Feuille d'entraînement : Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques dans le vide

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2025, Q12

   L'équation locale de Maxwell-Gauss relie le champ électrostatique \vec{E} à la distribution volumique de charge \rho en tout point de l'espace :

   \boxed{\mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}}

   Pour établir la forme intégrale, on considère un volume arbitraire \mathcal{V} délimité par une surface fermée \Sigma, orientée conventionnellement vers l'extérieur par le vecteur surface élémentaire \mathrm{d}\vec{S}.

   En intégrant l'équation de Maxwell-Gauss sur le volume \mathcal{V}, on obtient :

   \iiint_{\mathcal{V}} \mathrm{div}\,\vec{E}\,\mathrm{d}\tau = \iiint_{\mathcal{V}} \frac{\rho}{\varepsilon_0}\,\mathrm{d}\tau

   D'une part, le théorème de Green-Ostrogradsky (théorème de flux-divergence) transforme l'intégrale volumique de la divergence en flux sortant à travers la surface fermée \Sigma :

   \iiint_{\mathcal{V}} \mathrm{div}\,\vec{E}\,\mathrm{d}\tau = \oiint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

   D'autre part, la charge totale contenue à l'intérieur du volume \mathcal{V} est donnée par :

   Q_{\mathrm{int}} = \iiint_{\mathcal{V}} \rho\,\mathrm{d}\tau

   On en déduit l'expression intégrale du théorème de Gauss :

   \boxed{\oiint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}}

   Résultat

   $$\mathrm{div}\vec{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$

   $$\iint \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{{\epsilon }_0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2022, Q14

   Dans le vide de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}), comme c'est le cas pour le milieu diélectrique idéal \mathscr{S} séparant les deux conducteurs, les équations de Maxwell s'écrivent sous forme locale :

   • Équation de Maxwell-Gauss :

     \boxed{\mathrm{div}\,\vec{E} = 0}

   • Équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

     \boxed{\mathrm{div}\,\vec{B} = 0}

   • Équation de Maxwell-Faraday :

     \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

   • Équation de Maxwell-Ampère :

     \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

   Résultat

   $$\mathrm{div}\vec{E}=0$$

   $$\mathrm{div}\vec{B}=0$$

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2022, Q17

   Les deux autres équations de Maxwell à vérifier sont Maxwell-Thomson et Maxwell-Ampère dans le vide.

   1. Équation de Maxwell-Thomson : Le champ magnétique établi à la question précédente s'écrit :

   \vec{B}(r,z,t) = \frac{k}{\omega}\frac{E_0 R_1}{r}\cos(\omega t - kz)\,\vec{u}_\theta

   En coordonnées cylindriques, l'expression de la divergence est :

   \mathrm{div}\,\vec{B} = \frac{1}{r}\frac{\partial(r B_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial B_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial B_z}{\partial z}

   Comme B_r = 0, B_z = 0 et que B_\theta est indépendant de \theta, on a :

   \mathrm{div}\,\vec{B} = 0

   Cette équation est donc identiquement satisfaite, quelle que soit la valeur de k.

   2. Équation de Maxwell-Ampère dans le vide : Elle s'écrit :

   \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

   Calculons les composantes du rotationnel de \vec{B} à l'aide de la formule fournie :

   \begin{aligned} (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_r &= \frac{1}{r}\frac{\partial B_z}{\partial \theta} - \frac{\partial B_\theta}{\partial z} = -\frac{\partial B_\theta}{\partial z} = -\frac{k^2}{\omega}\frac{E_0 R_1}{r}\sin(\omega t - kz) \\ (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_\theta &= \frac{\partial B_r}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial r} = 0 \\ (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_z &= \frac{1}{r}\frac{\partial(r B_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial B_r}{\partial \theta} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{k}{\omega}E_0 R_1\cos(\omega t - kz)\right] = 0 \end{aligned}

   D'autre part, en dérivant le champ électrique \vec{E}(r,z,t) = \frac{E_0 R_1}{r}\cos(\omega t - kz)\,\vec{u}_r par rapport au temps :

   \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = -\mu_0\varepsilon_0\,\omega\,\frac{E_0 R_1}{r}\sin(\omega t - kz)\,\vec{u}_r

   L'équation de Maxwell-Ampère est satisfaite si et seulement si les composantes radiales coïncident, soit :

   -\frac{k^2}{\omega} = -\mu_0\varepsilon_0\,\omega = -\frac{\omega}{c^2}

   Comme k et \omega sont des constantes positives, on en déduit la condition :

   \boxed{k = \frac{\omega}{c} = \omega\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}

   Résultat

   $$k=\frac{\omega }{c}=\omega \sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$$

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4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2020, Q15

   Dans le vide séparant les deux conducteurs situés en x=0 et x=L, la densité volumique de charge est nulle (\rho = 0) et la densité volumique de courant est nulle (\vec{\jmath} = \vec{0}).

