ENAC Physique QCM MPSI 2022Sujet et corrigé

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On étudie un mobile M_a, assimilé à un point matériel (ou corpuscule), en mouvement uniforme dans le référentiel du laboratoire à la vitesse de 25 cm.^(− 1), sur une piste qui comporte quatre portions :

La piste est parcourue par M_a de A vers E (Fig. ci-après).

Un tremplin de saut à ski est constitué par l'association d'une portion rectiligne L = AB = 40 m de piste inclinée d'un angle α = 30^∘ par rapport à l'horizontale, suivie par une portion circulaire BOˆ de centre O^′ et de rayon b = 20 m. La tangente en O à la piste circulaire forme un angle β = 45^∘ avec l'horizontale (Fig. ci-après).

Le point C sur la piste circulaire est situé au-dessous et à la verticale de O^′. On munit le référentiel du laboratoire d'un repère (O, e_x^(→−), e_z→), e_z→ étant un vecteur unitaire orienté dans la direction et dans le sens de la verticale ascendante. On note (x_A, z_A), (x_B, z_B) et (x_C, z_C), respectivement les coordonnées cartésiennes des points A, B et C. On étudie le mouvement d'un skieur, initialement immobile en A, en l'assimilant à un corpuscule (ou « point matériel) S de masse m = 80 kg, de coordonnées cartésiennes ( x, z ). On désigne par g⃗ = − ge_z→ le vecteur champ de pesanteur et g ≈ 10 m.s^(− 2) son intensité. On néglige tout frottement.

Exprimer puis calculer numériquement la vitesse v_B du skieur en B.
A) v_B = √(√3gL)
B) v_B = √(2gLsinα)
C) v_B = 20 m.s^(− 1)
D) v_B = 13 m.s^(− 1)
7. On note a_C^(→−) le vecteur accélération du skieur au point C. Que peut-on affirmer :
A) a_C^(→−) = 0→
B) a_c^(→−) ⋅ e_x^(→−) = 0
C) a_C^(→−) ⋅ e_z→ = 0
D) ‖a_C^(→−)‖ = (v_C^2)/b
8. On choisit l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur en O. Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur ε_p(B) en B du skieur :
A) ε_p(B) = mgb(sinβ − sinα)
B) ε_p(B) = mgb(cosβ + cosα)
C) ε_p(B) = mgb(sinβ − cosα)
D) ε_p(B) = mgb(cosβ − cosα)
9. Que dire de la norme du vecteur vitesse, v_O, du skieur en O ?
A) v_O = √(v_B^2 − 2(ε_p(B))/m)
B) v_O = v_B
C) v_O = √(v_B^2 + 2(ε_p(B))/m)
D) v_O > v_B
10. Le skieur quitte le tremplin en O. On note F le sommet de sa trajectoire (Fig. précédente). En tenant compte de la valeur numérique de β, quelle est l'altitude z_F de F ?
A) z_F = (v_O^2)/g
B) z_F = (v_O^2)/(2g)
C) z_F = (v_O^2)/(4g)
D) z_F = (2v_O^2)/g
11. Un autre skieur, moins aguerri, se retrouve confiné au voisinage de C et oscille, d'avant en arrière, dans un mouvement de très faible amplitude. Quelle est la période T de ses oscillations?
A) T = √(b/g)
B) T = 2π√(b/g)
C) T ≈ 9 s
D) T = 1, 5 s

Dans le circuit LRC représenté sur la figure ci-après, les interrupteurs K et K^′ sont initialement ouverts. On désigne respectivement par u_R, u_L et u_C, les tensions aux bornes du résistor de résistance R, de la bobine d'inductance L et du condensateur de capacité C. On note i_R, i_L et i_C les intensités du courant électrique qui traversent respectivement ces dipôles. Le générateur est idéal, de tension électromotrice (on dit aussi force électromotrice) E stationnaire. Le condensateur est initialement chargé de sorte que u_C = E/3.

