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Mines Mathématiques 1 PC 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

Étude spectrale d'un opérateur de transfert

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Présentation du sujet

Difficile
Étude spectrale d'un opérateur de transfert
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Le problème étudie les propriétés spectrales d'un opérateur de transfert T sur l'espace des fonctions continues et 1-périodiques, restreint à divers sous-espaces stables. L'objectif est de mettre en évidence la propriété de « trou spectral » : les valeurs propres de T autres que 1 sont de module inférieur ou égal à un réel r strictement inférieur à 1.

  1. 1I. PréliminairesÉtablir la stabilité de C0 et de l'hyperplan H0 par T, et expliciter la projection P sur D parallèlement à H0.
  2. 2II. Fonctions trigonométriquesÉtudier T restreint aux sous-espaces En engendrés par les fonctions trigonométriques, ses valeurs propres, ses coefficients de Fourier et son noyau.
  3. 3III. Fonctions höldériennesUtiliser une inégalité sur l'exponentielle complexe pour étudier T sur les fonctions höldériennes et établir le trou spectral.

Difficile. Le rapport signale une moyenne bien inférieure à 9 sur 20 pour l'ensemble de la banque Mines Ponts, en retrait par rapport à l'année précédente, et des lacunes sur les définitions de base.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Vecteur propre non vérifié comme non nul · Énoncé mal lu · Exponentielle complexe mal manipulée
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L'épreuve passe en revue des connaissances classiques d'algèbre linéaire et d'analyse pour étudier les propriétés spectrales d'un opérateur de transfert. Le barème équilibré a permis un bon étalement des notes, mais la moyenne reste bien inférieure à 9 sur 20, avec un manque de préparation et des connaissances trop approximatives chez de nombreux candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Vecteur propre non vérifié comme non nul

    Peu de candidats s'assurent qu'un vecteur propre doit être non nul.

    « Peu de candidats s'assurent par exemple qu'un vecteur propre doit être non nul »
  2. 2
    Énoncé mal lu

    De nombreux candidats oublient que C0 est l'espace des fonctions continues et 1-périodiques, pourtant précisé dans l'énoncé.

  3. 3
    Exponentielle complexe mal manipuléeQ6

    Une majorité de candidats a des difficultés à manipuler l'exponentielle complexe, avec des erreurs conservées sur plusieurs lignes.

    « on note aussi la difficulté d'une majorité de candidats à manipuler l'exponentielle complexe »
  4. 4
    Définition des coefficients de Fourier inexacteQ8

    La définition des coefficients de Fourier apparaît souvent inexacte, avec une confusion entre une fonction et son développement en série de Fourier.

    « Trop souvent la définition des coefficients de fourier apparait inexacte »
  5. 5
    Stabilité mal définie

    Beaucoup de candidats ne connaissent pas la définition de la stabilité ou n'en ont qu'une vague idée, et confondent borne supérieure et maximum.

    « Beaucoup de candidats ne connaissent pas la définition de la stabilité ou ont une vague idée »
  6. 6
    Notion de trou spectral peu compriseQ19

    Une minorité infime de candidats a répondu correctement à la dernière question et a compris la notion de trou spectral.

    « Une minorité infime de candidats a répondu correctement à la question 19 »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 3 des préliminaires a été mieux traitée, malgré des erreurs dans le changement de variables et les bornes d'intégration.
  • Le début de la question 6 a été correctement traité.
  • La question 11 a été bien traitée par les candidats ayant correctement traité la question 2.

Conseils du jury

  • Lire attentivement l'énoncé, y compris les précisions données sur les espaces de fonctions.
  • Vérifier systématiquement les hypothèses d'un résultat, comme la non-nullité d'un vecteur propre.
  • Citer explicitement les théorèmes utilisés, par exemple celui de la convergence normale.
  • Soigner la rigueur des raisonnements par récurrence jusqu'à leur terme.
  • Travailler les calculs élémentaires sans calculatrice pour limiter les erreurs de manipulation.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2009

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Étude spectrale d'un opérateur de transfert

Soit V un C-espace vectoriel et T un endomorphisme de V : on dira que le complexe λ est une valeur propre de T s'il existe un élément f de V non nul tel que Tf = λf.
Soit C^0 l'espace des fonctions de R dans C qui sont continues et 1 -périodiques. Cet espace est normé par
‖f‖_∞ = sup{|f(x)|, x ∈ R}.
On désigne par e_0 la fonction constante égale à 1 sur tout R et par D le sous-espace vectoriel de C^0 engendré par e_0.
Si f ∈ C^0 on définit
Tf(x) = 1/2(f(x/2) + f((x + 1)/2))
L'objet du problème est l'étude des propriétés spectrales de diverses restrictions de T à des sous-espaces invariants de C^0. On mettra notamment en évidence sur certains de ces espaces la propriété de «trou spectral» : il existe 0 < r < 1 tel que les valeurs propres autres que 1 sont de module inférieur ou égal à r.

