Mines Mathématiques 2 PC 2006Sujet et rapport du jury

Q: Le sujet Mines maths 2 PC 2006 porte-t-il sur l'inégalité de Pólya-Szegö ?

Oui, tout le problème construit les outils d'algèbre linéaire nécessaires (racine carrée de matrice, inégalité de Kantorovitch) pour démontrer cette inégalité en conclusion.

Q: Le sujet Mines maths 2 PC 2006 est-il difficile ?

Le jury indique qu'il ne présentait aucune difficulté théorique mais exigeait une bonne maîtrise du calcul, avec plusieurs questions très discriminantes.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mines maths 2 PC 2006 ?

Des raisonnements par équivalence incomplets, des incohérences dimensionnelles comme la somme d'une matrice et d'un vecteur, et un cas d'égalité de Cauchy-Schwarz mal justifié.

Q: Ce sujet Mines PC maths 2 2006 nécessite-t-il de bien connaître les matrices symétriques ?

Oui, toute la partie préliminaire repose sur les matrices symétriques positives et définies positives, en particulier l'existence de leur racine carrée.

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Inégalité de Pólya-Szegö : matrices symétriques positives et inégalité de Kantorovitch

Le problème démontre l'inégalité de Pólya-Szegö encadrant le rapport entre produits scalaires de deux familles de réels. Les préliminaires établissent des propriétés de matrices symétriques positives, notamment l'existence d'une racine carrée matricielle. L'inégalité de Kantorovitch est ensuite démontrée puis utilisée, dans la troisième partie, pour obtenir l'inégalité de Pólya-Szegö.

1I. PréliminairesCaractérisation des matrices symétriques positives et définies positives par leurs valeurs propres, existence et unicité de la racine carrée A^(1/2) d'une matrice définie positive.
2II. Inégalité de KantorovitchEncadrement du produit (AX|X)(A^(-1)X|X) à l'aide des valeurs propres extrêmes de A, étude du cas d'égalité et optimalité de l'inégalité.
3III. Inégalité de Pólya-SzegöApplication de l'inégalité de Kantorovitch à deux matrices symétriques définies positives qui commutent, pour établir l'inégalité de Pólya-Szegö annoncée en introduction.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le problème ne présentait aucune difficulté sur le plan théorique, mais exigeait une bonne maîtrise des techniques de calcul usuelles, avec plusieurs questions particulièrement discriminantes.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Raisonnement par équivalence incomplet · Erreurs de cohérence dimensionnelle · Inclusion des noyaux rarement démontrée

Le problème couvrait une grande partie du programme d'algèbre linéaire sans difficulté théorique majeure, mais a permis de bien classer les candidats grâce à l'exigence de calcul. Le jury relève de nombreuses erreurs de cohérence dimensionnelle (somme d'une matrice et d'un vecteur ou d'un nombre, racine carrée d'un vecteur) et des raisonnements par équivalence incomplets, ne traitant qu'un seul sens.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Raisonnement par équivalence incomplet1, 2
Un seul des deux sens de l'équivalence est traité dans bon nombre de copies dès les premières questions des préliminaires.
« Un seul des sens de l'équivalence est traité dans bon nombre de copies »
2
Erreurs de cohérence dimensionnelle
Le jury a rencontré dans certaines copies des expressions incohérentes telles que la somme d'une matrice et d'un vecteur.
« la somme d'une matrice et d'un vecteur »
3
Inclusion des noyaux rarement démontrée4
Seules les bonnes copies parviennent à démontrer l'inclusion des noyaux liant les valeurs propres de A et de sa racine carrée C.
« Cette question a été particulièrement discriminante »
4
Cas d'égalité de Cauchy-Schwarz incomplet10
Les candidats qui utilisent le cas d'égalité oublient le plus souvent de montrer que le coefficient de proportionnalité est indépendant de X.
« oublient le plus souvent de montrer que le coefficient de proportionnalité est indépendant de X »
5
Positivité de la matrice N insuffisamment justifiée13
Beaucoup de candidats traitent cette question de façon insuffisante malgré son caractère assez direct.
« Beaucoup de candidats traitent la positivité de N de manière insuffisante »
6
Question la plus délicate rarement réussie16
Cette question, jugée la plus délicate du problème, a rarement été abordée avec succès par les candidats.
« Cette question était sans doute la plus délicate dans la mesure où elle a rarement été abordée avec succès »

Ce qui a été bien réussi

Les questions reprenant simplement une question précédente ont souvent été bien traitées.
Le signe du trinôme F(s) est traité convenablement dans beaucoup de copies.
Les dernières questions de la partie III, quand elles sont abordées, sont souvent bien traitées.

