Propagation d'ondes dans les fluides : ondes acoustiques dans un tuyau élastique, application à la circulation sanguine, et ondes de grande longueur d'onde à la surface de l'eau
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Le problème étudie les ondes acoustiques dans un liquide en deux parties liées. La première partie établit les équations de propagation dans un tuyau rigide puis élastique, analyse un changement de section de tuyau et applique ces résultats à la circulation sanguine. La seconde partie étudie les ondes de grande longueur d'onde à la surface de l'eau et discute la validité du modèle utilisé.
1Partie I.1 : ondes acoustiques dans un tuyau rigideÉtablissement des équations de d'Alembert pour l'onde acoustique dans un tuyau rigide rempli d'eau de mer.
2Partie I.2 : onde acoustique dans un tuyau élastiqueÉtude des ondes stationnaires et progressives, coefficient de réflexion à une jonction de tuyaux.
3Partie I.3 : analyse quantitative d'un changement de tuyauÉtude du coefficient de réflexion et des applications numériques lors d'un changement de section.
4Partie I.4 : application à la circulation sanguineApplication des résultats précédents à la jonction entre l'aorte et l'artère iliaque.
5Partie II : ondes de grande longueur d'onde à la surface de l'eauÉtude de la relation de dispersion, des vitesses de phase et de groupe, et de la validité du modèle développé.
Difficile. Le rapport indique que le sujet peut paraître long et que plusieurs questions centrales, comme la question 4 pourtant au cœur du programme des ondes, ou les questions 22 et 24 à 26, ont été très peu traitées ou peu abordées avec succès.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevées
Coefficient de compressibilité mal calculé · Unité de la masse volumique mal interprétée · Divergence appliquée à une grandeur extensive
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Le jury souligne que le barème tient compte des raisonnements autant que des résultats, et regrette que de nombreux candidats se contentent d'affirmations ou de formules sans argumentation, ou manipulent les notations mathématiques de façon approximative.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Coefficient de compressibilité mal calculé3
Le coefficient de compressibilité isentropique a souvent été manipulé de façon maladroite, parfois même calculé à partir du modèle du gaz parfait alors que le fluide étudié est l'eau de mer.
2
Unité de la masse volumique mal interprétée3
Beaucoup d'erreurs sur l'application numérique de la célérité proviennent d'une mauvaise interprétation de l'unité de la masse volumique fournie.
3
Divergence appliquée à une grandeur extensive5
L'opérateur divergence ne s'applique qu'à des champs vectoriels, grandeurs intensives par essence, si bien que l'expression div(rho u A) n'a pas de sens.
4
Réponse type confer cours jugée inacceptable9
Même lorsqu'un résultat relève du cours, l'énoncé demandant de le montrer, une réponse du type confer cours est inacceptable et le résultat doit être démontré.
5
Analyse de validité sans argumentation objective23
Un avis du type cela me semble correct ne constitue pas une analyse par rapport à des critères précis pour juger de la validité du modèle.
« Un avis du type « cela me semble correct », ne constitue pas une analyse par rapport à des critères »
Ce qui a été bien réussi
Les résultats des questions 20 et 21 découlent directement de la première partie et ont pu être mis en forme dans le nouveau contexte.
Les valeurs des célérités ont été fréquemment obtenues correctement à la question 16.
Les correcteurs ont eu plaisir à attribuer d'excellentes notes aux candidats ayant montré de réelles qualités de réflexion et une bonne maîtrise du cours.
Conseils du jury
Justifier systématiquement toute réponse, y compris pour les questions de cours, car le barème tient compte du raisonnement.
Respecter les conventions de notation pour distinguer clairement scalaires et vecteurs, ainsi que des caractères manuscrits proches comme p et rho.
Toujours accompagner une application numérique de son unité.
Analyser la validité d'un modèle à partir de critères précis plutôt que d'une simple impression.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2006
PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage de la calculette est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I -PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 11 pages.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré.
Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
Notations : vecteur → A (gras) ; norme du vecteur V → V (italique) ; vecteur unitaire → a^.