12. À un instant prix comme origine temporelle, on ferme K ( K^′ restant ouvert). Que peut-on dire, à l'instant t = 0^+, de u_R(0^+)et de u_L(0^+)?
A) u_R(0^+) = 0
B) u_R(0^+) = E
C) u_L(0^+) = 0
D) u_L(0^+) = E
13. Comment évoluent i_L(t) et u_L(t) ?
A) i_L(t) = E/R[1 − exp(− R/Lt)]
B) i_L(t) = E/Rexp(− R/Lt)
C) u_L(t) = E[1 − exp(− R/Lt)]
D) u_L(t) = Eexp(− R/Lt)
14. On attend suffisamment longtemps pour que le régime précédent s'achève (on dit aussi qu'il atteint le régime permanent), puis on ferme le second interrupteur ( K^′ ) à un instant pris comme nouvelle origine temporelle. Déterminer i_L(0^+)et i_R(0^+):
A) i_L(0^+) = 0
B) i_L(0^+) = E/R
C) i_R(0^+) = (2E)/(3R)
D) i_R(0^+) = E/(3R)
15. Déterminer i_C(0^+)et u_L(0^+):
A) i_C(0^+) = 0
B) i_C(0^+) = (2E)/(3R)
C) u_L(0^+) = (2E)/3
D) u_L(0^+) = E/(3R)
16. Après fermeture de K^′, l'intensité i_L(t) obéit à l'équation différentielle suivante :

où τ_e, ω_0 et i_∞ sont des constantes indépendantes du temps. Exprimer τ_e et ω_0.
A) τ_e = RC
B) τ_e = L/R
C) ω_0 = 1/(√(LC))
D) ω_0 = R/L
17. Exprimer i_∞ ainsi que l'énergie ε_C emmagasinée dans le condensateur lorsque le régime devient stationnaire:
A) i_∞ = E/(3R)
B) i_∞ = E/R
C) ε_C = 0
D) ε_C = (CE^2)/2

Un générateur de résistance interne r_i délivre des signaux sinusoïdaux e(t), de pulsation ω, et d'amplitude complexe e_m_– = e_m, ici réelle (phase à l'origine nulle). Ce générateur alimente un circuit série constitué d'une bobine d'inductance L et de résistance r_L, d'un résistor de résistance R et d'un condensateur de capacité C. Le circuit est étudié en régime établi (dit aussi permanent). On note u_–_(L, m) et u_–_(C, m) les amplitudes complexes des tensions u_L aux bornes de la bobine et u_C aux bornes du condensateur respectivement. On désigne par u_–_(e, m) l'amplitude complexe de la tension u_e aux bornes du générateur, et i_–_m, celle de l'intensité i du courant dans le circuit (Fig. ci-après) :

18. Le rapport des amplitudes complexes = _(u_–_(e, m))^(u_(C, m)_–) se met sous la forme suivante :

où H_0, Q et ω_0 sont des constantes indépendantes de ω, j est 'unité imaginaire ( j^2 = − 1 ). Exprimer H_0 et ω_0 :
A) H_0 = 1
B) H_0 = (R + r_L)/(R + r_L + r_i)
C) ω_0 = 1/(RC)
D) ω_0 = 1/(√(LC))
19. Exprimer Q :
A) Q = 1/(R + r_i)√(L/C)
B) Q = 1/(R + r_L)√(L/C)
C) Q = 1/(R + r_L + r_i)√(L/C)
D) Q = 1/R√(L/C)
20. On suppose désormais, jusqu'à la fin de l'exercice, que ω = ω_0. Quelle relation existe-t-il alors entre u_–_(e, m) et e_m ?
A) u_–_(e, m) = R/(R + r_L + r_i)e_m
B) u_–_(e, m) = R/(R + r_L)e_m
C) u_–_(e, m) = (R + r_L)/(R + r_L + r_i)e_m
D) u_–_(e, m) = e_m
21. Déterminer i_–_m et u_–_(C, m) :
A) i_–_m = (e_m)/(R + r_L)
B) i_–_m = (e_m)/(R + r_L + r_i)
C) u_–_(C, m) = − jQH_0 u_–_(e, m)
D) u_–_(C, m) = jQH_0 e_m
22. L'amplitude complexe u_–_(L, m) s'écrit alors u_–_(L, m) = (a + jb)e_m où a et b sont des constantes qui ne dépendent que des caractéristiques du circuit. Déterminer a :
A) a = (r_L)/(R + r_L + r_i)
B) a = (r_L)/(R + r_L)
C) a = (r_i)/(R + r_L + r_i)
D) a = 1
23. Déterminer b :
A) b = 0
B) b = 1
C) b = 1/(R + r_L + r_i)√(L/C)
D) b = 1/Q

