Feuille d'entraînement : Régime sinusoïdal forcé et filtrage

10 questions · filière MPSI · durée estimée environ 32 min

Énoncés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2026, Q32· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 3 min
Déterminer $u_{m}$ :
A) $u_{m} = 2 V$ B) $u_{m} = 23 V$ C) $u_{m} = 25 V$ D) $u_{m} = 6 V$
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2025, Q31· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
La fonction de transfert du filtre $F_{1}$ s'écrit : A) $\underline{H_{1}} = \frac{1}{1 + j R C ω}$ B) $\underline{H_{1}} = \frac{1}{1 + 2 j R C ω}$ C) $\underline{H_{1}} = \frac{1}{1 + \frac{j R C ω}{2}}$ D) $\underline{H_{1}} = \frac{2}{1 + j R C ω}$
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2024, Q33· Application directe· Incontournable· ≈ 2 min
Exprimer $ω_{1}$ :
A) $ω_{1} = (L C)^{1/2}$ B) $ω_{1} = (L C)^{- 1/2}$ C) $ω_{1} = \frac{R}{L}$ D) $ω_{1} = \frac{1}{R C}$
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2022, Q19· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 3 min
Le rapport des amplitudes complexes $\frac{u _{C, m}}{u _{e, m}}$ se met sous la forme suivante :
$\frac{u _{C, m}}{u _{e, m}} = \frac{H _{0}}{1 + j \frac{x}{Q} - x ^{2}} avec x = \frac{ω}{ω _{0}}$
où $H_{0}$ , $Q$ et $ω_{0}$ sont des constantes indépendantes de $ω$ , $j$ est l'unité imaginaire ( $j^{2} = - 1$ ). Exprimer $H_{0}$ et $ω_{0}$ :
A) $H_{0} = 1$ B) $H_{0} = \frac{R + r _{L}}{R + r _{L} + r _{i}}$ C) $ω_{0} = \frac{1}{R C}$ D) $ω_{0} = \frac{1}{L C}$
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2026, Q31· Intermédiaire· ≈ 4 min
Déterminer $ω$ :
A) $ω = 200 rad \cdot s^{- 1}$ B) $ω = 2000 rad \cdot s^{- 1}$ C) $ω = 2500 rad \cdot s^{- 1}$ D) $ω = 10000 rad \cdot s^{- 1}$
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2026, Q33· Intermédiaire· ≈ 3 min
On insère, en série dans le circuit précédent, une bobine d'inductance $L = 10 mH$ qui présente à ses bornes une tension $u_{L} (t)$ d'amplitude $u_{L, m}$ . Le circuit fonctionne encore en régime établi (Fig. ci-après). Le générateur délivre cette fois, une tension sinusoïdale d'amplitude $u_{m}^{'}$ et de pulsation $ω^{'}$ . On mesure à nouveau $u_{R, m} = 4 V$ et $u_{C, m} = 2 V$ .
Déterminer $ω^{'}$ :
A) $ω^{'} = 200 rad \cdot s^{- 1}$ B) $ω^{'} = 2000 rad \cdot s^{- 1}$ C) $ω^{'} = 2500 rad \cdot s^{- 1}$ D) $ω^{'} = 10000 rad \cdot s^{- 1}$
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2025, Q32· Intermédiaire· ≈ 3 min
La fonction de transfert du filtre $F_{2}$ s'écrit : A) $\underline{H_{2}} = \frac{j R C ω}{2 ( 1 + j R C ω )}$ B) $\underline{H_{2}} = \frac{j R C ω}{1 + 2 j R C ω}$ C) $\underline{H_{2}} = \frac{2 j R C ω}{1 + 2 j R C ω}$ D) $\underline{H_{2}} = \frac{j R C ω}{1 + j R C ω}$
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2025, Q33· Intermédiaire· ≈ 4 min
La fonction de transfert du filtre $F$ s'écrit : A) $\underline{H} = j R C ω$ B) $\underline{H} = \frac{1 - j R C ω}{1 + j R C ω}$ C) $\underline{H} = \frac{1 - 2 j R C ω}{1 + 2 j R C ω}$ D) $\underline{H} = \frac{1 - 2 j R C ω}{1 + j R C ω}$
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2024, Q31· Intermédiaire· ≈ 4 min
$K_{1}$ et $K_{2}$ étant ouverts, la fonction de transfert se met sous la forme:
$H = \frac{a + j b w}{1 + j w} avec w = \frac{ω}{ω _{0}}$
où $a$ , $b$ et $ω_{0}$ sont des constantes indépendantes de $ω$ . Que peut-on affirmer?