PROPAGATION D'ONDES DANS LES FLUIDES
Ce problème est dédié à la propagation d'ondes acoustiques dans les fluides. La première partie porte sur la propagation d'ondes dans des tuyaux à section circulaires dits élastiques, c'est-à-dire tels que le rayon varie avec la pression. Le modèle qui peut alors s'en déduire est bien adapté à l'étude du système artériel car il permet de mettre en évidence un lien entre certains dysfonctionnements des artères et certaines pathologies cardiaques. La seconde partie porte sur la propagation d'ondes à la surface de l'eau (cas dans lequel entre, par exemple, la propagation d'un raz de marée ou «tsunami»).
Bien que certains résultats demandés présentent une grande similarité, les deux parties de l'épreuve peuvent se traiter séparément.
PARTIE I - Ondes acoustiques dans un tuyau élastique
On considère un tuyau de section circulaire et d'axe Ox rempli d'un fluide (figure 1). Au repos, le fluide a une masse volumique ρ_0 et une pression intérieure P_0 identique à la pression extérieure (cette dernière sera supposée constante tout au long de cette partie). A l'équilibre, on suppose que le champ des vitesses est nul et que la section du tuyau est uniforme et notée A_0.
On s'intéresse à la propagation de perturbations acoustiques de petites amplitudes suivant l'axe Ox , ce qui permet de se limiter à une théorie linéaire. Les champs de vitesse, de pression, et de masse volumique s'expriment alors sous la forme :
où u^_x est le vecteur unitaire selon la direction Ox. u(x, t) est appelé la vitesse acoustique, et p(x, t) est la surpression par rapport à P_0. Le fluide étant supposé parfait, on considère que ces grandeurs sont uniformes sur une section du tuyau et que la compressibilité isentropique du
fluide χ_S est donnée par la relation :
χ_S = 1/ρ((∂ρ)/(∂P))_S
Dans ce problème, χ_S sera nommée compressibilité, et sera supposée constante.
I. 1 : Ondes acoustiques dans un tuyau rigide
On se place tout d'abord dans le cas où la section du tuyau ne dépend pas de la surpression.
1-Ecrire l'équation d'Euler linéarisée et en déduire une première équation différentielle entre la vitesse acoustique u(x, t) et la surpression p(x, t).
2 - Ecrire l'équation générale de conservation de la masse et montrer qu'elle se réduit ici, en se limitant toujours au 1^(er) ordre, à l'équation différentielle:
(∂ρ_1(x, t))/(∂t) + ρ_0(∂u(x, t))/(∂x) = 0
◻3 - Montrer enfin que la surpression p(x, t) et la vitesse u(x, t) obéissent à une équation de type d'Alembert. En déduire l'expression de la célérité c de l'onde sonore, que l'on exprimera en fonction de χ_S et de ρ_0.
Calculer la valeur de c pour l'eau de mer : ρ_0 = 1050 kg.m^(− 3) et χ_S = 5, 2.10^(− 10) Pa^(− 1) ◻4 - Soit un tuyau dans lequel se propage une onde acoustique progressive monochromatique de longueur d'onde λ dans le sens des x croissants. La célérité de l'onde acoustique est c. La surpression associée est notée p_e(x, t) = f(t − x/c). On suppose qu'au point x = 0, une certaine partie de l'onde est réémise en direction des x négatifs : la surpression associée à cette onde réfléchie est notée p_r(x, t) = g(t + x/c). On suppose aussi qu'au point x = 0 on a p_r = rp_e avec r ∈ [ − 1; + 1]. Exprimer alors la pression totale pour les valeurs de x négatives et montrer qu'il apparaît des ventres de pression pour des valeurs de x que l'on caractérisera. Expliciter ces valeurs dans les cas particuliers r = + 1 et r = − 1.
