Feuille d'entraînement : Ondes électromagnétiques dans les milieux

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2020, Q17

   À l'intérieur d'un conducteur parfait, le champ électrique est identiquement nul :

   \boxed{\vec{E}_{\text{int}} = \vec{0}}

   Justification :

   • Par définition d'un conducteur parfait, la conductivité électrique tend vers l'infini (\gamma \to +\infty).

   • D'après la loi d'Ohm locale, la densité volumique de courant s'écrit :

     \vec{j} = \gamma \vec{E}

     Pour que la densité de courant \vec{j} et la puissance volumique dissipée par effet Joule restent finies, le champ électrique doit impérativement vérifier :

     \vec{E} = \frac{\vec{j}}{\gamma} \xrightarrow[\gamma \to +\infty]{} \vec{0}

   • En régime variable harmonique de pulsation \omega, cette propriété se traduit également par une épaisseur de peau nulle :

     \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \gamma \omega}} \xrightarrow[\gamma \to +\infty]{} 0

     L'onde électromagnétique ne pénètre donc pas dans le conducteur, assurant la stricte nullité du champ électrique en son sein.

   Résultat

   $${\vec{E}}_{\text{int}}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2020, Q5

   Dans le conducteur, la matière est modélisée par un conducteur ohmique neutre en volume, vérifiant la loi d'Ohm locale :

   \vec{j} = \gamma \vec{E}

   L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit alors :

   \boxed{ \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \left( \vec{j} + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = \mu_0 \gamma \vec{E} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} }

   où \vec{j} est la densité volumique de courant de conduction et \vec{j}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} est la densité de courant de déplacement.

   En régime sinusoïdal à la pulsation \omega = 2\pi \nu, les grandeurs varient comme \exp(j\omega t), ce qui conduit pour les amplitudes de ces deux termes à :

   \begin{aligned} \|\vec{j}\| &\sim \gamma E \\ \|\vec{j}_D\| &\sim \varepsilon_0 \omega E \end{aligned}

   Le rapport des ordres de grandeur s'écrit ainsi :

   \frac{\|\vec{j}\|}{\|\vec{j}_D\|} = \frac{\gamma}{\varepsilon_0 \omega} = \frac{\gamma}{2\pi \varepsilon_0 \nu} = \frac{\gamma \lambda}{2\pi \varepsilon_0 c}

   Avec les valeurs numériques fournies :

   • \gamma = 1{,}0 \cdot 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}
   • \varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}
   • \nu = 5\cdot 10^{14}\text{ Hz} (d'après la question 2) d'où \omega = 2\pi\nu \approx 3\cdot 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

   Le calcul donne (avec un chiffre significatif) :

   \begin{aligned} \varepsilon_0 \omega &\approx 9\cdot 10^{-12} \times 3\cdot 10^{15} \approx 3\cdot 10^4\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} \\ \frac{\|\vec{j}\|}{\|\vec{j}_D\|} &\approx \frac{1\cdot 10^7}{3\cdot 10^4} \approx 4\cdot 10^2 \gg 1 \end{aligned}

   On a donc bien :

   \boxed{ \|\vec{j}\| \gg \|\vec{j}_D\| }

   Le courant de conduction est très supérieur au courant de déplacement (d'un facteur d'environ 400).

   Résultat

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0\left(\vec{j}+{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)={\mu }_0\gamma \vec{E}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

   $$\Vert \vec{j}\Vert \gg \Vert {\vec{j}}_D\Vert$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2020, Q6

   Dans le conducteur ohmique, les équations de Maxwell s'écrivent :

   • Maxwell-Faraday :

     \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

   • Maxwell-Ampère, dans le cadre de l'approximation établie à la question Q5 (courant de déplacement négligeable devant le courant de conduction \vec{j} = \gamma\vec{E}) :

     \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} \approx \mu_0\gamma\vec{E}

   • Maxwell-Gauss : \operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}. L'équation de conservation de la charge \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vec{j} = 0 associée à la loi d'Ohm locale donne :

     \frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\gamma}{\varepsilon_0}\rho = 0

     Le temps de relaxation des charges \tau_r = \frac{\varepsilon_0}{\gamma} \approx \frac{8{,}85\cdot 10^{-12}}{1{,}0\cdot 10^7} \approx 9\cdot 10^{-19}\text{ s} est extrêmement court devant la période optique (T \approx 2\cdot 10^{-15}\text{ s}) ; le milieu est donc neutre en volume en régime établi : \rho = 0, soit \operatorname{div}\vec{E} = 0.

   Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

   \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B}\right)

   En utilisant la formule vectorielle fournie dans le sujet, \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \vec{\Delta}\vec{E}, et en exploitant \operatorname{div}\vec{E} = 0, le membre de gauche devient :

   \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = -\vec{\Delta}\vec{E}

   En injectant l'équation de Maxwell-Ampère simplifiée dans le membre de droite :

   -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B}\right) = -\mu_0\gamma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}

   On en déduit l'équation vérifiée par le champ électrique dans le conducteur :

   \boxed{\vec{\Delta}\vec{E} - \mu_0\gamma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = \vec{0}}

   Résultat

   $$\vec{\Delta }\vec{E}-{\mu }_0\gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2020, Q7

   Dans le conducteur (x > 0), on recherche le champ électrique sous la forme d'une onde plane progressive harmonique (OPPH) de pulsation \omega, polarisée rectilignement selon \vec{u}_z et se propageant suivant l'axe (Ox) :

   \underline{\vec{E}}(x,t) = \underline{E}_z(x,t)\,\vec{u}_z = \underline{E}_{0t}\,\mathrm{e}^{j(\omega t - \underline{k}x)}\,\vec{u}_z

   où \underline{k} désigne la composante complexe du vecteur d'onde selon \vec{u}_x.

   D'après la question précédente (Q6), le champ électrique vérifie l'équation de diffusion :

   \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial x^2} - \mu_0\gamma\frac{\partial\underline{\vec{E}}}{\partial t} = \vec{0}

   En dérivant l'expression de \underline{\vec{E}}(x,t), on obtient :

   \begin{aligned} \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial x^2} &= (-j\underline{k})^2 \underline{\vec{E}} = -\underline{k}^2 \underline{\vec{E}} \\ \frac{\partial \underline{\vec{E}}}{\partial t} &= j\omega \underline{\vec{E}} \end{aligned}

   En réinjectant dans l'équation de propagation, il vient :

   \left(-\underline{k}^2 - j\mu_0\gamma\omega\right)\underline{\vec{E}} = \vec{0}

   Comme le champ électrique n'est pas identiquement nul, on en déduit l'équation de dispersion complexe :

   \underline{k}^2 = -j\mu_0\gamma\omega

   En introduisant la grandeur \delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0\gamma\omega}}, on a \mu_0\gamma\omega = \dfrac{2}{\delta^2}, d'où :

   \underline{k}^2 = -\frac{2j}{\delta^2} = \frac{(1-j)^2}{\delta^2}

   L'onde se propageant dans le sens des x>0, son amplitude doit décroître lorsque x \to +\infty (onde évanescente sans amplification à l'infini). Avec la convention de phase \mathrm{e}^{j(\omega t - \underline{k}x)} = \mathrm{e}^{j(\omega t - \mathrm{Re}(\underline{k})x)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{Im}(\underline{k})x}, il est nécessaire que \mathrm{Im}(\underline{k}) < 0. On retient donc la racine :

   \boxed{\underline{k} = \frac{1-j}{\delta}}

   Résultat

   $$\underline{k}=\frac{1-j}{\delta }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2020, Q8.a

   L'onde incidente étant polarisée selon \vec{u}_z et arrivant sous incidence normale, le champ électrique transmis dans le conducteur conserve la même polarisation :

   \underline{\vec{E}}(x,t) = \underline{E}(x,t)\,\vec{u}_z

   D'après la relation de dispersion établie à la question 7, le vecteur d'onde complexe \underline{k} vérifie :

