Feuille d'entraînement : Machines thermiques

Corrigés

1. Exercice 1ENAC Physique MPSI 2020, Q27

   La machine étudiée étant un moteur thermique, son transfert d'énergie utile est le travail mécanique cédé au milieu extérieur, soit -W. Le transfert d'énergie nécessaire à son fonctionnement est la chaleur reçue de la source chaude, soit Q_c = Q_{23}.

   Par définition, l'efficacité (ou rendement moteur) s'écrit :

   \eta = \frac{-W}{Q_c} = \frac{-W}{Q_{23}}

   L'énergie interne U étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle fermé est nulle d'après le premier principe de la thermodynamique :

   \Delta U_{\text{cycle}} = W + Q = 0 \implies -W = Q

   Les évolutions E_1 \to E_2 et E_3 \to E_4 étant isentropiques, elles sont adiabatiques (Q_{12} = 0 et Q_{34} = 0). Le transfert thermique global sur le cycle est donc :

   Q = Q_{23} + Q_{41}

   On en déduit l'expression de l'efficacité :

   \eta = \frac{Q_{23} + Q_{41}}{Q_{23}} = 1 + \frac{Q_{41}}{Q_{23}}

   \boxed{\text{Proposition B}}

   Résultat

   $$\text{Proposition B}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENAC Physique MPSI 2020, Q30

   D'après la question précédente, l'efficacité s'écrit :

   \eta = 1 + \frac{T_1 - T_4}{T_3 - T_2}

   D'après les relations isentropiques obtenues à la question Q28 :

   T_1 = T_2 \, a^{1-\gamma} \quad \text{et} \quad T_4 = T_3 \, a^{1-\gamma}

   En factorisant par a^{1-\gamma} au numérateur :

   \begin{aligned} T_1 - T_4 &= (T_2 - T_3) \, a^{1-\gamma} = -(T_3 - T_2) \, a^{1-\gamma} \end{aligned}

   En injectant ce résultat dans l'expression de \eta, il vient :

   \begin{aligned} \eta &= 1 - \frac{(T_3 - T_2) \, a^{1-\gamma}}{T_3 - T_2} \\ \eta &= 1 - a^{1-\gamma} = 1 - \frac{1}{a^{\gamma-1}} \end{aligned}

   L'efficacité ne dépend donc effectivement que du taux de compression a et du coefficient isentropique \gamma.

   \boxed{\text{A et C sont vraies : Oui, et } \eta = 1 - a^{1-\gamma}}

   Résultat

   $$\text{A et C sont vraies : Oui, et }\eta =1-a^{1-\gamma }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENAC Physique MPSI 2024, Q23

   Les étapes E_1 \to E_2 et E_3 \to E_4 s'effectuent à volume constant (isochores), par conséquent :

   W_{12} = 0 \quad \text{et} \quad W_{34} = 0

   L'étape E_4 \to E_1 est une compression isobare à la pression haute p_1 :

   W_{41} = - \int_{V_4}^{V_1} p_1\,\mathrm{d}V = -p_1(V_1 - V_4) = p_1(V_3 - V_1)

   car V_4 = V_3.

   Le travail total reçu par le gaz sur le cycle s'écrit alors :

   W = W_{23} + W_{41} = -p_3(V_3 - V_1) + p_1(V_3 - V_1) = (p_1 - p_3)(V_3 - V_1)

   D'après les résultats établis à la question Q19 :

   • p_1 - p_3 = p_1 \left(1 - \frac{1}{\kappa}\right) = p_1\,\frac{\kappa - 1}{\kappa}
   • T_3 = T_1 \implies p_3 V_3 = p_1 V_1 \implies V_3 = \kappa V_1, d'où V_3 - V_1 = V_1(\kappa - 1)

   En effectuant le produit :

   W = p_1 V_1\,\frac{(\kappa - 1)^2}{\kappa}

   En utilisant l'équation d'état des gaz parfaits pour l'état E_1 (p_1 V_1 = nRT_1), on obtient :

   \boxed{W = nRT_1\,\frac{(\kappa - 1)^2}{\kappa}}

   La proposition correcte est donc la C.