I. 2 : onde acoustique dans un tuyau élastique
Sous l'effet d'une augmentation de la pression interne, le rayon du tuyau, et donc son aire A, peuvent varier d'une manière qui ne dépend que de la pression et que l'on supposera isentropique. On peut alors décrire ce phénomène par un paramètre D_S, appelé distensibilité (isentropique) du tuyau qui s'exprime comme :
D_S = 1/A((∂A)/(∂P))_S
Dans ce problème, pour un tuyau donné, la distensibilité sera supposée constante.
On suppose aussi que cette variation de l'aire du tuyau est suffisamment faible pour conserver les hypothèses de linéarité de la partie précédente. De plus, on suppose qu'en tout point la dérivée temporelle du rayon est beaucoup plus petite que la vitesse acoustique u(x, t) calculée dans le cas d'un tuyau rigide. L'aire du tuyau à l'équilibre sera noté A_0. ◻5 - Montrer que l'équation de conservation de la masse permet d'écrire la relation :
6 - Montrer que la surpression p(x, t) et la vitesse acoustique u(x, t) obéissent à une équation d'onde de type d'Alembert avec une célérité c que l'on exprimera en fonction de χ_S, D_S et ρ_0. En comparant avec le résultat de la question 3, discuter des effets de la distensibilité d'un tuyau sur la propagation acoustique. En particulier, ce modèle permet-il
d'aborder la propagation dans les fluides incompressibles? ◻7 − On cherche à exprimer la distensibilité du tuyau en fonction de ses caractéristiques mécaniques et géométriques. On suppose que le tuyau est un cylindre creux dont la paroi a une épaisseur h petite devant le rayon intérieur a_0 (figure 2).
On admettra que la distensibilité D_S d'un tel tuyau est liée au module d'Young E du matériau composant le tuyau par la relation :
D_S = (a_0)/(Eh)
Montrer que, pour des fluides incompressibles, on retrouve la formule, dite de Moens-Korteweg:
c^2 = (Eh)/(a_0 ρ_0)
8 - Pour un tube en acier, le module d'Young vaut E = 10^(11) Pa, alors que pour un tuyau en caoutchouc, E vaut typiquement 10^6 Pa. Calculer les distensibilités pour un tube en acier et un autre en caoutchouc, tous deux de rayon 1 cm et d'épaisseur 2 mm .
En déduire la célérité des ondes dans les deux cas quand le tube est rempli d'eau de mer et comparer avec la célérité obtenue à la question 3. Quel est, dans chaque cas, le facteur prédominant (compressibilité ou distensibilité) ? Dans quel cas la formule de Moens-Korteweg est-elle valide ? ◻9 Montrer que, pour une onde progressive dans le sens des x croissants, on peut définir une grandeur Y telle que le débit volumique J(x, t) soit relié à la surpression p(x, t) par la relation :
J(t − x/c) = Yp(t − x/c)
Donner une première expression de Y en fonction de ρ_0, χ_S, c et A_0. Montrer que l'on en déduit l'expression suivante :
Y = (A_0)/(ρ_0 c).
Dans ce problème, Y sera appelée admittance acoustique (Noter qu'on définit ici une admittance acoustique comme une expression reliant le débit -et non la vitesse- à la surpression).
Calculer cette admittance acoustique pour les deux exemples de la question 8.
I. 3 : Analyse quantitative d'un changement de tuyau
On étudie maintenant l'influence d'une modification, en x = 0, des propriétés du tuyau. Celle-ci peut être un changement de la section ou de l'épaisseur du tuyau ou un changement dans ses propriétés mécaniques (module d'Young). Ces modifications peuvent conduire à un changement dans les valeurs de l'admittance acoustique Y et de la célérité c.
On supposera que les modifications de propriétés étudiées dans ce problème permettront d'admettre qu'à la traversée d'un raccordement il y a continuité de la surpression et du débit volumique:
10 - Comment expliquer qu'il n'y ait pas continuité de la force p.A à la traversée de la discontinuité?