   \underline{k}^2 = -\frac{2j}{\delta^2} = \left(\frac{1-j}{\delta}\right)^2 \implies \underline{k} = \pm \frac{1-j}{\delta}

   La solution générale sous forme d'onde plane harmonique s'écrit comme superposition d'ondes se propageant vers les x croissants et décroissants :

   \underline{E}(x,t) = \left[\underline{A}\,\mathrm{e}^{-j\underline{k}_+ x} + \underline{B}\,\mathrm{e}^{j\underline{k}_+ x}\right]\mathrm{e}^{j\omega t} \quad \text{avec} \quad \underline{k}_+ = \frac{1-j}{\delta}

   soit en explicitant les exponentielles :

   \underline{E}(x,t) = \left[\underline{A}\,\mathrm{e}^{-x/\delta}\,\mathrm{e}^{-j x/\delta} + \underline{B}\,\mathrm{e}^{+x/\delta}\,\mathrm{e}^{j x/\delta}\right]\mathrm{e}^{j\omega t}

   Le milieu conducteur occupant le demi-espace x > 0 sans source à l'infini, l'amplitude du champ électromagnétique doit rester bornée lorsque x \to +\infty. On impose donc \underline{B} = 0.

   En notant \underline{E}_{ot} = \underline{E}(0^+, 0) l'amplitude complexe en x=0^+, la solution s'écrit :

   \boxed{\underline{\vec{E}}(x,t) = \underline{E}_{ot}\,\exp\left(-\frac{x}{\delta}\right)\exp\left(j\left(\omega t - \frac{x}{\delta}\right)\right)\vec{u}_z}

   Résultat

   $$\underline{\vec{E}}(x,t)={\underline{E}}_{ot}\exp \left(-\frac{x}{\delta }\right)\exp \left(j\left(\omega t-\frac{x}{\delta }\right)\right){\vec{u}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2020, Q8.b

   La grandeur \delta représente l'épaisseur de peau (ou profondeur de pénétration) de l'onde électromagnétique dans le conducteur.

   D'après l'expression établie à la question 8.a :

   \|\underline{\vec{E}}(x,t)\| = |\underline{E}_{ot}|\,\mathrm{e}^{-x/\delta}

   \delta mesure la distance caractéristique d'atténuation sur laquelle l'amplitude du champ électromagnétique (ainsi que la densité volumique de courant associée \vec{j} = \gamma\vec{E}) est divisée par \mathrm{e} \approx 2{,}72 en pénétrant dans le conducteur (effet de peau ou effet pelliculaire).

   Pour le calcul numérique, on utilise \omega = 2\pi\nu = \dfrac{2\pi c}{\lambda} :

   \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0\gamma\omega}} = \sqrt{\frac{\lambda}{\pi\mu_0\gamma c}}

   Avec les données numériques de l'énoncé :

   • \lambda = 600\text{ nm} = 6{,}0\cdot 10^{-7}\text{ m}
   • \mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}
   • \gamma = 1{,}0\cdot 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}
   • c = 3{,}0\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   On a :

   \delta^2 = \frac{6{,}0\cdot 10^{-7}}{\pi \times (4\pi\cdot 10^{-7}) \times 1{,}0\cdot 10^7 \times 3{,}0\cdot 10^8} = \frac{1}{2\pi^2}\cdot 10^{-15} \approx \frac{5{,}0}{\pi^2}\cdot 10^{-17}\text{ m}^2 \approx 5{,}1\cdot 10^{-17}\text{ m}^2

   D'où, avec un seul chiffre significatif :

   \boxed{\delta \approx 7\cdot 10^{-9}\text{ m} = 7\text{ nm}}

   Résultat

   $$\delta \approx 7\cdot 10^{-9}\text{ m}=7\text{ nm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Banque PT Physique A PT 2020, Q8.c

   D'après la question 8.a, le champ électrique transmis dans le conducteur (x > 0) s'écrit :

   \underline{\vec{E}}(x,t) = \underline{E}_{ot}\,\mathrm{e}^{-x/\delta}\,\mathrm{e}^{j(\omega t - x/\delta)}\,\vec{u}_z