   Résultat

   $$W=nR{T}_1\frac{(\kappa -1{)}^2}{\kappa }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENAC Physique MPSI 2020, Q25

   Le cycle est constitué de quatre transformations réversibles :

   • E_1 \to E_2 : compression isentropique, donc adiabatique réversible, ce qui implique Q_{12} = 0 ;

   • E_2 \to E_3 : compression isochore (V = V_m = \text{cte}). Le travail des forces de pression est nul (W_{23} = 0). D'après le premier principe de la thermodynamique et la première loi de Joule :

     Q_{23} = \Delta U_{23} = n C_{vm} (T_3 - T_2)

     Lors de cette compression isochore, la pression augmente (p_3 > p_2), donc la température augmente (T_3 > T_2). Le transfert thermique reçu par le fluide est positif (Q_{23} > 0) : cette chaleur est reçue de la source chaude, soit Q_c = Q_{23} ;

   • E_3 \to E_4 : détente isentropique, donc adiabatique réversible (Q_{34} = 0) ;
   • E_4 \to E_1 : détente isochore, le fluide se refroidit et cède de la chaleur à la source froide (Q_f = Q_{41} < 0).

   Par conséquent :

   • La proposition A est fausse car Q_{41} est la chaleur échangée avec la source froide ;
   • La proposition B est correcte : Q_c = Q_{23} ;
   • La proposition C est fausse car la transformation étant isochore, l'expression fait intervenir C_{vm} et non C_{pm} ;
   • La proposition D est fausse car elle correspond à Q_{41} = Q_f.

   \boxed{\text{Réponse B}}

   Résultat

   $$\text{Reˊponse B}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENAC Physique MPSI 2020, Q26

   Le cycle décrit est le cycle de Beau de Rochas (ou cycle d'Otto) :

   • Les transformations E_1 \to E_2 et E_3 \to E_4 sont isentropiques, donc adiabatiques réversibles : Q_{12} = 0 et Q_{34} = 0.
   • Lors de l'échauffement isochore E_2 \to E_3, le gaz reçoit de la chaleur de la source chaude : Q_c = Q_{23} > 0.

   • Lors du refroidissement isochore E_4 \to E_1, le système cède de la chaleur à la source froide. Le transfert thermique reçu de la source froide s'écrit donc :

     Q_f = Q_{41}

     L'affirmation A est donc vraie (et l'affirmation B est fausse).

   Appliquons le premier principe de la thermodynamique au gaz parfait lors de la transformation isochore E_4 \to E_1 :

   \Delta U_{41} = W_{41} + Q_{41}

   Le volume étant constant (V_4 = V_1 = V_M), le travail des forces de pression est nul :

   W_{41} = -\int_{V_4}^{V_1} p\,\mathrm{d}V = 0

   D'après la première loi de Joule pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la température et s'exprime avec la capacité thermique molaire à volume constant C_{vm} :

   \Delta U_{41} = n C_{vm} (T_1 - T_4)

   On en déduit :

   Q_f = Q_{41} = n C_{vm}(T_1 - T_4)

   L'affirmation D est donc vraie. L'affirmation C est quant à elle fausse, car elle ferait intervenir C_{pm} (réservée à une transformation isobare) et les températures de la source chaude.

   \boxed{\text{Les affirmations A et D sont correctes.}}

   Résultat

   $$\text{Les affirmations A et D sont correctes.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENAC Physique MPSI 2020, Q29

   D'après la question Q27, le rendement (ou efficacité) du cycle s'écrit :

   \eta = 1 + \frac{Q_{41}}{Q_{23}}

   Les transformations E_2 \to E_3 et E_4 \to E_1 étant isochores, les transferts thermiques reçus par le gaz parfait s'expriment respectivement (d'après les questions Q25 et Q26) par :

   Q_{23} = n C_{vm} (T_3 - T_2) \quad \text{et} \quad Q_{41} = n C_{vm} (T_1 - T_4)

   En reportant ces expressions dans celle de \eta, les termes n C_{vm} se simplifient :

   \eta = 1 + \frac{n C_{vm}(T_1 - T_4)}{n C_{vm}(T_3 - T_2)} = 1 + \frac{T_1 - T_4}{T_3 - T_2}

   La réponse correcte est la proposition B.

   \boxed{\eta = 1 + \frac{T_1 - T_4}{T_3 - T_2}}

   Résultat

   $$\eta =1+\frac{T_1-T_4}{T_3-T_2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question