Pour simplifier les notations, on considérera que le tuyau est constitué de deux tubes : le tube 1 pour les x négatifs, de célérité c_1 et d'admittance acoustique Y_l, et le tube 2 pour les x positifs, de célérité c_2 et d'admittance acoustique Y_2. ◻11 - Une onde progressive harmonique se propage dans le sens des x croissants dans le tube 1 . La surpression associée est notée p_e(x, t) = f(t − x/(c_1)). En x = 0 vont apparaître une onde réfléchie p_r(x, t) = g(t + x/(c_1)) et une onde transmise p_t(x, t) = h(t − x/(c_2)). Exprimer, en fonction de f et des admittances Y_1 et Y_2, les fonction g et h. Donner l'expression du coefficient de réflexion r = g/f|_(x = 0).
A quelle condition sur Y_1 et Y_2 n'y a-t-il pas d'onde réfléchie? ◻12 - Rappeler l'expression du vecteur densité surfacique de puissance acoustique en fonction de la surpression p et de la vitesse u. En déduire l'expression de la puissance P à travers un tuyau en fonction de la surpression et de l'admittance.
On note P_i et P_r les puissances mesurées au voisinage de l'origine et associées aux ondes incidente et réfléchie respectivement.
Exprimer le coefficient de réflexion en puissance R = (P_r)/(P_i) en fonction de Y_l et Y_2.
En prenant les valeurs des admittances acoustiques trouvées à la question 9, calculer R. Au vu de ce résultat, expliquez ce qui se passe en pratique lorsque l'on raccorde un tuyau d'arrosage (en caoutchouc) à un tuyau rigide (tuyau en cuivre, ou raccords «rapides » en plastique rigide).
Figure 3 : bifurcation
13 - On considère le cas d'un branchement multiple (figure 3). Dans le cas le plus général, le tube 1 , de célérité c_1 et d'admittance acoustique Y_l, est relié au tube 2, de célérité c_2 et d'admittance acoustique Y_2, et au tube 3 de célérité c_3 et d'admittance acoustique Y_3. On recherche alors l'expression de la surpression réfléchie :
p_r(x, t) = g(t + x/(c_1))
et celles des surpressions transmises :
p_(t, k)(x, t) = h_k(t − x/(c_k)) k ∈ {2, 3}.
On se place dans un cas simple où les tubes 2 et 3 sont identiques (même section, même célérité) : de plus, on admettra qu'ils ont même débit volumique. Déterminer alors la surpression réfléchie et les surpressions transmises dans chaque tuyau en fonction de l'onde incidente, des célérités ( c_1 et c_2 ) et des admittances ( Y_1 et Y_2 ).
Que doivent vérifier ces grandeurs pour qu'il n'y ait aucune onde réfléchie?
I. 4 : Application à la circulation sanguine
Dans un modèle très simplifié, on peut considérer que les vaisseaux sanguins entrent dans le modèle étudié dans la section précédente (I.3), et plus particulièrement les artères. On considérera dans ce problème une artère particulière : l'aorte. Elle est reliée d'un coté au cœur, que l'on considérera comme une source de pression, et de l'autre coté au réseau artériel périphérique.
L'aorte est correctement modélisée par un tuyau élastique de section circulaire analogue à celui étudié dans la partie I. 2 (rayon a_0 = 1 cm, épaisseur h = 2 mm ) et on considérera que son module d'Young E vaut typiquement 10^6 Pa. Le sang sera simplement modélisé comme un fluide parfait ayant les même propriétés que l'eau de mer.
Le modèle proposé ici est un cas extrêmement simplifié du système sanguin : en effet, il ne traite pas de la circulation sanguine. Dans le présent problème, le cœur n'est vu que comme source de pression. En réalité, sa fonction première est d'éjecter à peu près toutes les secondes un volume de sang de l'ordre du décilitre avec une vitesse de l'ordre de 1 m.s^(− 1).
Cependant, même en ignorant cet aspect essentiel du système circulatoire sanguin, l'analyse des ondes acoustiques dans les artères montre qu'il peut exister des réflexions parasites liées à certaines pathologies. Ces réflexions parasites vont alors créer des surpressions au niveau du cœur : le muscle cardiaque aura alors un effort supplémentaire à fournir pour s'affranchir de ces surpressions, ce qui est à l'origine de certaines maladies telles que l'hypertrophie cardiaque.