   Les équations de Maxwell s'écrivent donc :

   \begin{aligned} \operatorname{div}\vec{E} &= 0 \quad \text{(Maxwell-Gauss)} \\ \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad \text{(Maxwell-Faraday)} \\ \operatorname{div}\vec{B} &= 0 \quad \text{(Maxwell-Thomson)} \\ \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} &= \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \quad \text{(Maxwell-Ampère)} \end{aligned}

   Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

   \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B})

   En substituant \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} par son expression issue de l'équation de Maxwell-Ampère et en utilisant l'identité vectorielle \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \vec{\Delta}\vec{E} :

   \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \vec{\Delta}\vec{E} = -\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

   Comme \operatorname{div}\vec{E} = 0 dans le vide, et sachant que c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}, on obtient l'équation de d'Alembert :

   \boxed{\vec{\Delta}\vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}}

   Dans le cas d'une onde ne dépendant que de la coordonnée spatiale x, cette équation se réduit à :

   \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}

   Résultat

   $$\vec{\Delta }\vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}$$

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5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2020, Q1

   L'expression du champ électrique complexe de l'onde incidente est :

   \underline{\vec{E}}(x,t) = E_0 \exp\bigl(j(\omega t - kx)\bigr)\,\vec{u}_z

   Cette onde présente les caractéristiques suivantes :

   • Plane : la phase \omega t - kx et l'amplitude complexe sont uniformes dans tout plan x = \text{cte} perpendiculaire à la direction de propagation ;
   • Progressive : l'argument est de la forme \omega t - kx, ce qui correspond à une onde se propageant dans le sens des x croissants à la célérité c = \omega/k ;
   • Harmonique (ou monochromatique) : la dépendance temporelle est sinusoïdale, caractérisée par une pulsation unique \omega ;
   • Polarisée rectilignement : la direction du champ électrique reste constamment parallèle à l'axe fixe porté par \vec{u}_z ;
   • Transverse : le vecteur champ électrique \vec{E} est orthogonal à la direction de propagation \vec{u}_x (\vec{E} \cdot \vec{u}_x = 0).

   Il s'agit donc d'une onde plane progressive harmonique (OPPH) transverse, polarisée rectilignement selon \vec{u}_z.

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6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2020, Q2

   Dans le vide, la relation liant la célérité c de l'onde lumineuse, sa fréquence \nu (ou f) et sa longueur d'onde dans le vide \lambda est donnée par :

   \nu = \frac{c}{\lambda}

   Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

   • c = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
   • \lambda = 600\text{ nm} = 6{,}0 \cdot 10^{-7}\text{ m}

   On obtient :

   \nu = \frac{3{,}0 \cdot 10^8}{6{,}0 \cdot 10^{-7}} = 5{,}0 \cdot 10^{14}\text{ Hz}

   Conformément à la consigne générale précisant que les calculs s'effectuent avec un chiffre significatif :

   \boxed{\nu = 5\cdot 10^{14}\text{ Hz}}

   Résultat

   $$\nu =5\cdot 10^{14}\text{ Hz}$$

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7. Exercice 7Banque PT Physique A PT 2022, Q15

   Dans le milieu \mathscr{S} assimilé au vide, la densité volumique de charge est nulle (\rho = 0). L'équation de Maxwell-Gauss s'écrit :

   \mathrm{div}\,\vec{E} = 0

   Le champ électrique ne possédant qu'une composante selon \vec{u}_r, le formulaire donne en coordonnées cylindriques :

   \mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(r\,E_r(r,z,t)\big) = \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\big(r\,E(r)\big)\cos(\omega t - kz)

   Cette égalité devant être vérifiée en tout point du milieu \mathscr{S} et à chaque instant t, on en déduit :

   \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\big(r\,E(r)\big) = 0

   La quantité r\,E(r) est donc constante sur le domaine R_1 \leqslant r \leqslant R_2 :

   r\,E(r) = \text{cte}

   En utilisant la condition à la limite E(R_1) = E_0, on obtient \text{cte} = R_1 E_0, d'où :

   \boxed{E(r) = E_0\,\frac{R_1}{r}}

   Résultat

   $$E(r)=E_0\frac{R_1}{r}$$

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8. Exercice 8Banque PT Physique A PT 2020, Q3

   L'onde incidente se propageant dans le vide selon +\vec{u}_x possède le vecteur d'onde :

   \vec{k} = k\,\vec{u}_x = \frac{\omega}{c}\vec{u}_x

   D'après l'équation de Maxwell-Faraday \vec{\operatorname{rot}}\underline{\vec{E}} = -j\omega\underline{\vec{B}}, le champ magnétique associé à cette OPPH s'écrit sous forme complexe :

   \underline{\vec{B}}(x,t) = \frac{\vec{k}\wedge\underline{\vec{E}}(x,t)}{\omega} = \frac{k}{\omega}\vec{u}_x \wedge \left(E_0\,\mathrm{e}^{j(\omega t - kx)}\vec{u}_z\right)

   Comme \vec{u}_x \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_y et \frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}, on obtient :

   \underline{\vec{B}}(x,t) = -\frac{E_0}{c}\,\mathrm{e}^{j(\omega t - kx)}\vec{u}_y

   Le champ magnétique réel s'écrit donc :

   \boxed{\vec{B}(x,t) = -\frac{E_0}{c}\cos(\omega t - kx)\,\vec{u}_y}

   Le vecteur de Poynting instantané est défini par :