   La dépendance spatio-temporelle de la phase de l'onde se propageant selon les x croissants est de la forme :

   \phi(x,t) = \omega t - \frac{x}{\delta} + \phi_0

   Pour une surface d'onde définie par \phi(x,t) = \text{cte}, la différentiation donne :

   \omega\,\mathrm{d}t - \frac{\mathrm{d}x}{\delta} = 0 \implies v_\varphi = \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)_{\phi} = \omega\delta

   En remplaçant \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0\gamma\omega}}, on peut également exprimer cette vitesse sous la forme :

   v_\varphi = \sqrt{\frac{2\omega}{\mu_0\gamma}}

   Application numérique : Avec \omega = 2\pi\nu = 2\pi \times 5{,}0\cdot 10^{14} \approx 3{,}1\cdot 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} et \delta \approx 7\cdot 10^{-9}\text{ m} (obtenu à la question 8.b) :

   v_\varphi \approx 3{,}1\cdot 10^{15} \times 7\cdot 10^{-9} \approx 2{,}2\cdot 10^{7}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   Avec un chiffre significatif :

   \boxed{v_\varphi = \omega\delta \approx 2\cdot 10^7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $$v_{\phi }=\omega \delta \approx 2\cdot 10^7\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Banque PT Physique A PT 2020, Q8.d

   D'après la loi d'Ohm locale, le vecteur densité de courant volumique dans le conducteur s'écrit :

   \vec{j}(x,t) = \gamma \vec{E}(x,t)

   La puissance volumique instantanée cédée par le champ électromagnétique à la matière par effet Joule est :

   p_J(x,t) = \vec{j}(x,t) \cdot \vec{E}(x,t) = \gamma \|\vec{E}(x,t)\|^2

   En utilisant la forme réelle du champ électrique transmise déterminée à la question 8.a :

   \vec{E}(x,t) = |\underline{E}_{ot}| \mathrm{e}^{-x/\delta} \cos\left(\omega t - \frac{x}{\delta} + \varphi_t\right) \vec{u}_z

   la moyenne temporelle sur une période s'obtient immédiatement grâce à \langle \cos^2(\dots) \rangle = \frac{1}{2} (ou par la formule complexe \langle p_J \rangle = \frac{1}{2} \operatorname{Re}(\underline{\vec{j}} \cdot \underline{\vec{E}}^*) = \frac{1}{2}\gamma |\underline{\vec{E}}|^2) :

   \langle p_J(x) \rangle = \frac{1}{2} \gamma |\underline{E}_{ot}|^2 \mathrm{e}^{-2x/\delta}

   Sachant que |\underline{E}_{ot}| = |t| E_0, l'expression de la puissance volumique moyenne dissipée à l'abscisse x s'écrit :

   \langle p_J(x) \rangle = \frac{1}{2} \gamma |t|^2 E_0^2 \, \mathrm{e}^{-2x/\delta}

   Calculons numériquement le coefficient pré-exponentiel p_{J0} = \frac{1}{2} \gamma |t|^2 E_0^2 :

   • \gamma = 1{,}0 \cdot 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} ;
   • |t| = 10^{-4} ;
   • D'après la question 4, E_0 \approx 2 \cdot 10^3\text{ V}\cdot\text{m}^{-1} (précisément E_0^2 = \frac{2\mu_0 c \langle P \rangle}{S} \approx \frac{2 \times 377 \times 40}{\pi \times (0{,}05)^2} \approx 3{,}8 \cdot 10^6\text{ V}^2\cdot\text{m}^{-2}).

