Corrigé détaillé ENAC Physique QCM MPSI 2024 (page 2/2 : Parties IV, V et VI)

D'après le diagramme (p,V), les quatre sommets du rectangle correspondent aux états :

• État E_1 : (p_1, V_1) ;
• État E_2 : (p_2, V_2) = (p_3, V_1) (refroidissement isochore 1 \to 2) ;
• État E_3 : (p_3, V_3) ;
• État E_4 : (p_4, V_4) = (p_1, V_3) (échauffement isochore 3 \to 4).

Le gaz étant assimilé à un gaz parfait, on applique l'équation d'état p V = n R T aux états E_1 et E_3. Comme l'énoncé indique que T_1 = T_3 :

On en déduit le rapport des volumes en fonction de \kappa = \dfrac{p_1}{p_3} :

Température T_2 : Pour l'état E_2, la pression vaut p_2 = p_3 = \dfrac{p_1}{\kappa} et le volume vaut V_2 = V_1 :

La proposition B est donc exacte (la proposition A est fausse).

Température T_4 : Pour l'état E_4, la pression vaut p_4 = p_1 et le volume vaut V_4 = V_3 = \kappa V_1 :

La proposition C est donc exacte (la proposition D est fausse).

D'après le diagramme (p, V) fourni, la transformation E_1 \to E_2 s'effectue selon un segment vertical, donc à volume constant :

Le travail des forces de pression reçues par le fluide au cours de cette transformation réversible est donc nul :

L'assertion A est donc vraie (et l'assertion B est fausse).

Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température (première loi de Joule). Le premier principe de la thermodynamique appliqué au système fermé entre les états E_1 et E_2 s'écrit :

Or, la variation d'énergie interne pour n moles de gaz parfait s'exprime par :

D'après la question Q19, la température T_2 s'écrit en fonction de T_1 et \kappa sous la forme :

On en déduit l'expression du transfert thermique Q_{12} :

L'assertion D est donc vraie (et l'assertion C est fausse).

D'après le diagramme de Clapeyron (p, V), la transformation menant de l'état E_2 à l'état E_3 est une détente isobare réversible à la pression constante p_2 = p_3.

Le travail des forces de pression reçu algébriquement par le gaz parfait s'écrit :

Or, d'après les caractéristiques du cycle et les résultats de la question Q19 :

• V_2 = V_1 ;
• V_3 = \kappa V_1 car T_3 = T_1 implique p_3 V_3 = p_1 V_1, soit V_3 = \frac{p_1}{p_3}V_1 = \kappa V_1 ;
• p_3 = \frac{p_1}{\kappa}.

En injectant ces relations dans l'expression du travail :

En utilisant l'équation d'état des gaz parfaits dans l'état E_1, p_1 V_1 = n R T_1, on obtient :

La réponse correcte est l'assertion B.

La transformation E_2 \to E_3 s'effectue à pression constante p_2 = p_3. Pour un gaz parfait subissant une transformation isobare réversible (où aucun travail autre que celui des forces de pression n'est mis en jeu), le transfert thermique s'identifie à la variation d'enthalpie :

Pour un gaz parfait, la relation de Mayer C_{pm} - C_{vm} = R et la définition de \gamma = C_{pm}/C_{vm} donnent :

D'après l'énoncé, T_3 = T_1, et d'après la question Q19, T_2 = \dfrac{T_1}{\kappa}. Il vient donc :

En injectant ces expressions dans celle de Q_{23}, on obtient :

Cette expression correspond à la proposition C.

Les étapes E_1 \to E_2 et E_3 \to E_4 s'effectuent à volume constant (isochores), par conséquent :

L'étape E_4 \to E_1 est une compression isobare à la pression haute p_1 :

car V_4 = V_3.

Le travail total reçu par le gaz sur le cycle s'écrit alors :

D'après les résultats établis à la question Q19 :

• p_1 - p_3 = p_1 \left(1 - \frac{1}{\kappa}\right) = p_1\,\frac{\kappa - 1}{\kappa}
• T_3 = T_1 \implies p_3 V_3 = p_1 V_1 \implies V_3 = \kappa V_1, d'où V_3 - V_1 = V_1(\kappa - 1)

En effectuant le produit :

En utilisant l'équation d'état des gaz parfaits pour l'état E_1 (p_1 V_1 = nRT_1), on obtient :

La proposition correcte est donc la C.

