Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2024 (page 2/3 : Partie II)

Dans un réseau cubique de paramètre r_0, une section transverse perpendiculaire à l'une des directions principales présente un réseau carré de liaisons espacées de r_0. L'aire occupée par chaque liaison dans cette section droite est égale à r_0^2.

Le nombre \delta N de liaisons traversant la surface élémentaire \mathrm{d}S s'écrit donc :

Chaque liaison étant modélisée par un ressort de raideur k étiré d'une longueur r - r_0, la force de rappel microscopique exercée par une liaison est f = k(r - r_0). Les \delta N liaisons agissant en parallèle, la force totale \delta F traversant la surface \mathrm{d}S vaut :

L'allongement relatif mésoscopique d'une cellule de taille initiale r_0 dans la direction de traction s'identifie à la dérivée spatiale du déplacement :

En injectant cette relation dans l'expression de \delta F, on obtient :

Par comparaison directe avec la loi mésoscopique de Hooke \delta F = E \frac{\partial \xi}{\partial x}\mathrm{d}S (équation 3), on en déduit l'expression du module de Young :

Le rayon atomique typique étant donné par R = 10^{-10}\text{ m} = 0,1\text{ nm}, deux atomes voisins au repos sont séparés d'une distance interatomique de l'ordre du diamètre atomique, soit un paramètre de réseau :

D'après le résultat de la question Q14, le module de Young s'exprime par :

Avec la plage de raideurs k \in [15, 40]\;\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-1} et un ordre de grandeur de r_0 \approx 3 \times 10^{-10}\text{ m} :

• pour k = 15\;\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-1} : E \approx \frac{15}{3 \times 10^{-10}} = 5 \times 10^{10}\text{ Pa} = 50\text{ GPa} ;
• pour k = 40\;\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-1} : E \approx \frac{40}{3 \times 10^{-10}} \approx 1,3 \times 10^{11}\text{ Pa} \approx 130\text{ GPa}.

On obtient ainsi une estimation de l'ordre de grandeur de E :

La valeur tabulée pour l'aluminium est :

L'estimation issue du modèle microscopique est en excellent accord avec la valeur tabulée, ce qui valide la pertinence de cette modélisation à l'échelle du réseau cristallin.

1. Largeur de la tranche à l'instant t :

À l'instant t, les faces délimitant la tranche, initialement situées en x et x+\mathrm{d}x, se trouvent respectivement aux abscisses :

La largeur de la tranche à l'instant t est donc :

Dans le cadre de l'approximation des petites déformations, l'allongement relatif vérifie :

ce qui justifie que :

2. Résultante des forces exercées sur la tranche :

D'après la loi de Hooke (relation 3 de l'énoncé), la contrainte de traction normale s'exerçant sur une section S est F = E S \frac{\partial \xi}{\partial x}. La tranche considérée est soumise aux efforts surfaciques exercés par les parties adjacentes du solide à travers ses deux faces :

• En x+\mathrm{d}x, la partie du solide située à droite (abscisses supérieures) exerce sur la tranche une force orientée vers les x croissants (effort de traction pour \frac{\partial \xi}{\partial x} > 0) :

  \vec{F}_{\mathrm{droite} \to \text{tranche}} = +\, E S \frac{\partial \xi}{\partial x}(x+\mathrm{d}x, t)\,\vec{e}_x.

• En x, la partie du solide située à gauche (abscisses inférieures) exerce sur la tranche une force opposée :

  \vec{F}_{\mathrm{gauche} \to \text{tranche}} = -\, E S \frac{\partial \xi}{\partial x}(x, t)\,\vec{e}_x.

