Mines Physique 1 PC 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

A 2005 PHYS. I

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PC

PHYSIQUE I -PC

• Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
• Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement.
• Notations : vecteur → V (on pourra écrire V⃗ ); vecteur unitaire de la coordonnée c : c^.

CHAUFFAGE PAR MICRO-ONDES

Formulaire

• Moment M du champ extérieur E(t) sur le dipôle p : M = p ∧ E.
• Valeur moyenne temporelle de la grandeur G : on convient que G¯ = lim_(T → ∞)1/T∫_0^T G(t)dt.
  — Valeur moyenne d'ensemble (spatiale) (sommation sur les N molécules) : ⟨G⟩ = 1/N∑_(i = 1)^N G_i.
• Soit X un vecteur attaché à un solide en mouvement et Ω le vecteur rotation instantanée de ce solide : (dX)/(dt) = Ω ∧ X.
• Produit mixte : (a, b, c) = (a ∧ b).c = (b ∧ c).a = (c ∧ a).b.

Grandeurs fondamentales

I. Relaxation diélectrique

• 2-Lorsqu'un très grand nombre de telles molécules est soumis à un champ électrique uniforme et constant E = Ez^, on constate que, à l'équilibre thermodynamique à la température T, tout se passe comme si chaque molécule adoptait le même moment dipolaire électrique, nommé moment dipolaire moyen et noté ⟨p⟩_(éq.). Ce moment dipolaire moyen dépend de la température T. La température T détermine aussi les fluctuations de moment autour de sa valeur moyenne. Lorsque le champ est suffisamment faible, on pose ⟨p⟩_(éq.) = ε_0 αE, ce qui définit la polarisabilité α. Quelle est la dimension de la polarisabilité ?
  _3 - Le modèle de Debye indique que, en régime transitoire, ⟨p⟩ est une fonction du temps vérifiant l'équation différentielle

Fig. 1 : p^′ = Re(p) et p^(′′) = Im(p)

Fig. 2 : Moyenne temporelle de Π_i(t)

Échanges énergétiques

• 4- Soit Ω_i(t) le vecteur rotation instantanée de la molécule n^∘i et p_i(t) son moment dipolaire instantané. En admettant l'égalité ⟨(dp_i)/(dt)⟩ = (d⟨p_i⟩)/(dt), exprimer π_i(t), puissance cédée par le champ à cette molécule, d'abord en fonction de p_i(t), E(t) et Ω_i(t), puis en fonction de (dp_i)/(dt) et de E(t). En déduire l'expression de la valeur instantanée de la puissance fournie par le champ électrique à un échantillon comportant un nombre élevé, N, de molécules: Π_(inst.)(t) = NE ⋅ ⟨(dp_i)/(dt)⟩.
• 5 - Exprimer Π¯, moyenne temporelle de Π_(inst), en fonction de E_m, ε_0, α, N et ωτ. Commenter la Fig. 2, qui donne la valeur normalisée de π¯(ωτ) = (Π¯(ωτ))/(Π¯_(max)).
• 6 - La pulsation du champ électrique est ω = 10^(10) s^(− 1). Ce champ est appliqué à un échantillon d'eau liquide, dont le temps de relaxation est τ_(liq.) = 10^(− 11) s et à un échantillon de glace de même masse, mais dont le temps de relaxation est τ_(gla.) = 10^(− 4) s. On suppose que les polarisabilités « α≫ de l'eau liquide et de la vapeur d'eau sont du même ordre de grandeur. Comment expliquer, pour le même matériau, l'inégalité τ_(solide)≫τ_(liquide) ? Calculer le rapport des puissances fournies (Π¯_(liq))/(Π¯_(gla)). L'eau liquide étudiée est contenue dans un récipient de verre; ce dernier reste froid. Un récipient en faïence ressort brûlant. Que peut-on en déduire?

II Interaction d'un milieu aqueux avec une onde centimétrique

où n est l'indice du milieu (supposé transparent) pour la fréquence f. L'amplitude de l'onde à son entrée dans le matériau, en x = 0, est notée E_0 = E_m(0). Dans un tel milieu, la moyenne temporelle du vecteur de Poynting R s'exprime par R^– = n/(2μ_0 c_0)E_m^2(x)z^. Il résulte de l'étude précédente que la puissance volumique moyenne fournie au matériau par le champ électromagnétique est de la forme Π¯_(vol) = DE_m^2.