14 - En supposant que la surpression acoustique engendrée par le cœur est de 5.10^3 Pa, calculez l'accroissement relatif du rayon de l'artère.
15 - Une application importante en médecine est celle de la bifurcation iliaque où l'aorte se sépare en deux artères iliaques plus petites. Pour simplifier, on considère que les deux artères iliaques sont identiques, de même section A_(iliaque), de même célérité c_(iliaque) : dans ces deux artères iliaques, le débit sera supposé identique. De même, on note A_(aorte) et c_(aorte) les mêmes grandeurs pour l'aorte. La bifurcation est située à l'origine ( x = 0 ).
En utilisant les résultats de la question 13, montrer que le coefficient de réflexion
r = g/f|_(x = 0) s'écrit : r = (1 − η)/(1 + η) avec η = (2A_(iliaque))/(A_(aorte))(c_(aorte))/(c_(iliaque))
Commenter le résultat et montrer comment il se peut que les paramètres des artères iliaques et de l'aorte (rayon, épaisseur) permettent d'avoir une valeur du paramètre η la plus proche de l'unité possible (la nature est bien faite).
L'artériosclérose est une pathologie du système vasculaire très répandue. A la suite d'une dégénérescence du tissu artériel apparaît une calcification de la paroi artérielle, que l'on appellera plaque : à cette étape du processus, le rayon de l'artère est inchangé. Cette modification peut dans un second temps évoluer vers la sténose: la plaque s'épaissit à l'intérieur du conduit, réduisant alors son rayon.
16 - On considère dans cette question une artère idéale (et donc infinie) constituée de deux portions : artère saine pour les x négatifs, et artère avec plaques pour les x positifs. Dans cette question, on supposera que la géométrie de la partie de l'artère atteinte d'artériosclérose est inchangée, seul son module d'Young s'accroît pour atteindre 10^8 Pa. Le rayon de l'artère (tant pour les x positifs que pour les x négatifs) est de 1 cm .
Calculer la célérité de l'onde acoustique pour les deux portions de l'artère. Calculer, pour une surpression de 5.10^3 Pa, la variation de rayon de l'artère avec plaques : commenter le résultat. En utilisant les résultats de la question 11, calculer la portion d'onde qui sera réfléchie vers les x négatifs. En utilisant les résultats de la question 4, tracer l'allure de la pression et l'allure du rayon de l'artère pour les x négatifs pour une onde harmonique de fréquence f = 5 Hz.
17- On considère maintenant, pour les x positifs, une sténose due à une plaque épaisse : la partie de l'artère correspondant aux x positifs a un rayon réduit de moitié et on considère que l'artère sténosée a toujours un module d'Young égal à 10^8 Pa. Calculer la célérité de l'onde acoustique pour les deux portions de l'artère. En utilisant les résultats de la question 11, calculer la portion d'onde qui sera réfléchie vers les x négatifs. En utilisant les résultats de la question 4, tracer l'allure de la pression et l'allure du rayon de l'artère pour les x négatifs pour une fréquence f = 5 Hz. ◻18 - Les pics de pression provoqués par une plaque sont à l'origine d'une autre pathologie : l'anévrisme. Sous les effets de ces pics, le tissu artériel perd presque totalement son élasticité. L'artère a alors un rayon beaucoup plus grand et voit aussi son module d'Young s'accroître sévèrement. Etudier le cas où, pour les x positifs, le rayon de l'artère a doublé et a un module d'Young égal à 10^9 Pa.
FIN DE LA PREMIERE PARTIE
PARTIE II- Ondes de grande longueur d'onde à la surface de l'eau
De manière surprenante, le formalisme précédent s'applique aussi aux ondes de surface de grande longueur d'onde à la surface libre de l'eau d'un canal sous l'effet du champ de pesanteur.
Soit un canal placé dans un repère galiléen tel que l'axe Oz définisse la verticale. Le champ de pesanteur g est défini selon Oz et on prendra dans cette partie g = 10 m.s^(− 2).