   On a ainsi :

   \begin{aligned} p_{J0} &= \frac{1}{2} \times 1{,}0 \cdot 10^7 \times (10^{-4})^2 \times 3{,}8 \cdot 10^6 \\ &= 0{,}5 \times 1{,}0 \cdot 10^7 \times 10^{-8} \times 3{,}8 \cdot 10^6 \\ &= 1{,}9 \cdot 10^5\text{ W}\cdot\text{m}^{-3} \approx 2 \cdot 10^5\text{ W}\cdot\text{m}^{-3} \end{aligned}

   On obtient finalement :

   \boxed{\langle p_J(x) \rangle = \frac{1}{2} \gamma |t|^2 E_0^2 \, \mathrm{e}^{-2x/\delta} \approx 2 \cdot 10^5 \, \mathrm{e}^{-2x/\delta} \text{ W}\cdot\text{m}^{-3}}

   Résultat

   $$⟨p_J(x)⟩=\frac{1}{2}\gamma |t{|}^2{E}_0^2{\mathrm{e}}^{-2x/\delta }\approx 2\cdot 10^5{\mathrm{e}}^{-2x/\delta }\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-3}$$

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9. Exercice 9Banque PT Physique A PT 2020, Q9

   Dans une lame conductrice d'épaisseur finie L, l'onde transmise en x = 0 se propage selon les x croissants et rencontre la face arrière en x = L. Une onde réfléchie peut alors apparaître et modifier la structure du champ à l'intérieur du conducteur.

   D'après la question 8.a, l'amplitude du champ électrique décroît en \mathrm{e}^{-x/\delta}, où \delta est l'épaisseur de peau. L'onde incidente sur la face arrière en x = L est donc atténuée d'un facteur :

   \frac{\|\vec{E}(L,t)\|}{\|\vec{E}(0,t)\|} = \mathrm{e}^{-L/\delta}

   L'approximation d'un milieu semi-infini (absence d'onde réfléchie en x = L) est donc fondée si l'épaisseur L du conducteur est très grande devant l'épaisseur de peau \delta :

   \boxed{L \gg \delta}

   Application numérique : avec L = 1{,}0\text{ mm} = 1{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m} et \delta \approx 7\cdot 10^{-9}\text{ m} (question 8.b), on a :

   \frac{L}{\delta} \approx \frac{10^{-3}}{7\cdot 10^{-9}} \approx 10^5 \gg 1

   L'atténuation \mathrm{e}^{-L/\delta} \approx \mathrm{e}^{-10^5} est rigoureusement négligeable : l'onde est totalement absorbée bien avant d'atteindre la face arrière du miroir. L'approximation est donc parfaitement justifiée.

   Résultat

   $$L\gg \delta$$

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10. Exercice 10Banque PT Physique A PT 2020, Q10

    La puissance moyenne totale dissipée par effet Joule dans le conducteur s'obtient en intégrant la puissance volumique moyenne \langle p_J(x) \rangle sur le volume délimité par la section S du faisceau et l'épaisseur L du miroir :

    P_J = \iiint_V \langle p_J(x) \rangle \, \mathrm{d}\tau = S \int_0^L \langle p_J(x) \rangle \, \mathrm{d}x

    D'après la question 8.d, la puissance volumique moyenne s'écrit :

    \langle p_J(x) \rangle = \frac{1}{2} \gamma |\underline{E}_{ot}|^2 \mathrm{e}^{-2x/\delta} = \frac{1}{2} \gamma |t|^2 E_0^2 \mathrm{e}^{-2x/\delta}

    Comme établi à la question 9, l'épaisseur du conducteur est très grande devant l'épaisseur de peau (L \gg \delta, avec L/\delta \sim 10^5), l'onde est totalement absorbée bien avant d'atteindre la face arrière x = L. On peut donc étendre la borne supérieure d'intégration à +\infty avec une excellente précision :

    \begin{aligned} P_J &= \frac{1}{2} \gamma |t|^2 E_0^2 S \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-2x/\delta} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2} \gamma |t|^2 E_0^2 S \left[ -\frac{\delta}{2} \mathrm{e}^{-2x/\delta} \right]_0^{+\infty} \\ &= \frac{1}{4} \gamma |t|^2 E_0^2 \delta S \end{aligned}

    On obtient ainsi :

    \boxed{P_J = \frac{1}{4} \gamma |t|^2 E_0^2 \delta S}

    Résultat

    $$P_J=\frac{1}{4}\gamma |t{|}^2{E}_0^2\delta S$$

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