La résultante des forces exercées par les tranches adjacentes est la somme de ces deux contributions :

Au premier ordre non nul en \mathrm{d}x, le développement de Taylor donne :

On en déduit l'expression de la résultante :

On applique le principe fondamental de la dynamique à la tranche de solide de section S, de masse \mathrm{d}m = \rho S\,\mathrm{d}x, dans le référentiel d'étude galiléen. En négligeant la pesanteur devant les forces élastiques, l'accélération de la tranche selon la direction longitudinale s'écrit à l'ordre le plus bas :

D'après le résultat de la question Q16 pour la résultante des forces élastiques \mathrm{d}\vec{F}, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En divisant par la quantité non nulle \rho S\,\mathrm{d}x, on obtient :

La perturbation \xi(x,t) vérifie donc l'équation de d'Alembert :

où la célérité c des ondes acoustiques longitudinales est donnée par :

Vérification dimensionnelle :

• Le module de Young E a la dimension d'une pression :

  [E] = \frac{[\text{Force}]}{[\text{Surface}]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{L}^2} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{T}^{-2}

• La masse volumique \rho a pour dimension :

  [\rho] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3}

Le rapport vérifie donc :

La grandeur c est bien homogène à une vitesse.

D'après le résultat établi à la question Q17, la célérité des ondes élastiques longitudinales s'exprime par :

D'après les données fournies en tête de sujet pour l'aluminium :

• E = 6,9 \times 10^1\text{ GPa} = 6,9 \times 10^{10}\text{ Pa} ;
• \rho = 2,7 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}.

On calcule le rapport :

En prenant la racine carrée, avec deux chiffres significatifs :

Soit un cube initial de côté \ell et de volume initial V = \ell^3. Choisissons un repère cartésien dont les axes coïncident avec les arêtes du cube, la traction étant exercée selon la direction Ox.

• Selon la direction de l'effort (Ox), l'allongement relatif vaut :

  \frac{\delta \ell_x}{\ell} = \varepsilon \implies \ell_x = \ell(1 + \varepsilon).

• Le matériau étant isotrope, les deux directions transverses Oy et Oz sont équivalentes. D'après la définition du coefficient de Poisson \nu, le rétrécissement relatif transverse s'écrit :

  -\frac{\delta \ell_y}{\ell} = -\frac{\delta \ell_z}{\ell} = \nu \varepsilon \implies \ell_y = \ell_z = \ell(1 - \nu\varepsilon).

Le nouveau volume V' = V + \delta V s'exprime ainsi :

Dans le cadre de l'approximation des petites déformations (|\varepsilon| \ll 1), un développement limité au premier ordre en \varepsilon conduit à :

On en déduit immédiatement la variation relative de volume :

Un matériau parfaitement incompressible conserve son volume lors de toute déformation, soit \delta V = 0 quel que soit l'allongement \varepsilon \neq 0. Cela impose 1 - 2\nu = 0, soit :

On recherche une onde plane progressive harmonique sous forme complexe :

où \vec{r} = x \vec{e}_x + y \vec{e}_y et \vec{K} = K \vec{u} est un vecteur d'onde réel dans le plan (xy) avec \|\vec{K}\| = K.

L'action de l'opérateur laplacien spatial \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} sur l'onde s'écrit :

En lui appliquant à nouveau le laplacien, on obtient :

Par ailleurs, la dérivée temporelle seconde donne :

En reportant ces expressions dans l'équation de Kirchhoff-Love (4), on obtient :

Pour une solution non triviale (\underline{z} \neq 0), la relation de dispersion reliant \omega et K (grandeurs réelles positives) est :

On en déduit l'expression de la vitesse de phase v_\varphi :

Comme K = \left(\frac{\rho h}{D}\right)^{1/4} \omega^{1/2}, on obtient en fonction de \omega, D, \rho et h :

La vitesse de groupe s'obtient par différentiation de la relation de dispersion :

Soit en fonction des paramètres demandés :

Caractère dispersif et atténuation :

• La vitesse de phase dépend de la pulsation \omega (ou de façon équivalente, v_\varphi \neq v_{\mathrm{g}} et la relation \omega(K) est non linéaire) : la propagation s'effectue avec dispersion.
• Pour toute pulsation \omega réelle, le vecteur d'onde K est purement réel (aucun terme d'amortissement visqueux n'apparaît dans l'équation de mouvement). L'amplitude de l'onde reste donc constante au cours de la propagation : la propagation s'effectue sans atténuation.

La plaque carrée occupe le domaine x \in [0, a] et y \in [0, a]. Les conditions aux limites pour une plaque simplement supportée sur ses quatre bords s'écrivent, pour tout instant t :

En injectant la forme proposée :

les conditions en x = 0 et y = 0 imposent, pour une amplitude A \neq 0 :

Un éventuel déphasage multiple de \pi peut être absorbé dans le signe de l'amplitude A. On choisit donc \varphi_x = 0 et \varphi_y = 0.