Une lunette astronomique est utilisée pour observer les étoiles. On l'assimile à un système de deux lentilles minces convergentes L_1 et L_2 de centres respectifs O_1 et O_2, de même axe optique, et de distances focales images respectives f_1^′ > 0 et f_2^′ > 0. L'œil, supposé emmétrope (c'est-à-dire sans défaut), est placé juste derrière l'oculaire (Fig. ci-après) :

On note d_m = 25 cm la distance entre l'œil et son punctum proximum, c'est-à-dire la distance minimale de vision nette. Les foyers principaux objets et images de L_1 et L_2 sont notés respectivement F_(o, 1), F_(i, 1) et F_(o, 2), F_(i, 2). Dans tout l'exercice, on admet que les conditions de Gauss sont satisfaites.
On donne la relation de conjugaison de Descartes, celle de Newton et deux expressions du grandissement transversal G_t pour une lentille mince de distance focale image f_i :

où p_o et p_i sont respectivement les distances algébriques de l'objet et de son image au centre de la lentille. En outre, σ_o et σ_i sont les distances algébriques respectives de l'objet au foyer principal objet et de l'image au foyer principal image. 25. Que peut-on affirmer?
A) La limite de résolution angulaire d'un œil normal est d'environ 1, 5^′.
B) Pour observer nettement l'image à travers l'instrument sans accommoder, le plan focal image de L_1 doit coüncider avec le plan focal image de L_2.
C) Pour observer nettement l'image à travers l'instrument sans accommoder, le plan focal image de L_1 doit coïncider avec le plan focal objet de L_2.
D) Si le plan focal image de L_1 ne coïncide pas avec le plan focal objet de L_2, il est possible que l'œil emmétrope puisse observer nettement l'image à travers l'instrument.
26. On observe une étoile située à l'infini en dehors de l'axe optique, sous un angle d'incidence α > 0. La lunette est réglée de telle sorte que l'œil voit nettement l'étoile sans accommoder. Les rayons lumineux émergent de la lunette sous un angle β < 0. Exprimer G_a = β/α :
A) G_a = − (f_2^′)/(f_1^′)
B) G_a = − (f_1^′)/(f_2^′)
C) G_a = − (f_1^′)/(d_m)
D) G_a = − (d_m)/(f_2^′)
27. On note D_o le diamètre de l'objectif L_1, ce dernier constituant un objet pour l'oculaire L_2. Quel est alors le diamètre d_i du disque image de l'objectif par l'oculaire, et à quelle distance p_i de O_2 cette image se forme-t-elle ?
A) d_i = (f_2^′)/(f_1^′)D_o
B) d_i = (f_1^′)/(f_2^′)D_o
C) p_i = (f_1^′(f_1^′ + f_2^′))/(f_1^′ + 2f_2^′)
D) p_i = (1 + (f_2^′)/(f_1^′))f_2^′
28. De quelle distance maximale x > 0 peut-on rapprocher l'oculaire de l'objectif, l'œil étant toujours situé juste derrière l'oculaire, pour pouvoir encore observer l'étoile?
A) x = (f_2^(′2))/(d_m + f_2^′)
B) x = (f_1^(′2))/(d_m + f_2^′)
C) x = (f_1^′ f_2^′)/(d_m + f_2^′)
D) x = (f_2^′)/(d_m + f_1^′)
29. La lunette est à nouveau réglée dans une configuration d'instrument afocal (l'œil étant toujours situé juste derrière l'oculaire). On observe alors un objet ponctuel A à distance finie de l'objectif de la lunette sur l'axe optique. On note B l'image de A par L_1 et C celle de B par L_2. Que peut-on affirmer?
A) F_(o, 1)A^– × F_(i, 1)B^– = − f_1^(′2)
B) F_(o, 1)B^– × F_(i, 1)A^– = − f_1^′^2
C) F_(l, 1)C^– × F_(i, 2)B^– = − f_2^(′2)
D) F_(l, 1)B^– × F_(i, 2)C^– = − f_2^′^2
30. En déduire la distance minimale D_(min) = AF_(o, 1)^– à laquelle on peut placer A pour que l'œil puisse observer nettement l'image de A à travers la lunette ?
A) D_(min) = ((f_1^′)/(f_2^′))^2(d_m + f_1^′)
B) D_(min) = ((f_2^′)/(f_1^′))^2(d_m + f_2^′)
C) D_(min) = ((f_1^′)/(f_2^′))^2(d_m + f_2^′)
D) D_(min) = ((f_1^′)/(f_2^′))^2 d_m