A) $a = 0$ et $b = 1$ et $ω_{0} = R / L$ B) $a = 0$ et $b = 1$ et $ω_{0} = L / R$ C) $a = 1$ et $b = 0$ et $ω_{0} = R / L$ D) $a = 1$ et $b = 0$ et $ω_{0} = L / R$
Exercice 10ENAC Physique MPSI 2024, Q32· Application directe· ≈ 3 min
$K_{1}$ est fermé et $K_{2}$ ouvert. En notant $ω_{1}$ et $Q_{1}$ deux constantes positives indépendantes de $ω$ , et si $w_{1} = ω / ω_{1}$ , comment peut s'écrire la nouvelle expression $H$ de la fonction de transfert?
A) $H = \frac{1}{1 + j w _{1} / Q _{1} - w _{1}^{2}}$ B) $H = \frac{j w _{1} / Q _{1}}{1 + j w _{1} / Q _{1} - w _{1}^{2}}$ C) $H = \frac{- w _{1}^{2}}{1 + j w _{1} / Q _{1} - w _{1}^{2}}$ D) $H = \frac{1 - w _{1}^{2}}{1 + j w _{1} / Q _{1} - w _{1}^{2}}$

Corrigés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2026, Q32
D'après la loi des mailles :
u_e(t) = u_R(t) + u_C(t)
En notation complexe, en prenant l'intensité du courant \underline{i}(t) = I_m \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} comme référence de phase :
\begin{aligned} \underline{u}_R &= R\,\underline{i} = R I_m \\ \underline{u}_C &= \frac{\underline{i}}{\mathrm{j}C\omega} = -\mathrm{j}\frac{I_m}{C\omega} \end{aligned}
La tension complexe délivrée par le générateur s'écrit alors :
\underline{u}_e = \underline{u}_R + \underline{u}_C = R I_m - \mathrm{j}\frac{I_m}{C\omega}
Les tensions \underline{u}_R et \underline{u}_C étant en quadrature de phase (partie réelle et partie imaginaire pure), le module de la somme s'obtient directement par le théorème de Pythagore :
u_m = |\underline{u}_e| = \sqrt{u_{R,m}^2 + u_{C,m}^2}
À l'aide des données u_{R,m} = 4\text{ V} et u_{C,m} = 2\text{ V} :
u_m = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\text{ V}
La proposition C est correcte.
\boxed{\text{C}}
Résultat
$C$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2025, Q31
Le générateur de tension idéal impose entre les points P et M la tension :
\underline{u}_{PM} = \underline{e}
D'après le schéma de la figure 2, la branche médiane est constituée de l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un condensateur de capacité C et d'impédance \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega}, reliée entre les potentiels V_P et V_M.
La tension de sortie du filtre \mathrm{F}_1 est la tension aux bornes du condensateur :
\underline{u}_{AM} = V_A - V_M
Aucun courant n'étant prélevé en sortie (filtre en régime à vide), la formule du diviseur de tension donne directement :
\begin{aligned} \underline{u}_{AM} &= \frac{\underline{Z}_C}{R + \underline{Z}_C} \, \underline{u}_{PM} \\ &= \frac{\frac{1}{jC\omega}}{R + \frac{1}{jC\omega}} \, \underline{e} \\ &= \frac{1}{1 + jRC\omega} \, \underline{e} \end{aligned}
La fonction de transfert complexe \underline{H}_1 s'écrit donc :
\boxed{\underline{\mathrm{H}}_1 = \frac{1}{1 + jRC\omega}}
La proposition A est exacte.