Figure 4: Canal «idéal» rempli d'un fluide incompressible où se propage une onde acoustique en
Le canal est supposé tout d'abord idéal (dimension infinie selon l'axe Ox). Soit A_0 sa section droite à l'équilibre et b sa largeur (selon Oy). La profondeur à l'équilibre est h et on a bien évidemment A_0 = bh.
On s'intéresse à une perturbation de la surface ξ(x, t) (mesurée suivant l'axe Oz) que l'on supposera indépendante de y. La vitesse du fluide est supposée telle que sa composante selon Oz est négligeable vis à vis de sa composante selon Ox. On posera donc :
u = u(x, t).u^_x.
Dans toute cette partie, le fluide sera supposé parfait, incompressible, de masse volumique ρ_0 invariable et l'on ne fera donc plus la distinction entre ρ et ρ_0. ◻19-A partir de l'équation d'Euler, justifier que la pression au sein du fluide varie suivant l'axe Oz de la même manière qu'en hydrostatique.
En déduire que si la surface est perturbée de ξ(x, t), la surpression (par rapport à la distribution d'équilibre) est uniforme à la cote x et vaut ρgξ(x, t).
Comme dans la partie I.2, on définit la distensibilité (isentropique) D_S par la relation
D_S = 1/A((∂A)/(∂P))_S
Montrer que l'on a ici la relation
D_S = 1/(ρgh)
Commentez les cas limites h → 0 et h → ∞.
20 - Montrer que l'équation de conservation de la masse permet, moyennant certaines approximations, d'écrire au premier ordre l'expression
D_S(∂p(x, t))/(∂t) + (∂u(x, t))/(∂x) = 0
Montrer que la célérité des ondes c s'exprime comme :
c = √(hg)
De même, comme à la question 9 , on définit l'admittance caractéristique qui relie la surpression et le débit pour une onde progressive par :
J(t − x/c) = Yp(t − x/c)
Montrer qu'elle peut s'exprimer en fonction de h, h, ρ et g. Retrouver alors la relation:
Y = (A_0)/(ρc)
21 - On pourrait s'inquiéter de la cohérence de nos hypothèses. L'existence d'une distensibilité suppose bien évidemment l'existence d'une composante de la vitesse selon Oz, composante que nous avons négligée jusqu'ici. On va donc dans cette question poser les hypothèses permettant de considérer que ce déplacement vertical a un caractère négligeable.
Pour cela, montrer que pour une onde progressive se propageant suivant Ox , la relation entre l'amplitude ξ et la vitesse acoustique u(x, t) établie précédemment s'écrit:
ξ(x, t) = h/cu(x, t)
Pour une onde sinusoïdale de fréquence f, et de longueur d'onde λ, montrer que la vitesse correspondante ∂ξ/∂t est négligeable devant u(x, t) si h≪λ.
Ce modèle grossier va être appliqué à l'étude de phénomène géophysique comme l'évolution d'un régime de vague en profondeur variable ou au passage d'un détroit, ou bien l'évolution d'un raz de marée (tsunami) sur l'Océan.
22-On autorise maintenant la section du canal à varier en largeur et en profondeur suffisamment lentement pour que l'on puisse ignorer l'existence d'ondes réfléchies. On admettra la conservation du flux d'énergie.
Montrer que l'amplitude Z de l'onde varie en fonction de la profondeur h et de la largeur b suivant la relation de proportionnalité (que l'on appellera ici loi de Green) :
Z ∝ 1/(b^(1/2)h^(1/4))
◻23 - Le tremblement de Terre de Sumatra du 26 décembre 2004 avait son épicentre situé sur l'Océan Indien : le tsunami qui en a résulté fut l'un des plus violents connus. Sur la côte, à Banda Aceh, l'amplitude a dépassé les 30 m . A l'aide de la loi de Green établie à la question 22, calculer l'amplitude pour un fond de 10 m en supposant que
l'amplitude au milieu de l'Océan Indien était de 3 m en un point où la profondeur est de 4000 m . Le résultat est-il réaliste? Est-il effectivement modélisable par l'approche proposée?
