m} = \|\vec{a}_e\|.

   Le noyau possède ainsi une inertie considérablement plus grande que celle des électrons : son déplacement en réponse aux sollicitations électromagnétiques est négligeable devant celui des électrons.

   Il est donc tout à fait légitime de considérer le noyau comme immobile au centre de l'atome (approximation du noyau fixe).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie MP 2026, Q24

   L'équation différentielle régissant l'évolution temporelle du nombre de noyaux radioactifs N_i(t) par unité de volume s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}N_i}{\mathrm{d}t} = -\frac{\ln 2}{\tau_i} N_i

   Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et sans second membre. En séparant les variables :

   \frac{\mathrm{d}N_i}{N_i} = -\frac{\ln 2}{\tau_i}\,\mathrm{d}t

   Par intégration entre l'instant initial t=0 où N_i(0)=N_{i0} et un instant t quelconque :

   \ln\left(\frac{N_i(t)}{N_{i0}}\right) = -\frac{\ln 2}{\tau_i}\,t

   On en déduit l'expression de la loi de décroissance radioactive :

   \boxed{N_i(t) = N_{i0}\exp\left(-\frac{\ln 2}{\tau_i}\,t\right) = N_{i0}\,2^{-t/\tau_i}}

   Résultat

   $$N_i(t)=N_{i0}\exp \left(-\frac{\ln 2}{{\tau }_i}t\right)=N_{i0}{2}^{-t/{\tau }_i}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie MP 2026, Q25

   Considérons un volume unité V = 1\text{ m}^3 de roche du manteau terrestre. Sa masse vaut m_{\text{roche}} = \mu V = \mu.

   La masse de l'isotope X_i présente à l'origine des temps dans ce volume est :

   m_{i0} = x_i \, \mu

   Le nombre de noyaux par unité de volume à t=0 s'en déduit à l'aide de la masse molaire M_i et de la constante d'Avogadro N_A :

   N_{i0} = \frac{m_{i0}}{M_i} N_A = \frac{\mu \, x_i N_A}{M_i}

   D'après le résultat de la question Q24, le nombre de noyaux par unité de volume à l'instant t est :

   N_i(t) = N_{i0} \exp\left(-\frac{\ln 2}{\tau_i} t\right)

   Le nombre de désintégrations par unité de volume et par unité de temps (activité volumique) s'écrit :

   a_{v,i}(t) = -\frac{\mathrm{d}N_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\ln 2}{\tau_i} N_i(t)

   Chaque désintégration libérant l'énergie spécifique \varepsilon_i convertie en chaleur, la puissance thermique volumique dégagée par l'élément X_i est :

   p_{v,i}(t) = \varepsilon_i \left( -\frac{\mathrm{d}N_i}{\mathrm{d}t} \right) = \frac{\ln 2}{\tau_i} \varepsilon_i N_i(t)

   En substituant l'expression de N_{i0}, on obtient :

   \boxed{p_{v,i}(t) = \frac{\mu \, x_i N_A \varepsilon_i \ln 2}{M_i \tau_i} \exp\left(-\frac{\ln 2}{\tau_i} t\right)}

   Par additivité des puissances thermiques libérées par les trois éléments radioactifs indépendants (i=1 pour ^{238}\text{U}, i=2 pour ^{232}\text{Th}, i=3 pour ^{40}\text{K}), la puissance volumique totale p_v(t) s'écrit :

   \boxed{p_v(t) = \sum_{i=1}^3 p_{v,i}(t) = \mu N_A \ln 2 \sum_{i=1}^3 \frac{x_i \varepsilon_i}{M_i \tau_i} \exp\left(-\frac{\ln 2}{\tau_i} t\right)}

   Résultat

   $$p_{v,i}(t)=\frac{\mu x_i{N}_A{\epsilon }_i\ln 2}{M_i{\tau }_i}\exp \left(-\frac{\ln 2}{{\tau }_i}t\right)$$

   $$p_v(t)=\sum _{i=1}^3{p}_{v,i}(t)=\mu N_A\ln 2\sum _{i=1}^3\frac{x_i{\epsilon }_i}{M_i{\tau }_i}\exp \left(-\frac{\ln 2}{{\tau }_i}t\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie MP 2026, Q26

   À l'origine des temps (t = 0), la lecture graphique donne :

   p_v(0) = 12{,}55\text{ nW}\cdot\text{m}^{-3}

   Par définition de la date de demi-vie t_{1/2} de la puissance volumique :

   p_v(t_{1/2}) = \frac{p_v(0)}{2} = \frac{12{,}55}{2} \approx 6{,}28\text{ nW}\cdot\text{m}^{-3}

   En traçant l'horizontale à l'ordonnée p_v \approx 6{,}28\text{ nW}\cdot\text{m}^{-3} (située entre les graduations 6{,}15 et 6{,}35\text{ nW}\cdot\text{m}^{-3}), on repère l'intersection avec la courbe expérimentale. La projection sur l'axe des abscisses conduit à :

   \boxed{t_{1/2} \approx 4{,}9 \times 10^9\text{ ans} = 4{,}9\text{ milliards d'années}}

   (une valeur comprise entre 4{,}8 et 5{,}0\text{ milliards d'années} est acceptable compte tenu de la précision de lecture).

   Résultat

   $$t_{1/2}\approx 4,9\times 10^9\text{ ans}=4,9\text{ milliards d’anneˊes}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2026, Q14

    D'après le tableau des propriétés atomiques fourni dans l'énoncé, le chlore naturel est constitué de deux isotopes stables :

    {}^{35}\mathrm{Cl} \quad (76\,\%) \quad \text{et} \quad {}^{37}\mathrm{Cl} \quad (24\,\%)

    L'échantillon de chlorure d'hydrogène est donc un mélange de deux isotopologues : \mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl} et \mathrm{H}^{37}\mathrm{Cl}.

    La masse réduite de la molécule diatomique s'écrit :

    \mu = \frac{m_{\mathrm{H}} \, m_{\mathrm{Cl}}}{m_{\mathrm{H}} + m_{\mathrm{Cl}}}

    Comme m_{{}^{37}\mathrm{Cl}} > m_{{}^{35}\mathrm{Cl}}, la masse réduite de \mathrm{H}^{37}\mathrm{Cl} est légèrement supérieure à celle de \mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl} :

    \mu_{35} = \frac{35}{36} m_{\mathrm{H}} \approx 0{,}9722\,m_{\mathrm{H}} \quad < \quad \mu_{37} = \frac{37}{38} m_{\mathrm{H}} \approx 0{,}9737\,m_{\mathrm{H}}

    Les propriétés électroniques (donc la raideur de liaison k et la distance d'équilibre d_0) étant identiques pour les deux isotopes :

    • la pulsation propre de vibration \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{\mu}} est légèrement plus faible pour \mathrm{H}^{37}\mathrm{Cl} que pour \mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl} ;
    • la constante rotationnelle B = \frac{\hbar^2}{2\mu d_0^2} est également légèrement plus faible pour \mathrm{H}^{37}\mathrm{Cl}.

    Il en résulte un léger décalage des nombres d'onde de transition pour chaque raie rovibrationnelle :

    \boxed{\text{Chaque transition se dédouble en raison de l'effet isotopique du chlore (présence de }\mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl}\text{ et }\mathrm{H}^{37}\mathrm{Cl}\text{).}}

    Résultat

    $$\text{Chaque transition se deˊdouble en raison de l’effet isotopique du chlore (preˊsence de }{\mathrm{H}}^{35}\mathrm{Cl}\text{ et }{\mathrm{H}}^{37}\mathrm{Cl}\text{).}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question