Les conditions aux limites en x = a et y = a imposent alors :

où m et n sont des entiers naturels non nuls (les valeurs nulles conduiraient à une solution identiquement nulle). Les composantes du vecteur d'onde sont donc quantifiées :

Calculons l'action de l'opérateur laplacien sur z(x,y,t) :

ce qui donne pour le double laplacien :

L'équation du mouvement (4) se réécrit donc sous forme scalaire :

ce qui correspond bien à la relation de dispersion \omega = \sqrt{\frac{D}{\rho h}} K^2 issue de la question Q20.

En remplaçant l'expression de la rigidité en flexion D = \frac{E h^3}{12(1-\nu^2)} donnée par l'équation (5), on obtient :

On en déduit l'expression des pulsations propres \omega_{mn} :

Une onde stationnaire harmonique à une dimension, solution de l'équation de d'Alembert, s'écrit sous la forme séparée :

Les nœuds de vibration correspondent aux points d'annulation permanente du déplacement, c'est-à-dire tels que \sin(K x_n + \varphi) = 0, soit K x_n + \varphi = n\pi avec n \in \mathbb{Z}. La distance d entre deux nœuds consécutifs vaut donc :

D'après la question Q18, la célérité des ondes longitudinales selon le modèle de la sous-partie II.A est :

Testons ce modèle sur le premier mode (i = 1) à la fréquence f_1 \approx 630\text{ Hz} :

Même pour le mode de plus haute fréquence présenté, f_{12} \approx 4\,253\text{ Hz} :

Dans tous les cas, la distance nodale prédite par le modèle II.A est supérieure ou très largement supérieure aux dimensions de la plaque (a = 24{,}0\text{ cm} = 0{,}24\text{ m}).

Or, sur les photographies de la figure 4, on observe clairement plusieurs lignes nodales réparties sur la plaque de côté a = 24{,}0\text{ cm}. Par exemple :

• Pour le mode 1, l'anneau nodal central présente un diamètre de l'ordre de 10\text{ cm}, soit un écart moyen aux bords de l'ordre de d_{\text{exp}} \sim 5\text{ cm} ;

• Pour le mode 12, on dénombre environ 5 à 6 motifs sur la largeur a, ce qui donne un espacement moyen entre lignes nodales voisines :

  d_{\text{exp}} \sim \frac{a}{5} \approx 5\text{ cm} \ll d_{\text{th}} = 60\text{ cm}

Comme d_{\text{exp}} \ll d_{\text{th}} (d'au moins un ordre de grandeur), le modèle de propagation d'ondes acoustiques longitudinales (II.A) est à exclure pour interpréter les figures de Chladni.

D'après la relation de dispersion établie à la question Q20, la pulsation propre s'écrit :

En introduisant l'expression de la rigidité en flexion D = \dfrac{E h^3}{12(1-\nu^2)}, il vient :

La fréquence f = \dfrac{\omega}{2\pi} associée à un mode fixé (donc à un nombre d'onde K fixé) est par conséquent directement proportionnelle à l'épaisseur h de la plaque :

Calculons le rapport f/h pour chacune des trois plaques testées dans le tableau 1 :

Les valeurs de ce rapport sont remarquablement stables : la valeur moyenne est d'environ 640\text{ Hz}\cdot\text{mm}^{-1}, avec des écarts relatifs n'excédant pas 2\,\% :

Les origines des légers écarts observés peuvent s'expliquer par :

• La limite du modèle des plaques minces : la théorie de Kirchhoff-Love suppose h \ll a. Pour la plaque la plus épaisse (h_3 = 5\text{ mm} pour a = 24\text{ cm}, soit h/a \approx 1/48), les effets de cisaillement transverse et d'inertie de rotation (pris en compte par exemple dans la théorie de Mindlin-Reissner) commencent à induire de légères corrections.
• Les conditions aux limites expérimentales : la fixation de la plaque en son centre par une vis reliée à une tige métallique impose localement un déplacement et un couple non nuls, ainsi qu'une masse ajoutée, ce qui perturbe le mode propre idéal.
• La charge massique des billes de silice : le saupoudrage de billes modifie localement la densité surfacique de masse de la plaque.
• Les incertitudes expérimentales : tolérances d'usinage sur l'épaisseur h, inhomogénéités ou anisotropies éventuelles du matériau, et imprécision sur la détermination de la fréquence de résonance optimale.