En reprenant les résultats de la question 20, on va montrer que le modèle proposé est compatible avec les mesures de vitesse reprises dans le tableau I.
Profondeur de l'Océan en m
Vitesse en km/h
Longueur d'onde en km
7000
943
282
4000
713
213
2000
504
151
200
159
48
50
79
23
10
38
10,6
Tableau I: vitesse d'un tsunami et longueur d'onde correspondante en fonction de la bathymétrie
Tracer la longueur d'onde du tsunami en fonction de sa vitesse : montrer que la loi vérifiée par la longueur d'onde est linéaire, excepté pour certaines valeurs de la profondeur. Pouvez-vous donner des raisons pour laquelle le modèle étudié ne s'applique plus?
Les mesures ont montré qu'il a fallu environ 100 minutes pour que le tsunami, parti de Sumatra, atteigne le Sri Lanka situé à 2000 km . Commentez cette observation à partir des informations du tableau I. ◻24 - Le modèle étudié ici n'est donc valide que pour des profondeurs suffisamment grandes. On admettra qu'un autre modèle permettant une description plus correcte des vagues est décrit par un potentiel des vitesses Φ(x, z, t) :
(dans cette question sinh, cosh et tanh représentent le sinus hyperbolique, le cosinus hyperbolique et la tangente hyperbolique) et on admettra que la vitesse acoustique s'écrit alors v = grad(Φ), et, qu'au premier ordre, on peut écrire :
(∂ξ)/(∂t) = (∂Φ)/(∂z)|_(z = 0)
Rappeler la définition de la vitesse de phase v_φ et celle de la vitesse de groupe v_g.
Montrer que la vitesse de phase s'écrit :
v_φ = √(g/ktanh(kh))
et que la vitesse de groupe peut s'exprimer sous la forme :
v_g = (v_φ)/2(1 + (kh)/(sinh(kh)cosh(kh)))
25 - Dans le cas d'une longueur d'onde grande vis-à-vis de la profondeur ( kh≪1 ) , que deviennent les expressions de la relation de dispersion, de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe ? Montrer que l'on retrouve, pour la vitesse de phase, le résultat de la question 20.
Quelle est alors la relation entre vitesse de phase et vitesse de groupe ? Comment appelle-t-on un milieu qui admet une relation de dispersion de ce type ?
26 - Inversement, si la longueur d'onde devient petite vis-à-vis de la profondeur, quelle est alors la relation entre vitesse de phase et vitesse de groupe ?
Cette analyse est-elle applicable au comportement d'un tsunami au voisinage des côtes ? Quelle est en réalité la vraie raison des écarts au modèle au voisinage des côtes ?
FIN DE LA SECONDE PARTIE FIN DE L'ÉPREUVE
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 1 Mines-Ponts PC 2006 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 1 Mines-Ponts PC 2006 ?
+
L'épreuve porte sur les ondes acoustiques dans un tuyau élastique, avec une application à la circulation sanguine, et sur les ondes de grande longueur d'onde à la surface de l'eau, avec relation de dispersion et vitesses de phase et de groupe.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de physique 1 Mines-Ponts PC 2006 ?
+
Le jury relève un manque de rigueur dans les notations mathématiques, des applications numériques sans unité, un usage incorrect de la divergence sur une grandeur extensive, et un manque d'argumentation objective sur la validité du modèle.
L'épreuve de physique 1 Mines-Ponts PC 2006 est-elle difficile ?
+
Oui, le rapport signale que le sujet peut paraître long et que plusieurs questions centrales, notamment sur les ondes stationnaires et la validité du modèle en fin de sujet, ont été très peu traitées avec succès.
Le sujet de physique 1 Mines-Ponts PC 2006 nécessite-t-il de bien connaître son cours ?
+
Oui, le rapport insiste sur le fait que même les questions de cours doivent être justifiées et démontrées, une réponse du type confer cours étant jugée inacceptable.
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Commentaires• Mines Physique 1 PC 2006
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