Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2022 (page 3/3 : Partie C)

D'après les données fournies pour la couche de glace et l'interface avec l'air :

• la conductivité thermique de la glace est \lambda = 2{,}1\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• le coefficient de transfert conducto-convectif à l'interface glace-air vaut h = 42\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}.

L'unité du rapport \ell_0 dans le Système International s'obtient par analyse dimensionnelle :

L'unité de \ell_0 est donc le mètre (\text{m}).

L'application numérique donne :

La solidification de l'eau en glace à la température de fusion T_e = 273\text{ K} et sous la pression atmosphérique P_0 est un changement d'état exothermique. L'enthalpie massique de solidification est l'opposée de l'enthalpie massique de fusion :

Pour une masse m = 1\text{ kg} d'eau se transformant en glace à la température T_e, le premier principe de la thermodynamique appliqué à pression constante donne pour la chaleur reçue par le système :

Le transfert thermique cédé par l'eau vers le milieu extérieur (vers l'air) est donc compté positivement :

Avec m = 1\text{ kg} et \Delta h_f = 335\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} :

Rapporté à l'unité de masse, comme requis pour les bilans thermiques des questions suivantes :

Le volume total d'eau contenu dans le lac s'exprime par le produit de sa surface par sa profondeur :

avec S = 10\text{ km}^2 = 10 \cdot 10^6\text{ m}^2 = 10^7\text{ m}^2 et H = 30\text{ m}, soit :

La masse totale de glace formée lors du gel complet du lac est :

D'après la question Q40, le gel d'une masse de 1\text{ kg} d'eau libère le transfert thermique q = \Delta h_f = 335\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. Le transfert thermique total Q cédé lors de la prise en masse de la totalité du lac est donc :

Numériquement :

Exprimé sous la forme d'une puissance de dix :

L'équation de diffusion thermique unidimensionnelle dans la couche de glace s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS thermique), la température évolue suffisamment lentement dans le temps pour que le terme d'accumulation soit négligeable devant le terme de conduction spatiale à chaque instant t :

Par double intégration par rapport à la variable spatiale x, le profil de température est une fonction affine :

Les conditions aux limites aux interfaces s'écrivent :

• En surface (interface glace-air, x = 0) : T(0) = T_0, d'où :

  b = T_0

• Au fond de la couche de glace (interface glace-eau, x = \ell) : T(\ell) = T_e, d'où :

  a\,\ell + b = T_e \quad \Longrightarrow \quad a = \frac{T_e - T_0}{\ell}

On obtient ainsi :

soit l'expression complète :

Pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t, l'épaisseur de la couche de glace s'accroît d'une quantité \mathrm{d}\ell. Sur toute la surface S du lac, le volume élémentaire de glace nouvellement formé est :

La masse élémentaire correspondante d'eau solidifiée s'écrit, avec \mu la masse volumique de la glace :

D'après la question Q40, le gel d'une unité de masse d'eau cède vers le milieu environnant l'énergie thermique q. Par conséquent, le transfert thermique \delta Q_1 cédé par l'eau lors de cette étape de solidification élémentaire est :

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique au sein de la couche de glace s'écrit :

En utilisant le profil linéaire de température établi à la question précédente :

L'axe Ox étant orienté verticalement vers le bas, le flux thermique dirigé du bas vers le haut (dans le sens de -\vec{u}_x) à travers la surface S s'exprime par :

Pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t, le transfert thermique conductif \delta Q_2 traversant la couche de glace du bas vers le haut vaut donc :

D'après l'énoncé, le transfert thermique convectif à la surface glace-air s'écrit :

D'après la question Q44, le transfert thermique conductif à travers l'épaisseur \ell(t) de glace s'écrit :

La condition de continuité du flux à l'interface en x=0, \delta Q_c = \delta Q_2, conduit à :

En simplifiant par S\,\mathrm{d}t et en introduisant la relation \ell_0 = \lambda/h (soit h = \lambda/\ell_0) :

On en déduit l'expression de la température de surface de la glace :

D'après le résultat de la question Q45, la température de surface de la glace s'écrit :

On en déduit l'écart de température entre la surface de la glace et l'air extérieur :

Le transfert thermique élémentaire par convection à l'interface glace-air pendant la durée \mathrm{d}t s'exprime donc par :

D'après la question Q43, le transfert thermique libéré par la solidification de l'eau pendant cette même durée s'écrit :

En utilisant la condition de continuité du flux thermique \delta Q_c = \delta Q_1, on obtient :

En simplifiant par S\,\mathrm{d}t, il vient :

En divisant les deux membres par \mu q et en multipliant par \left(1 + \frac{\ell(t)}{\ell_0}\right), on aboutit directement à :

soit sous la forme attendue :

avec :

D'après la question Q46, l'épaisseur de glace \ell(t) satisfait l'équation différentielle :

Le membre de gauche s'écrit directement sous la forme d'une dérivée totale par rapport au temps :

En séparant les variables et en intégrant entre l'instant t=0 pour lequel \ell(0) = 0 (lac initialement libre de glace) et un instant t où l'épaisseur vaut \ell(t) :

On obtient ainsi :

En multipliant par 2\ell_0 et en regroupant les termes, on constate que \ell(t) vérifie l'équation du second degré :

D'après la question Q47, l'épaisseur de glace \ell(t) vérifie l'équation algébrique du second degré :

Le discriminant réduit associé à cette équation s'écrit :

Puisque t \ge 0, \ell_0 > 0 et v_0 > 0, le discriminant est strictement positif pour tout t > 0. Les deux racines réelles sont :

L'épaisseur \ell(t) devant être une grandeur positive (avec \ell(0) = 0), seule la racine associée au signe positif possède un sens physique :

D'après l'expression de \ell(t) établie à la question Q48 :

Le comportement temporel de la couche de glace est gouverné par le terme sans dimension \dfrac{v_0 t}{\ell_0}. Par analyse dimensionnelle et identification de ce terme, on définit naturellement le temps caractéristique d'évolution \tau par :

Avec \ell_0 = 5{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ m} (d'après la question Q39) et v_0 \sim 10^{-6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Sachant qu'une heure équivaut à 3\,600\text{ s}, on a \tau \approx \dfrac{50\,000}{3\,600} \approx 14\text{ h}.

L'équation de diffusion thermique unidimensionnelle s'écrit :

où D est la diffusivité thermique de la glace.

Par analyse dimensionnelle, le temps caractéristique de diffusion \tau' sur une épaisseur \ell_0 est donné par :

soit :

Application numérique : Avec \mu = 990\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} \approx 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, c_g = 2{,}1\cdot 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, \lambda = 2{,}1\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et \ell_0 = 5{,}0\cdot 10^{-2}\text{ m} (d'après Q39) :

On a donc :

Conclusion sur l'hypothèse du régime quasi-stationnaire : D'après la question Q49, le temps d'évolution macroscopique de l'épaisseur de glace vaut \tau \approx 5\cdot 10^4\text{ s} \approx 14\text{ h}. On constate que :

Le temps nécessaire à l'établissement du profil de température par conduction au sein de la glace est nettement inférieur au temps caractéristique de croissance de la couche de glace. Le profil de température s'adapte donc quasi instantanément à l'épaisseur courante \ell(t).

L'hypothèse du régime quasi-stationnaire adoptée à la question 42 est donc parfaitement justifiée.