D'après la relation de dispersion obtenue à la question Q20 :

Or \omega = 2\pi f, ce qui donne pour la fréquence :

En injectant l'expression de la rigidité en flexion D = \dfrac{E h^3}{12(1-\nu^2)}, on a :

La fréquence s'écrit donc :

Pour la plaque d'épaisseur h = h_1 = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}, avec les valeurs numériques fournies :

Calculons le terme sous la racine :

On en déduit la valeur théorique du coefficient :

L'ajustement expérimental en traits pleins sur la figure 6 donne :

L'écart relatif entre le modèle théorique et l'expérience vaut :

Conclusion : L'accord entre le modèle théorique de vibration en flexion pure et les résultats expérimentaux est remarquable :

• La loi de puissance en K^2 prédite par la relation de dispersion est fidèlement suivie par l'ensemble des points expérimentaux ;
• L'écart modéré (environ 10\,\%) sur la valeur numérique du préfacteur s'explique par les hypothèses simplificatrices du modèle (approximation des plaques très minces, absence d'amortissement, fixation par vissage de la tige au centre qui modifie localement les conditions aux limites).

Le modèle de Kirchhoff-Love décrit donc parfaitement la physique des figures de Chladni.

Pour que l'agitation thermique du gaz ne perturbe pas l'onde acoustique stationnaire et le piégeage des billes aux nœuds de vibration, on formule l'hypothèse suivante :

De façon équivalente, on suppose que :

• les transferts thermiques par conduction au sein du fluide sont négligeables à l'échelle d'une période acoustique T = 1/f (le temps caractéristique de diffusion thermique sur une longueur d'onde \lambda est très grand devant T) ;
• en l'absence de convection naturelle (garantie par la situation de microgravité à bord de l'ISS), aucun mouvement d'ensemble d'origine thermique ne vient perturber l'air du tube ni déplacer les billes piégées.

L'onde sonore ne subit ainsi aucun amortissement thermique notable et l'onde stationnaire reste parfaitement établie.

Dans les conditions usuelles de température et de pression (T \approx 293\text{ K}, P \approx 1\text{ bar}), la célérité du son dans l'air est :

L'onde ultrasonore imposée possède une fréquence f = 40\text{ kHz} = 4{,}0 \times 10^4\text{ Hz}, ce qui correspond à :

• une période acoustique :

  T = \frac{1}{f} = \frac{1}{4{,}0 \times 10^4} = 2{,}5 \times 10^{-5}\text{ s} = 25\ \mu\text{s}

• une longueur d'onde acoustique :

  \lambda = \frac{c}{f} = \frac{340}{4{,}0 \times 10^4} = 8{,}5 \times 10^{-3}\text{ m} = 8{,}5\text{ mm}

Sous l'hypothèse de transferts thermiques purement conductifs, l'équation de la chaleur régit l'évolution spatiotemporelle de la température avec une diffusivité thermique donnée par :

Avec \kappa = 2{,}4 \times 10^{-2}\text{ W}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{m}^{-1}, \rho_{\mathrm{a}} = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et c_p = 1{,}0 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} :

Le temps caractéristique nécessaire à la conduction thermique pour homogénéiser la température sur une échelle spatiale de l'ordre de la longueur d'onde \lambda est :

Même en considérant la distance séparant un ventre et un nœud consécutifs (\Delta x \sim \lambda / 4 \approx 2{,}1\text{ mm}), le temps caractéristique reste de l'ordre de :

Ce temps caractéristique est immensément plus grand que la période acoustique de l'onde :

De façon équivalente, la distance sur laquelle s'effectue la diffusion thermique au cours d'une période T s'écrit :

Sur la durée d'une oscillation acoustique, les échanges thermiques par conduction sont négligeables : les compressions et détendues du gaz sont adiabatiques. Le profil d'onde stationnaire de pression n'est pas lissé thermiquement, ce qui valide pleinement l'hypothèse de la question précédente.