Résultat
$\underline{H}_{1} = \frac{1}{1 + j R C ω}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2024, Q33
Lorsque K_1 est fermé et K_2 est ouvert, le résistor de résistance R et le condensateur de capacité C sont connectés en dérivation, formant une impédance équivalente :
\underline{Z}_p = \frac{R}{1 + \mathrm{j}RC\omega}
Ce dipôle est en série avec la bobine d'inductance L. La tension de sortie u_s étant prélevée aux bornes de l'association parallèle, la formule du pont diviseur de tension donne :
\begin{aligned} \mathcal{H} &= \frac{\underline{Z}_p}{\underline{Z}_p + \mathrm{j}L\omega} \\ &= \frac{R}{R + \mathrm{j}L\omega(1 + \mathrm{j}RC\omega)} \\ &= \frac{1}{1 + \mathrm{j}\frac{L}{R}\omega - LC\omega^2} \end{aligned}
Par identification avec la forme canonique proposée à la question précédente :
\mathcal{H} = \frac{1}{1 + \mathrm{j}\frac{w_1}{Q_1} - w_1^2} \quad \text{avec} \quad w_1 = \frac{\omega}{\omega_1}
Le terme d'ordre 2 s'identifie terme à terme :
w_1^2 = \left(\frac{\omega}{\omega_1}\right)^2 = LC\omega^2
On en déduit immédiatement la pulsation propre \omega_1 :
\boxed{\omega_1 = (LC)^{-1/2}}
La réponse correcte est l'assertion B.
Résultat
$ω_{1} = (L C)^{- 1/2}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2022, Q19
Le dipôle externe branché aux bornes de sortie du générateur (de tension instantanée u_e(t)) est constitué de la mise en série :
- de la bobine réelle d'impédance complexe \underline{Z}_L = r_L + jL\omega ;
- du résistor d'impédance \underline{Z}_R = R ;
- du condensateur d'impédance \underline{Z}_C = \dfrac{1}{jC\omega}.
L'impédance équivalente de ce circuit série vu par la tension u_e vaut :
\underline{Z}_{\text{ext}} = R + r_L + jL\omega + \frac{1}{jC\omega}
En appliquant la relation du pont diviseur de tension pour exprimer la tension \underline{u}_{C,m} aux bornes du condensateur :
\begin{aligned} \frac{\underline{u}_{C,m}}{\underline{u}_{e,m}} &= \frac{\underline{Z}_C}{\underline{Z}_{\text{ext}}} \\ &= \frac{\dfrac{1}{jC\omega}}{R + r_L + jL\omega + \dfrac{1}{jC\omega}} \\ &= \frac{1}{1 + j(R + r_L)C\omega - LC\omega^2} \end{aligned}
Par identification avec la forme canonique proposée :
\frac{\underline{u}_{C,m}}{\underline{u}_{e,m}} = \frac{H_0}{1 + j\dfrac{x}{Q} - x^2} \quad \text{avec } x = \frac{\omega}{\omega_0}
On obtient immédiatement :
- Pour le terme d'ordre 0 au numérateur :
  \boxed{H_0 = 1}
- Pour le terme d'ordre 2 au dénominateur :
  x^2 = LC\omega^2 = \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 \implies \boxed{\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}}
Les propositions A et D sont donc exactes.
Résultat
$H_{0} = 1$ $ω_{0} = \frac{1}{L C}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2026, Q31
Le résistor et le condensateur étant associés en série, ils sont traversés par un même courant sinusoïdal d'amplitude I_m et de pulsation \omega.
Les lois d'Ohm en notation complexe appliquées au résistor et au condensateur donnent les amplitudes de tension associées :
\begin{aligned} u_{R,m} &= R I_m \\ u_{C,m} &= \frac{I_m}{C\omega} \end{aligned}
En effectuant le rapport membre à membre de ces deux relations, on élimine I_m :
\frac{u_{R,m}}{u_{C,m}} = R C \omega
On en déduit l'expression de la pulsation \omega :
\omega = \frac{u_{R,m}}{u_{C,m}} \frac{1}{R C}
Application numérique :
\begin{aligned} RC &= 200 \times 5 \times 10^{-6} = 10^{-3}\text{ s} \\ \frac{u_{R,m}}{u_{C,m}} &= \frac{4}{2} = 2 \\ \omega &= \frac{2}{10^{-3}} = 2\,000\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}
La pulsation du signal vaut donc \omega = 2\,000\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}.