• 7-Effectuer un bilan énergétique pour un élément d'échantillon d'aire S et d'épaisseur élémentaire dx et en déduire la fonction E_m(x). Le résultat fait apparaître une longueur caractéristique, L, dont on vérifiera qu'elle est de l'ordre de 2 cm .
  _ 8 - Quel est l'avantage, dans un four à micro-ondes, d'avoir des parois réfléchissantes ? Pourquoi le plateau est-il tournant?
• 9 - Une préparation de masse m est cuite dans un four classique en un temps Θ_(CL)^((m)) et en un temps Θ_(MO)^((m)) dans un four à micro-ondes. On convient que la cuisson est atteinte lorsqu'un point central de l'aliment atteint une température convenue. Estimer, par des arguments dimensionnels, les temps de cuisson Θ_(CL)^((2m)) et Θ_(MO)^((2m)) pour une préparation semblable à la première, mais de masse 2m (quitte à critiquer cette hypothèse, on pourra supposer que la dimension caractéristique de la préparation est petite devant la dimension caractéristique L de la question précédente).

III. Transferts thermiques

Profils de température

Un échantillon de matériau aqueux est placé dans un four à micro-ondes. La conductivité thermique K, la capacité thermique massique c et la masse volumique ρ de l'échantillon sont supposées être indépendantes de la température. Cet échantillon est parallélépipédique, d'aire S et d'épaisseur 2e, suffisamment faible pour que l'on puisse admettre que le problème reste unidimensionnel (selon x ) et que la valeur maximale du champ électrique, E_m, soit la même en tout point. Il s'agit de déterminer le profil de température T(x, t).

_ 10 - Ces hypothèses vous semblent-elles toutes être réalistes?
La température du milieu extérieur, T_0, est supposée constante. La température d'interface est notée T_s(t) = T(− e, t) = T(e, t). Les échanges thermiques au niveau des interfaces sont modélisés par la loi Φ_s = gS[T_s(t) − T_0] = j_(Th)S, qui exprime la puissance sortant du matériau en faisant intervenir le flux thermique, de grandeur j_(Th), et le coefficient d'échange thermique g.

• 11 - Établir l'équation aux dérivées partielles (EDP) relative au profil de température T(x, t). Donner l'expression des flux thermiques aux limites, j_(Th)(− e, t) et j_(Th)(e, t), en fonction de g et de T_s(t) − T_0.
• 12 - Déterminer l'expression et tracer l'allure du graphe de T_P(x), profil de température dans l'échantillon en régime permanent, en fonction de T_p(e), x et des paramètres pertinents du système. Établir les relations

• 13 - La température initiale étant, en tout point, T_0, on cherche les conditions sous lesquelles l'équation aux dérivées partielles établie à la question 11 admet une solution de la forme :

Séchage

• montée en température,
• début d'apparition des bulles de vapeur,
• expulsion d'eau liquide hors de V_T au fur et à mesure que la vapeur d'eau se forme,
• et fin de la vaporisation.
  _ 16 − - Calculer la valeur t_E de l'instant d'apparition des premières bulles de vapeur. Calculer la température de surface à cet instant.
  _ 17 -Cette vapeur est un gaz parfait, dont la pression de vapeur saturante reste égale à la pression atmosphérique ( ≈ 10^5 Pa ). La constante des gaz parfaits est R = 8, 31 J ⋅ mol^(− 1) ⋅ K^(− 1). Calculer la masse d'eau vaporisée pendant l'expulsion.
  _ 18 - À l'issue de cette phase, l'eau liquide et la vapeur sont à la même température, de 100^∘C. Calculer, avec cette hypothèse, la durée t_X de la brusque expulsion d'eau liquide qui intervient au début de la vaporisation. L'enthalpie massique de vaporisation de l'eau à 100^∘C est L_V = 2, 2 × 10^6 J.kg^(− 1). La durée calculée est, sans doute, largement inférieure à celle que l'on aurait pu attendre. Quelles sont les hypothèses les plus suspectes de ce modèle?

FIN DE CE PROBLÈME

FIN DE L'ÉPREUVE