Signe de Q_{34} :

La transformation E_3 \to E_4 est une transformation isochore réversible au volume constant V = V_3 = V_4. Aucun travail n'est échangé (W_{34} = 0), de sorte que le premier principe de la thermodynamique donne :

D'après les résultats de la question Q19, on a T_3 = T_1 et T_4 = \kappa T_1. L'expression de Q_{34} devient :

Comme p_1 > p_3, on a \kappa = p_1/p_3 > 1, soit \kappa - 1 > 0. Avec \gamma > 1 et T_1 > 0, on en déduit :

Signe de Q_{41} :

La transformation E_4 \to E_1 est une compression isobare réversible à la pression constante p = p_1. Le transfert thermique s'exprime à l'aide de la variation d'enthalpie :

En remplaçant T_4 par \kappa T_1, il vient :

Puisque \kappa > 1, on a 1 - \kappa < 0, d'où :

Les réponses correctes sont donc A et D.

Avant la fermeture de l'interrupteur (t < 0), chaque condensateur est soumis à la tension u_C(t) = U_0.

L'énergie électrostatique emmagasinée dans un condensateur de capacité C sous la tension U_0 s'écrit :

L'association comportant N condensateurs identiques montés en parallèle (en dérivation), l'énergie totale emmagasinée par l'ensemble est la somme des énergies emmagasinées par chacun d'eux :

On retrouve le même résultat en considérant le dipôle équivalent : pour N condensateurs de capacité C associés en parallèle, la capacité équivalente est C_{\text{eq}} = N C, d'où \mathcal{E}_e = \frac{1}{2} C_{\text{eq}} U_0^2 = \frac{N}{2} C U_0^2.

La proposition exacte est donc l'affirmation A.

Les N condensateurs de capacité C étant montés en dérivation, la tension u_C est commune à chacun d'entre eux. La capacité équivalente de cette association est :

Le courant total i(t) arrivant sur ce nœud se répartit entre les N branches :

Pour t > 0, l'interrupteur K est fermé. La loi des mailles orientée dans le sens du courant s'écrit :

D'après la loi d'Ohm, la tension aux bornes du résistor vaut u_R(t) = R\,i(t). En remplaçant i(t) par son expression :

En posant la constante de temps du circuit :

l'équation différentielle s'écrit sous forme canonique :

La proposition exacte est donc la C.

D'après la question Q26, l'équation différentielle régissant la tension u_C(t) pour t > 0 s'écrit :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire à coefficients constants est la somme d'une solution particulière constante (la tension en régime permanent u_C(\infty) = E) et de la solution générale de l'équation homogène :

où A est une constante d'intégration.

Par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur en t = 0 :

En évaluant l'expression de u_C(t) en t = 0^+ :

On en déduit l'expression temporelle de la tension aux bornes des condensateurs pour t > 0 :

La proposition correcte est donc la D.

Tous les condensateurs étant identiques, en parallèle et soumis à la même tension u_C(t), la relation courant-tension pour le k-ième condensateur s'écrit en convention récepteur :

Par symétrie, tous les courants de branche sont égaux : i_k(t) = \frac{i(t)}{N}.

D'après la question Q26, la tension u_C(t) vérifie pour t > 0 l'équation différentielle :

E et \tau étant constants, la dérivation par rapport au temps donne :

En multipliant par C et en substituant i_k(t) = C \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} :

Par conséquent, seule la proposition A est exacte.

La tension u_C(t) aux bornes d'un condensateur est une fonction continue du temps, car une discontinuité de tension nécessiterait un pic d'intensité infini (non physique en présence d'une résistance R). Sachant qu'avant la fermeture de l'interrupteur (t < 0), les condensateurs sont tous chargés sous la tension U_0, on a par continuité :

D'après l'énoncé, le dipôle constitué des N condensateurs en dérivation est monté en série avec le résistor R et le générateur idéal de tension de force électromotrice E. En orientant la maille dans le sens du courant i(t), la loi des mailles s'écrit pour tout t > 0 :

En évaluant cette relation en t = 0^+, il vient :

On en déduit immédiatement le courant initial débité par le générateur :

La proposition correcte est donc la C.