\boxed{\text{Réponse B}}
Résultat
$R \overset{e}{ˊ} ponse B$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2026, Q33
Dans le circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé, tous les dipôles sont traversés par le même courant d'intensité i(t), d'amplitude notée I_m.
Aux bornes du conducteur ohmique, la loi d'Ohm donne :
u_{R,m} = R I_m \iff I_m = \frac{u_{R,m}}{R}
Aux bornes du condensateur de capacité C, l'impédance complexe vaut \underline{Z}_C = \frac{1}{\mathrm{j}C\omega'}, ce qui donne pour l'amplitude de la tension :
u_{C,m} = \frac{I_m}{C\omega'} = \frac{u_{R,m}}{R C \omega'}
On en déduit l'expression de la pulsation \omega' :
\omega' = \frac{u_{R,m}}{u_{C,m}} \frac{1}{R C}
Cette relation ne dépend pas de la présence de la bobine d'inductance L, car elle traduit uniquement la relation constitutive locale entre le courant traversant la branche et les tensions aux bornes de R et C.
Les valeurs mesurées étant identiques à celles de la question 31 (u_{R,m} = 4\text{ V} et u_{C,m} = 2\text{ V}), on obtient :
\omega' = \frac{4}{2 \times 200 \times 5 \times 10^{-6}} = \frac{2}{10^{-3}} = 2\,000\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}
\boxed{\omega' = 2\,000\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}}
La bonne réponse est donc l'item B.
Résultat
$ω^{'} = 2000 rad \cdot s^{- 1}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2025, Q32
La branche droite est connectée directement aux bornes du générateur de tension idéal, de sorte que la tension totale à ses bornes est \underline{u}_{PM} = \underline{e}.
Cette branche est constituée de l'association en série d'un condensateur de capacité C' = C/2 et d'un résistor de résistance R' = 2R. Les impédances complexes associées s'écrivent :
\underline{Z}_{C'} = \frac{1}{jC'\omega} = \frac{2}{jC\omega} \quad \text{et} \quad \underline{Z}_{R'} = R' = 2R
La sortie du filtre \mathrm{F}_2 n'étant connectée à aucune charge (sortie à vide), le courant circulant dans la branche traverse successivement C' puis R'. D'après la formule du diviseur de tension, la tension complexe \underline{u}_{BM} aux bornes du résistor R' vaut :
\underline{u}_{BM} = \frac{\underline{Z}_{R'}}{\underline{Z}_{R'} + \underline{Z}_{C'}} \, \underline{e} = \frac{2R}{2R + \dfrac{2}{jC\omega}} \, \underline{e}
En simplifiant par 2 puis en multipliant le numérateur et le dénominateur par jC\omega, on obtient :
\begin{aligned} \underline{\mathrm{H}_2} &= \frac{\underline{u}_{BM}}{\underline{e}} = \frac{R}{R + \dfrac{1}{jC\omega}} \\ &= \frac{jRC\omega}{1 + jRC\omega} \end{aligned}
La réponse correcte est la proposition D.