Conseils du jury

Expliciter les calculs du début à la fin avec une bonne organisation, sans raccourci abusif.
S'entraîner régulièrement au calcul, compétence indispensable dans une filière expérimentale.
Énoncer les théorèmes utilisés avec précision et vérifier leurs hypothèses avant de les appliquer.
Traiter systématiquement les deux sens d'un raisonnement par équivalence.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2006

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : $3$ heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'objectif de ce problème est de montrer la propriété suivante: soient deux familles de réels (

a_k, k = 1, \dots, n

) et (

b_k, k = 1, \dots, n

) satisfaisant

0 < a_1 ≤ a_k ≤ a_n et 0 < b_1 ≤ b_k ≤ b_n pour tout k ∈ {1, ⋯, n}

les inégalités suivantes sont vérifiées:

1 \leq (\sum_(k = 1)^n a_k^2\sum_(k = 1)^n b_k^2)/((\sum_(k = 1)^n a_k b_k)^2) \leq ((a_n b_n + a_1 b_1)^2)/(4a_1 b_1 a_n b_n).

On désignera dans tout le problème par:

$M_(n, p)$ l'espace des matrices réelles à $n$ lignes et $p$ colonnes. On note $0_(n, p)$ , la matrice nulle.
$M_n$ , l'ensemble des matrices réelles carrées d'ordre $n$ . On note $0_n$ , la matrice nulle.
$^t M$ la transposée d'une matrice $M$ .
$S_n$ , le sous-ensemble de $M_n$ , constitué des matrices symétriques d'ordre $n$ , c'est-à-dire les matrices $A$ qui satisfont $^t A = A$ .
$I_n$ la matrice identité d'ordre $n$ .
( $X|Y$ ) le produit scalaire de deux matrices colonnes.

On rappelle que pour toute matrice

A

M_(n, p)

et tout couple de matrices colonnes (

X, Y

) où

X \in M_(n, 1)

Y \in M_(p, 1)

, l'identité suivante est satisfaite:

(AX|Y) = (X|^t AY)

Définition 1 Une matrice

A

est dite positive lorsque pour tout

X

M_(n, 1)

(AX|X) \geq 0

. Une matrice

A

est dite définie positive lorsque pour tout

X \neq 0

M_(n, 1), (AX|X) > 0

I. Préliminaires

Dans cette partie,

A

est un élément de

S_n

Montrer que $A$ est positive si et seulement si les valeurs propres de $A$ sont toutes positives.
Montrer que $A$ est définie positive si et seulement si $A$ est positive et inversible.
Si $A$ est définie positive, montrer qu'il existe une matrice $C$ , symétrique définie positive telle que $C^2 = A$ .
Si $A$ et $C$ sont symétriques définies positives et $C^2 = A$ , montrer que, pour toute valeur propre $λ$ de $A$ , on a:

Ker(A - λI_n) = Ker(C - \sqrtλI_n).

En déduire que si $A$ est définie positive, il existe une unique matrice symétrique définie positive telle que $C^2 = A$ et que dans toute base de vecteurs propres de $A, C$ est diagonale.

On notera désormais

C = A^(1/2)

.
6) On suppose

A

définie positive. Montrer qu'il existe une unique matrice, notée

A^(- 1/2)

, symétrique définie positive telle que

A^(- 1/2)A^(- 1/2) = A^(- 1)

.
7) Prouver que

(A^(1/2))^(- 1) = A^(- 1/2)

.
8) Soit

B

une matrice symétrique positive qui commute avec

A

. Est-ce que

A^(1/2)

B^(1/2)

commutent?