I Préliminaires

  1. Montrer que si f appartient à C^0 alors Tf aussi.
  2. Montrer que pour tout élément f de C^0 on a l'inégalité ‖Tf‖_∞ ⩽ ‖f‖_∞ puis que
sup_(‖f‖_∞ = 1)‖Tf‖_∞ = 1
On appelle H^0 l'hyperplan de C^0 des fonctions f telles que
∫_0^1 f(t)dt = 0
  1. Montrer que H^0 est stable par T.
  2. Expliciter la projection P sur D parallèlement à H^0.

II Fonctions trigonométriques

Pour tout entier relatif k, on note e_k(x) = e^(2iπkx) de sorte que e_k est continue et 1-périodique, c'est-à-dire que e_k appartient à C^0. Pour tout entier n, on désigne par E_n le sous-espace de C^0 engendré par e_0, e_1, e_(− 1), ⋯, e_n, e_(− n).
5) Déterminer Te_k (respectivement Pe_k ) pour tout entier relatif k et en déduire que les espaces E_n sont T-stables (respectivement P-stables).
On note T_n (respectivement P_n ) l'endomorphisme de E_n induit par T (respectivement par P ).
6) Calculer les valeurs propres de T_2. L'endomorphisme T_2 est-il diagonalisable ?
7) Soit n ∈ N^∗ et k l'unique entier tel que 2^(k − 1) ⩽ n < 2^k. Montrer pour tout entier p ⩾ k, l'identité suivante :
T_n^p = P_n
  1. Calculer les coefficients de Fourier de Tf en fonction de ceux de f pour tout f ∈ C^0.
  2. Déterminer le noyau de T.

III Fonctions höldériennes

On rappelle que pour tous les réels x et y,
|e^(ix) − e^(iy)| ⩽ |x − y|
Soit α ∈ ]0, 1[. On appelle C^α le sous-espace de C^0 des fonctions f telles que
{(|f(x) − f(y)|)/(|x − y|^α)/(x, y) ∈ R^2, x ≠ y} soit majoré.
On notera alors
m_α(f) = sup{(|f(x) − f(y)|)/(|x − y|^α)/(x, y) ∈ R^2, x ≠ y}.
On admettra que
‖f‖_α = m_α(f) + ‖f‖_∞
définit une norme sur C^α.
10) Montrer que C^α est stable par T.
On note T_α l'endomorphisme de C^α induit par T.
11) Montrer que pour tout f ∈ C^α, ‖T_α f‖_α ⩽ ‖f‖_α puis que sup_(‖f‖_α = 1)‖T_α f‖_α = 1.
Soit λ un nombre complexe de module strictement inférieur à 1 . On pose, pour tout réel x,
S_n(x) = ∑_(k = 0)^n λ^k e_(2^k)(x)
  1. Montrer que la série de fonctions ∑_k λ^k e_(2^k) converge normalement sur R vers une fonction f_λ ∈ C^0.
On admettra, que dans ce cas, la suite ( S_n, n ⩾ 0 ) converge dans l'espace vectoriel (C^0, ‖‖_∞) vers f_λ :
lim_(n → + ∞)‖S_n − f_λ‖_∞ = 0
  1. Montrer qu'alors Tf_λ = λf_λ. Est-ce que λ est une valeur propre de T ?
  2. Soit maintenant λ tel que |λ| ⩽ 2^(− α) et deux réels x et y tels que
2^(− n − 1) < |x − y| ⩽ 2^(− n)
En considérant séparément les sommes avec k ⩽ n et k > n dans la série ayant pour valeur f_λ(x) − f_λ(y), montrer que f_λ ∈ C^α.
15) Montrer que T_α laisse invariant H^α = H^0 ∩ C^α.
16) Soit f ∈ C^0, montrer que
T^n f(x) = 2^(− n)∑_(k = 0)^(2^n − 1)f(k2^(− n) + x2^(− n))
  1. Établir, pour f ∈ C^α, l'inégalité suivante :
sup_(x ∈ [0, 1])|T_α^n f(x) − ∫_0^1 f(t)dt| ⩽ 2^(− nα)m_α(f)
  1. Montrer que si f ∈ H^α alors pour tout entier n, l'inégalité suivante est vérifiée :
‖T_α^n f‖_α ⩽ 2^(1 − nα)‖f‖_α
  1. En déduire que l'ensemble des valeurs propres de T_α est la réunion du singleton {1} et du disque fermé de centre 0 et de rayon 2^(− α) (phénomène de trou spectral).

Fin du problème

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 Mines PC 2009 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 Mines PC 2009 ?

Le sujet porte sur l'algèbre linéaire et les séries de Fourier, à travers l'étude spectrale d'un opérateur de transfert sur les fonctions continues et 1-périodiques.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury relève un manque de rigueur sur les vecteurs propres, une définition imprécise des coefficients de Fourier et des difficultés à manipuler l'exponentielle complexe.

Le sujet Mathématiques 1 Mines PC 2009 est-il difficile ?

Le rapport indique une moyenne bien inférieure à 9 sur 20 pour l'ensemble de la banque Mines Ponts, en retrait par rapport à l'année précédente.

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