\boxed{\text{Réponse D}}
Résultat
$R \overset{e}{ˊ} ponse D$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2025, Q33
D'après les conventions de fléchage des tensions (Fig. 3), la tension de sortie du filtre \mathrm{F} s'écrit en termes de potentiels :
u_{AB}(t) = V_A(t) - V_B(t) = [V_A(t) - V_M(t)] - [V_B(t) - V_M(t)] = u_{AM}(t) - u_{BM}(t)
En passant aux grandeurs complexes associées :
\underline{u}_{AB} = \underline{u}_{AM} - \underline{u}_{BM}
La fonction de transfert complexe \underline{\mathrm{H}} du filtre \mathrm{F} s'obtient en divisant par la tension d'entrée \underline{e} :
\underline{\mathrm{H}} = \frac{\underline{u}_{AB}}{\underline{e}} = \frac{\underline{u}_{AM}}{\underline{e}} - \frac{\underline{u}_{BM}}{\underline{e}} = \underline{\mathrm{H}}_1 - \underline{\mathrm{H}}_2
En utilisant les expressions établies aux questions Q31 et Q32 :
\begin{aligned} \underline{\mathrm{H}} &= \frac{1}{1 + jRC\omega} - \frac{jRC\omega}{1 + jRC\omega} \\ &= \frac{1 - jRC\omega}{1 + jRC\omega} \end{aligned}
La réponse correcte est la proposition B.
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2024, Q31
Lorsque les interrupteurs K_1 et K_2 sont tous les deux ouverts, aucune intensité ne circule dans les branches contenant les deux condensateurs : ceux-ci sont déconnectés du reste du réseau.
Le circuit se réduit alors à l'association en série du résistor de résistance R et de la bobine d'inductance L, soumis à la tension d'entrée u_e(t). La tension de sortie u_s(t) est prélevée aux bornes du résistor R.
En régime sinusoïdal forcé, par application de la formule du diviseur de tension :
\mathcal{H}(j\omega) = \frac{\underline{u}_{s,m}}{\underline{u}_{e,m}} = \frac{R}{R + jL\omega}
En divisant le numérateur et le dénominateur par R, on obtient :
\mathcal{H}(j\omega) = \frac{1}{1 + j\dfrac{L\omega}{R}}
On pose :
w = \frac{\omega}{\omega_0} \quad \text{avec} \quad \omega_0 = \frac{R}{L}
La fonction de transfert s'écrit alors :
\mathcal{H} = \frac{1}{1 + jw} = \frac{a + jbw}{1 + jw}
Par identification avec la forme donnée par l'énoncé, on déduit :
a = 1, \quad b = 0 \quad \text{et} \quad \omega_0 = \frac{R}{L}
Par conséquent, seule la proposition C est correcte.
\boxed{\text{Réponse C}}
Résultat
$R \overset{e}{ˊ} ponse C$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10ENAC Physique MPSI 2024, Q32
Lorsque K_1 est fermé et K_2 est ouvert, le résistor de résistance R se trouve en dérivation avec un condensateur de capacité C. L'admittance complexe de cette association parallèle vaut :
\underline{Y}_p = \frac{1}{R} + jC\omega
L'impédance équivalente associée est \underline{Z}_p = \frac{1}{\underline{Y}_p}.
L'ensemble \{R \parallel C\} est en série avec la bobine d'inductance L, soumise à la tension d'entrée \underline{u}_e. La tension de sortie \underline{u}_s étant prélevée aux bornes de l'association parallèle, la formule du pont diviseur de tension donne :
\begin{aligned} \mathcal{H} &= \frac{\underline{u}_{s,m}}{\underline{u}_{e,m}} = \frac{\underline{Z}_p}{\underline{Z}_p + jL\omega} \\ &= \frac{1}{1 + jL\omega \underline{Y}_p} \\ &= \frac{1}{1 + jL\omega\left(\frac{1}{R} + jC\omega\right)} \\ &= \frac{1}{1 + j\frac{L}{R}\omega - LC\omega^2} \end{aligned}
En posant la pulsation propre \omega_1 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, la pulsation réduite w_1 = \frac{\omega}{\omega_1}, et le facteur de qualité Q_1 tel que \frac{L}{R}\omega = \frac{w_1}{Q_1}, la fonction de transfert s'écrit sous la forme canonique d'un filtre passe-bas du second ordre :
\boxed{\mathcal{H} = \frac{1}{1 + j\frac{w_1}{Q_1} - w_1^2}}
La réponse correcte est la proposition A.
Résultat
$H = \frac{1}{1 + j \frac{w _{1}}{Q _{1}} - w _{1}^{2}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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