II. Inégalité de Kantorovitch

Dans cette partie,

A

est une matrice fixée de

S_n

, définie positive. On range les valeurs propres de

A

, répétées suivant leur multiplicité, dans l'ordre croissant :

0 < λ_1 \leq \dots \leq λ_n

. On note

m

M

deux réels strictement positifs tels que

m \leq λ_1

λ_n \leq M

.
9) Pour tout élément

X \in M_(n, 1)

, montrer l'inégalité suivante:

(X|X)^2 \leq (AX|X)(A^(- 1)X|X)

Quelles sont les matrices pour lesquelles cette inégalité est une égalité pour tout $X$ de $M_(n, 1)$ ?

Soit

F

la fonction polynomiale qui à tout

s

ℝ

associe

F(s) = s^2 - (m + M).s + mM.

Quelles sont, en fonction de celles de $A$ , les valeurs propres de la matrice $F(A)$ ?
Montrer que toutes les valeurs propres de $F(A)$ sont de même signe. Préciser ce signe.
Soit $N$ la matrice définie par

N = - (A - (m + M)I_n + mMA^(- 1))

Montrer que

N

est symétrique positive.

Pour tout élément

X \in M_(n, 1)

, on considère l'application polynomiale

f

ℝ

dans

ℝ

défini par:

f(s) = (AX|X) \cdot s^2 - (m + M)(X|X) \cdot s + (A^(- 1)X|X)mM

Calculer $f(0)$ et $f(1)$ et montrer que $f(0)f(1) \leq 0$ .
Établir que pour tout $X \in M_(n, 1)$ , l'inégalité suivante est satisfaite:

(AX|X)(A^(- 1)X|X) \leq ((m + M)^2)/(4mM)(X|X)^2.

Soit $D = {(m, M) ∈ ℝ^2/0 < m ≤ λ_1 ≤ λ_n ≤ M}$ . Établir l'identité suivante:

inf_D((m + M)^2)/(mM) = ((λ_1 + λ_n)^2)/(λ_1 λ_n).

On suppose que $A$ n'est pas une homothétie. On considère $X_1$ (respectivement $X_n$ ) un vecteur colonne propre, de norme 1, pour la valeur propre $λ_1$ (respectivement $λ_n$ ). On pose $X = X_1 + X_n$ . Calculer

((AX|X)(A^(- 1)X|X))/((X|X)^2).

Que peut-on en déduire sur l'inégalité (3)?

III. Inégalité de Pólya-Szegö

On suppose dorénavant que

A_1

A_2

sont deux matrices symétriques, définies positives qui commutent. On note

m_i

(respectivement

M_i

), la plus petite (respectivement la plus grande) valeur propre de

A_i

, pour

i = 1, 2

. On pose

D = A_1 A_2^(- 1)

.
19) Déterminer un réel

α

tel que pour tout élément

X

M_(n, 1)

, l'inégalité suivante soit satisfaite:

(DX|X)(D^(- 1)X|X) \leq α(X|X)^2.

Exprimer $(D(A_1 A_2)^(1/2)X|(A_1 A_2)^(1/2)X)$ en fonction de $A_1 X$ , pour tout $X \in M_(n, 1)$ .
Montrer que pour tout $X \in M_(n, 1)$ , l'inégalité suivante est satisfaite:

(A_1 X|A_1 X)(A_2 X|A_2 X) \leq α(A_1 X|A_2 X)^2.

Établir la relation (1).

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions

Le sujet Mines maths 2 PC 2006 porte-t-il sur l'inégalité de Pólya-Szegö ?

Oui, tout le problème construit les outils d'algèbre linéaire nécessaires (racine carrée de matrice, inégalité de Kantorovitch) pour démontrer cette inégalité en conclusion.

Le sujet Mines maths 2 PC 2006 est-il difficile ?

Le jury indique qu'il ne présentait aucune difficulté théorique mais exigeait une bonne maîtrise du calcul, avec plusieurs questions très discriminantes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mines maths 2 PC 2006 ?

Des raisonnements par équivalence incomplets, des incohérences dimensionnelles comme la somme d'une matrice et d'un vecteur, et un cas d'égalité de Cauchy-Schwarz mal justifié.

Ce sujet Mines PC maths 2 2006 nécessite-t-il de bien connaître les matrices symétriques ?

Oui, toute la partie préliminaire repose sur les matrices symétriques positives et définies positives, en particulier l'existence de leur racine carrée.

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