Feuille d'entraînement : Mouvement d'une particule chargée dans E et B

Corrigés

1. Exercice 1ENAC Physique MPSI 2023, Q31

   Le système étudié est l'électron A, de masse m_e et de charge électrique q = -e, dans le référentiel galiléen du laboratoire.

   L'électron est émis depuis la cathode \mathcal{P}_1, portée au potentiel V_1 = 0, avec une vitesse initiale négligeable (v_0 \approx 0). Il est accéléré sous vide jusqu'à l'anode \mathcal{P}_2, portée au potentiel V_2 = V_a.

   Le poids étant tout à fait négligeable devant la force électrostatique subie par l'électron, la seule force qui travaille est la force électrostatique conservative \vec{F} = q\vec{E} = -e\vec{E}.

   D'après le théorème de l'énergie cinétique appliqué entre \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 :

   \begin{aligned} \Delta \mathcal{E}_c &= W_{\mathcal{P}_1 \to \mathcal{P}_2}(\vec{F}) \\ \frac{1}{2}m_e v^2 - 0 &= q(V_1 - V_2) = (-e)(0 - V_a) = e V_a \end{aligned}

   On en déduit immédiatement :

   \boxed{v = \sqrt{\frac{2e V_a}{m_e}}}

   La proposition correcte est la B.

   Résultat

   $$v=\sqrt{\frac{2e{V}_a}{m_e}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENAC Physique MPSI 2023, Q34

   Dans la région où règne le champ magnétique \vec{B}, l'électron (masse m_e, charge q = -e) n'est soumis qu'à la force de Lorentz magnétique :

   \vec{F} = -e\,\vec{v} \wedge \vec{B}

   Cette force est orthogonale à chaque instant au vecteur vitesse \vec{v}. Sa puissance instantanée est donc nulle :

   \mathcal{P} = \vec{F}\cdot\vec{v} = 0

   Le théorème de la puissance cinétique assure que l'énergie cinétique est constante, donc la norme de la vitesse v reste constante au cours du mouvement : le mouvement est uniforme.

   Le champ \vec{B} étant orthogonal au plan défini par la position initiale et le vecteur vitesse \vec{v}, l'accélération \vec{a} = -\frac{e}{m_e}\,\vec{v}\wedge\vec{B} reste contenue dans ce plan : le mouvement est donc plan.

   Dans la base de Frenet (\vec{\tau}, \vec{n}) liée à l'électron dans ce plan :

   \vec{a} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{\tau} + \frac{v^2}{R_c}\vec{n} = \frac{v^2}{R_c}\vec{n}

   où R_c désigne le rayon de courbure. Le principe fondamental de la dynamique projeté selon la normale entrante \vec{n} donne :

   \begin{aligned} m_e \frac{v^2}{R_c} &= e v B \\ R_c &= \frac{m_e v}{e B} \end{aligned}

   Comme v et B sont constants, le rayon de courbure R_c est constant : la trajectoire de l'électron est un cercle de rayon R_c.

   En injectant l'expression de v établie à la question 31, v = \sqrt{\dfrac{2e V_a}{m_e}} :

   \begin{aligned} R_c &= \frac{m_e}{e B} \sqrt{\frac{2e V_a}{m_e}} \\ R_c &= \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2 m_e V_a}{e}} \end{aligned}

   Le rayon du cercle est donc bien proportionnel à \dfrac{\sqrt{V_a}}{B}.

   \boxed{\text{Proposition D}}

   Résultat

   $$\text{Proposition D}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENAC Physique MPSI 2023, Q32

   D'après la question précédente (Q31), la norme du vecteur vitesse de l'électron lorsqu'il atteint l'anode s'écrit :

   v = \sqrt{\frac{2e V_a}{m_e}}

   Avec les valeurs fournies :

   • e \approx 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C} ;
   • V_a = 100\text{ V} ;
   • m_e \approx 9 \times 10^{-31}\text{ kg}.

   On effectue l'application numérique :

   \begin{aligned} \frac{2 e V_a}{m_e} &= \frac{2 \times 1{,}6 \times 10^{-19} \times 100}{9 \times 10^{-31}} \\ &= \frac{320}{9} \times 10^{12} \\ &\approx 35{,}6 \times 10^{12}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2} \end{aligned}

   En prenant la racine carrée :

   v \approx \sqrt{35{,}6} \times 10^6 \approx 5{,}96 \times 10^6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 6 \times 10^6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   La proposition correcte est donc la C.

   \boxed{v \approx 6 \times 10^6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \quad (\text{Proposition C})}

   Résultat

   $$v\approx 6\times 10^6\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}(\text{Proposition C})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENAC Physique MPSI 2023, Q35

   Dans la région où règne le champ magnétique \vec{B}, l'électron n'est soumis qu'à la force magnétique de Lorentz :

   \vec{F}_m = -e (\vec{v} \times \vec{B})

   La puissance développée par cette force est identiquement nulle à chaque instant :

   \mathcal{P} = \vec{F}_m \cdot \vec{v} = -e (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{v} = 0

   D'après le théorème de l'énergie cinétique, la vitesse scalaire de l'électron reste constante le long de sa trajectoire dans le champ :

   \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_k}{\mathrm{d}t} = 0 \implies \|\vec{v}_s\| = v \approx 6 \times 10^6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   La proposition A est donc exacte.

   Dans le champ magnétique, la force de Lorentz étant orthogonale à la vitesse et non nulle, elle incurve la trajectoire de l'électron. Le vecteur vitesse tourne donc d'un angle non nul (angle de déflexion \theta_m \neq 0). La direction de \vec{v}_s à la sortie est donc modifiée par rapport à la direction incidente selon Ox. La proposition B est fausse.

   Une fois que l'électron a quitté la région magnétisée, il évolue dans le vide en l'absence de tout champ électrique et magnétique. En négligeant l'action du poids, le système est isolé :

   \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \implies m_e \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}

   D'après le principe d'inertie (première loi de Newton) appliqué dans le référentiel galiléen du laboratoire, le vecteur vitesse reste rigoureusement constant (\vec{v}(t) = \vec{v}_s = \text{cte}). Le mouvement ultérieur est donc rectiligne et uniforme. La proposition C est fausse et la proposition D est exacte.

   \boxed{\text{Propositions exactes : A et D}}

   Résultat

   $$\text{Propositions exactes : A et D}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENAC Physique MPSI 2023, Q36

   D'après les résultats de la question 31 et de la question 34, la vitesse de l'électron à l'entrée de la zone de champ magnétique est :

   v = \sqrt{\frac{2e V_a}{m_e}}

   Le rayon de courbure de la trajectoire circulaire sous l'action de la force de Lorentz s'écrit :

   R_c = \frac{m_e v}{e B} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m_e V_a}{e}}

   On remarque immédiatement que le terme devant L^\alpha dans l'expression de \theta_m n'est autre que l'inverse du rayon de courbure :

   \sqrt{\frac{e}{2m_e V_a}} B = \frac{1}{R_c}

   L'expression de l'angle de déflexion devient ainsi :

   \theta_m = \frac{L^\alpha}{R_c}

   Un angle étant une grandeur sans dimension ([\theta_m] = 1) et R_c ayant la dimension d'une longueur ([R_c] = \mathrm{L}), on a dimensionnellement :

   [\theta_m] = \frac{[L]^\alpha}{[R_c]} = \mathrm{L}^{\alpha - 1} = 1 \implies \alpha - 1 = 0 \iff \alpha = 1

   La proposition exacte est la C.

   \boxed{\alpha = 1}

   Résultat

   $$\alpha =1$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question