   \vec{\Pi}(x,t) = \frac{\vec{E}(x,t)\wedge\vec{B}(x,t)}{\mu_0}

   En injectant les champs réels avec \vec{u}_z \wedge (-\vec{u}_y) = \vec{u}_x :

   \vec{\Pi}(x,t) = \frac{E_0^2}{\mu_0 c}\cos^2(\omega t - kx)\,\vec{u}_x

   La valeur moyenne temporelle de \cos^2(\omega t - kx) sur une période optique étant égale à \frac{1}{2}, le vecteur de Poynting moyen est :

   \boxed{\langle \vec{\Pi} \rangle = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}\,\vec{u}_x}

   Résultat

   $$\vec{B}(x,t)=-\frac{E_0}{c}\cos (\omega t-kx){\vec{u}}_y$$

   $$⟨\vec{\Pi }⟩=\frac{E_0^2}{2{\mu }_{0}c}{\vec{u}}_x$$

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9. Exercice 9Banque PT Physique A PT 2020, Q5

   Dans le conducteur, la matière est modélisée par un conducteur ohmique neutre en volume, vérifiant la loi d'Ohm locale :

   \vec{j} = \gamma \vec{E}

   L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit alors :

   \boxed{ \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \left( \vec{j} + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = \mu_0 \gamma \vec{E} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} }

   où \vec{j} est la densité volumique de courant de conduction et \vec{j}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} est la densité de courant de déplacement.

   En régime sinusoïdal à la pulsation \omega = 2\pi \nu, les grandeurs varient comme \exp(j\omega t), ce qui conduit pour les amplitudes de ces deux termes à :

   \begin{aligned} \|\vec{j}\| &\sim \gamma E \\ \|\vec{j}_D\| &\sim \varepsilon_0 \omega E \end{aligned}

   Le rapport des ordres de grandeur s'écrit ainsi :

   \frac{\|\vec{j}\|}{\|\vec{j}_D\|} = \frac{\gamma}{\varepsilon_0 \omega} = \frac{\gamma}{2\pi \varepsilon_0 \nu} = \frac{\gamma \lambda}{2\pi \varepsilon_0 c}

   Avec les valeurs numériques fournies :

   • \gamma = 1{,}0 \cdot 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}
   • \varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}
   • \nu = 5\cdot 10^{14}\text{ Hz} (d'après la question 2) d'où \omega = 2\pi\nu \approx 3\cdot 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

   Le calcul donne (avec un chiffre significatif) :

   \begin{aligned} \varepsilon_0 \omega &\approx 9\cdot 10^{-12} \times 3\cdot 10^{15} \approx 3\cdot 10^4\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} \\ \frac{\|\vec{j}\|}{\|\vec{j}_D\|} &\approx \frac{1\cdot 10^7}{3\cdot 10^4} \approx 4\cdot 10^2 \gg 1 \end{aligned}

   On a donc bien :

   \boxed{ \|\vec{j}\| \gg \|\vec{j}_D\| }

   Le courant de conduction est très supérieur au courant de déplacement (d'un facteur d'environ 400).

   Résultat

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0\left(\vec{j}+{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)={\mu }_0\gamma \vec{E}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

   $$\Vert \vec{j}\Vert \gg \Vert {\vec{j}}_D\Vert$$

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10. Exercice 10Banque PT Physique A PT 2022, Q16

    D'après la question précédente, le champ électrique s'écrit :

    \vec{E}(r,z,t) = \frac{E_0 R_1}{r}\cos(\omega t - kz)\,\vec{u}_r

    Le champ \vec{E} n'ayant qu'une composante radiale E_r(r,z,t) indépendante de \theta, l'expression du rotationnel en coordonnées cylindriques donnée par l'énoncé se réduit à sa composante selon \vec{u}_\theta :

    \begin{aligned} \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} &= \left(\frac{\partial E_r}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial r}\right)\vec{u}_\theta \\ &= \frac{\partial}{\partial z}\left[\frac{E_0 R_1}{r}\cos(\omega t - kz)\right]\vec{u}_\theta \\ &= k\,\frac{E_0 R_1}{r}\sin(\omega t - kz)\,\vec{u}_\theta \end{aligned}

    D'après l'équation de Maxwell-Faraday :

    \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -k\,\frac{E_0 R_1}{r}\sin(\omega t - kz)\,\vec{u}_\theta

    Par intégration par rapport au temps t :

    \vec{B}(r,z,t) = \frac{k}{\omega}\frac{E_0 R_1}{r}\cos(\omega t - kz)\,\vec{u}_\theta + \vec{B}_0(r,z)

    En l'absence de composante statique, la constante d'intégration \vec{B}_0(r,z) est nulle, d'où :

    \boxed{\vec{B}(r,z,t) = \frac{k}{\omega}\frac{E_0 R_1}{r}\cos(\omega t - kz)\,\vec{u}_\theta}

    Résultat

    $$\vec{B}(r,z,t)=\frac{k}{\omega }\frac{E_0{R}_1}{r}\cos (\omega t-kz){\vec{u}}_{\theta }$$

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