Dans chaque branche capacitive, la relation tension-courant en convention récepteur s'écrit :

D'après la question Q27, pour t > 0, l'évolution temporelle de la tension est :

En dérivant cette expression par rapport au temps :

On en déduit l'expression du courant i_k(t) pour t > 0 :

En identifiant la constante de temps \tau' = \tau = NRC obtenue à la question Q28, on obtient :

Ce résultat correspond à la proposition B.

Lorsque les interrupteurs K_1 et K_2 sont tous les deux ouverts, aucune intensité ne circule dans les branches contenant les deux condensateurs : ceux-ci sont déconnectés du reste du réseau.

Le circuit se réduit alors à l'association en série du résistor de résistance R et de la bobine d'inductance L, soumis à la tension d'entrée u_e(t). La tension de sortie u_s(t) est prélevée aux bornes du résistor R.

En régime sinusoïdal forcé, par application de la formule du diviseur de tension :

En divisant le numérateur et le dénominateur par R, on obtient :

On pose :

La fonction de transfert s'écrit alors :

Par identification avec la forme donnée par l'énoncé, on déduit :

Par conséquent, seule la proposition C est correcte.

Lorsque K_1 est fermé et K_2 est ouvert, le résistor de résistance R se trouve en dérivation avec un condensateur de capacité C. L'admittance complexe de cette association parallèle vaut :

L'impédance équivalente associée est \underline{Z}_p = \frac{1}{\underline{Y}_p}.

L'ensemble \{R \parallel C\} est en série avec la bobine d'inductance L, soumise à la tension d'entrée \underline{u}_e. La tension de sortie \underline{u}_s étant prélevée aux bornes de l'association parallèle, la formule du pont diviseur de tension donne :

En posant la pulsation propre \omega_1 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, la pulsation réduite w_1 = \frac{\omega}{\omega_1}, et le facteur de qualité Q_1 tel que \frac{L}{R}\omega = \frac{w_1}{Q_1}, la fonction de transfert s'écrit sous la forme canonique d'un filtre passe-bas du second ordre :

La réponse correcte est la proposition A.

Lorsque K_1 est fermé et K_2 est ouvert, le résistor de résistance R et le condensateur de capacité C sont connectés en dérivation, formant une impédance équivalente :

Ce dipôle est en série avec la bobine d'inductance L. La tension de sortie u_s étant prélevée aux bornes de l'association parallèle, la formule du pont diviseur de tension donne :

Par identification avec la forme canonique proposée à la question précédente :

Le terme d'ordre 2 s'identifie terme à terme :

On en déduit immédiatement la pulsation propre \omega_1 :

La réponse correcte est l'assertion B.

D'après la question Q32, la fonction de transfert s'écrit sous la forme canonique :

Par ailleurs, le diviseur de tension constitué par l'inductance L en série avec l'association parallèle R\,//\,C donnait :

L'identification du terme imaginaire au dénominateur conduit à :

En utilisant le résultat de la question Q33, \omega_1 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}, on obtient :

La réponse correcte est l'assertion D.

Lorsque les interrupteurs K_1 et K_2 sont tous les deux fermés, les deux condensateurs identiques de capacité C sont connectés en dérivation. Ils sont donc équivalents à un unique condensateur de capacité :

Ce dipôle équivalent se trouve toujours monté en parallèle avec le conducteur ohmique de résistance R, l'ensemble étant en série avec la bobine d'inductance L.

La structure du filtre est ainsi rigoureusement identique à celle étudiée à la question précédente (où un seul condensateur était connecté), en substituant simplement la capacité C par C_{\text{eq}} = 2C.

Par analogie directe avec le résultat établi en Q32, la fonction de transfert conserve la forme canonique d'un filtre passe-bas du second ordre :

avec les constantes positives associées :

Par conséquent, la réponse correcte est la proposition A.

Lorsque les deux interrupteurs K_1 et K_2 sont fermés, les deux condensateurs de capacité C sont connectés en dérivation aux bornes du résistor. La capacité équivalente associée s'écrit donc :

D'après le résultat de la question précédente (Q34), le facteur de qualité d'un tel circuit du second ordre s'exprime en fonction des caractéristiques des composants par :

En remplaçant la capacité C par la capacité équivalente C_{\text{eq}} = 2C, on en déduit immédiatement l'expression du facteur de qualité Q_2 :

Ce résultat correspond à la proposition C.