Deux gaz, supposés parfaits, sont enfermés dans deux compartiments (1) et (2) séparés par un piston mobile athermane (on dit aussi calorifugé) qui coulisse sans frottement. Le compartiment (1) est entièrement calorifugé tandis que le compartiment (2) peut échanger de l'énergie par chaleur (transfert thermique) avec le milieu extérieur, assimilé à un thermostat de température T_0, à travers une paroi diathermane (non calorifugée). Les deux compartiments contiennent chacun n moles de gaz et sont, dans l'état initial, à la température T_0. Le volume total des deux compartiments est V_t = 2V_0, V_0 désignant les volumes, initialement égaux, de chacun des deux compartiments.

À un instant pris comme origine temporelle, le compartiment (1) reçoit de la chaleur par l'intermédiaire d'un résistor (résistance r ) alimenté pendant une durée τ, par un générateur qui délivre un courant d'intensité i constante. L'état final est l'état d'équilibre thermodynamique du système qui succède à ce chauffage. On le caractérise par les variables d'état p_k, V_k et T_k qui représentent les pressions, volumes et températures des compartiments ( k ) où k = 1 ou 2 . On note R la constante des gaz parfaits et γ = (C_(pm))/(C_(vm)) le rapport de la capacité thermique molaire à pression constante sur la capacité thermique molaire à volume constant, identique pour les gaz des deux compartiments.
31. Exprimer V_1 et V_2 :
A) V_1 = (T_1)/(T_0 + T_1)V_0
B) V_1 = (T_1)/(T_0 + T_1)V_t
C) V_2 = (T_0)/(T_0 + T_1)V_0
D) V_2 = (T_0)/(T_0 + T_1)V_t
32. Que peut-on affirmer?
A) p_2 = p_1
B) p_1 = (nR(T_0 + T_1))/(V_t)
C) p_1 = (nR(T_0 + T_1))/(V_0)
D) p_2 ≠ p_1
33. Déterminer la variation d'énergie interne ΔU entre l'état initial et l'état final du système constitué par les deux gaz (on indique que ΔU est la somme des variations des énergies internes des deux gaz, entre l'état initial et final) :
A) ΔU = 0
B) ΔU = (nR)/(γ − 1)(T_1 − T_0)
C) ΔU = (nRγ)/(γ − 1)(T_1 − T_0)
D) ΔU = nR(T_1 − T_0)
34. On note W_2 et Q_2 le travail et la chaleur (transfert thermique) algébriquement reçus par le gaz du compartiment (2) entre l'état initial et l'état final. On supposera la transformation réversible. Que peut-on affirmer ?
A) W_2 = nRT_0 ln((T_0 + T_1)/(2T_0))
B) W_2 = 0
C) Q_2 = 0
D) Q_2 = − W_2
35. On note Q_1 la chaleur (transfert thermique) algébriquement reçu par le gaz du compartiment (1) entre l'état initial et l'état final. Que peut-on affirmer?
A) Q_1 = ΔU
B) Q_1 = ΔU + W_2
C) Q_1 = W_2
D) Q_1 = ri^2 τ
36. On note S_2^((r)) l'entropie algébriquement reçue et S_2^((c)) l'entropie algébriquement créée, entre l'état initial et l'état final, pour le gaz situé dans le compartiment (2). On indique que sa variation d'entropie ΔS_2 entre l'état initial et l'état final s'écrit ΔS_2 = nRln((V_2)/(V_0)); exprimer S_2^((r)) et S_2^((c)) :
A) S_2^((r)) = nRln((2T_0)/(T_0 + T_1))
B) S_2^((r)) = 0
C) S_2^((c)) = nRln((2T_0)/(T_0 + T_1))
D) S_2^((c)) = 0