Séparateur magnétique à ferrofluides et lignes de transmission électriques
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Le premier problème étudie un séparateur magnétique à ferrofluide pour trier des particules selon leur masse volumique : cycle d'hystérésis, champ créé par un électroaimant à pièces polaires profilées, force et pression magnétiques dans le fluide, puis trajectoires des particules qui y sont plongées. Le second problème étudie la propagation du courant et de la tension le long d'une ligne de transmission, en régime sinusoïdal permanent, via l'impédance caractéristique et les coefficients de réflexion en présence d'une charge et d'un générateur.
1Problème I, sections 1-2 : hystérésis et séparateur magnétiqueOn rappelle la notion de cycle d'hystérésis d'un matériau ferromagnétique, puis on détermine, par le théorème d'Ampère, le champ d'excitation magnétique créé par un électroaimant dont les pièces polaires sont profilées pour obtenir un gradient uniforme.
2Problème I, sections 3-4 : force et pression magnétiquesOn explique la lévitation d'un corps non magnétique dans un ferrofluide soumis à un champ non uniforme, puis on établit l'expression de la force et de la pression magnétiques exercées sur le fluide et sur un petit corps immergé.
3Problème I, section 6 : trajectoires des particules dans le séparateurOn établit l'équation du mouvement d'une petite particule lancée dans le séparateur magnétique et on détermine sa trajectoire ainsi que la masse volumique minimale des particules qui peuvent être séparées.
4Problème II : lignes de transmissionOn établit les équations couplées vérifiées par la tension et le courant le long d'une ligne de transmission modélisée par un quadripôle élémentaire, on étudie leur solution en régime sinusoïdal permanent à l'aide de l'impédance caractéristique, et on analyse la réflexion des ondes en présence d'une charge et d'un générateur.
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L'utilisation des calculatrices est autorisée - Les deux problèmes sont indépendants.
PROBLEME I - SEPARATEUR MAGNETIQUE A FERROFLUIDES
Un fluide magnétique est une suspension colloïdale, stable et homogène, de particules ferromagnétiques de diamètre moyen inférieur à 10 nm dans un fluide de base. Le liquide de base confère au ferrofluide ses propriétés hydrodynamiques, tandis que les particules ferromagnétiques assurent une perméabilité magnétique relative de l'ordre des unités.
La relation entre les vecteurs B⃗ et H⃗ est B⃗ = μ_0(H⃗ + M⃗), où B⃗ représente le champ magnétique, H⃗ l'excitation magnétique et M⃗ le vecteur aimantation. La relation M = M(H) linéarisée est donnée dans la figure 1: M = {χ_m H pour H < H_0; χ_m = 2; M_S pour H > H_0; μ_0 M_S = 40mT
où χ_m est la susceptibilité magnétique du ferrofluide.
Les vecteurs B⃗, M⃗ et H⃗ sont colinéaires et B , M et H représentent le module des vecteurs. On peut donc écrire, pour un fluide non saturé ( H < Ho ) : B = μ_0(1 + χ_m)H = μ_0 μ_r H = μH
Fig. 1
I. 1 Questions préliminaires
I.1.1 Qu 'est ce qu'un cycle d'hystérésis pour un milieu ferromagnétique ? Définir l'induction rémanente Br et le champ coercitif Hc.
I.1.2 Donner le schéma d'un dispositif expérimental permettant d'obtenir le cycle d'hystérésis d'un matériau ferromagnétique. Préciser en particulier comment sont déterminées les grandeurs mises en jeu dans le cycle.
I.1.3 Que représente l'aire du cycle d'hystérésis pour un milieu ferromagnétique ?
I. 2 - Le séparateur magnétique
Le séparateur magnétique est un dispositif qui permet de séparer des particules fines non magnétiques, de densités différentes. Il s'agit d'un électroaimant dont les pièces polaires ont une forme y = y(z), permettant d'obtenir entre celles-ci un gradient uniforme de la norme du vecteur excitation magnétique H
grad^(→−)H = C_0 u⃗_z
Entre les pièces polaires se trouve un fluide magnétique, dans lequel on introduira les particules à séparer (figure 2).
Fig. 2
Dans le domaine du fluide magnétique (ferrofluide), on considère l'excitation magnétique H⃗ = H(z)u⃗_y et on néglige la circulation de l'excitation magnétique dans le fer de l'électroaimant et les effets de bord. Le champ magnétique est produit par une bobine ayant N spires parcourues par le courant i .
I.2.1 Pourquoi la circulation de H⃗ dans le fer est-elle négligeable ?
I.2.2 Appliquer le théorème d'Ampère pour déterminer H(z) en fonction de y, N, i.
I.2.3 Déterminer H(z) si: grad^(→−)H = C_0 u⃗_z avec les conditions aux limites :
z = 0, 2y = D; z = h, 2y = d
Poser H(z) sous la forme
H(z) = Ni(az + b)
Expliciter les constantes a, b et Co en fonctions de D, h, d et calculer leur valeur numérique.
I.2.4 Trouver la forme des pièces polaires y = y(z).
I.2.5 Quelle doit être la valeur maximale du nombre d'ampères tours ( N i) pour que l'excitation magnétique H soit inférieure à Ho à l'intérieur du fluide magnétique.
I. 3 - Lévitation d'une petite particule dans un fluide magnétique
On considère un corps de masse volumique ρ supérieure à la masse volumique du fluide magnétique ρ_1 (fig. 3а).
Fig.3a
Expliquer pourquoi le corps de perméabilité μ_0 peut remonter à la surface du fluide magnétique en présence d'un champ magnétique non uniforme (fig. 3b).
I. 4 - Force volumique et pression dans un fluide magnétique
I.4.1 La force magnétique subie par un dipôle rigide de moment magnétique m⃗, placé dans le champ magnétique B^← = μ_0 H⃗ régnant entre les pièces polaires de l'électroaimant, est donnée par la
relation :
f⃗_1 = grad^(→−)(m⃗ ⋅ B⃗)
Considérant m⃗ aligné suivant la direction du champ extérieur B⃗, exprimer la force f⃗_1, en fonction de m et de H(z).
Commenter la direction et le sens de cette force.
On étudie maintenant la force subie par le ferrofluide, considéré comme un ensemble homogène de dipôles alignés suivant la direction du champ extérieur.
I.4.2 Définir le vecteur aimantation M⃗ du ferrofluide.
I.4.3 Etablir l'expression de la force magnétique f⃗ qui s'exerce sur l'unité de volume de ferrofluide situé dans le champ magnétique de l'électroaimant en fonction de M et de H(z).
I.4.4 Le ferrofluide étant au repos, montrer qu'il existe une contribution p_m des forces magnétiques à la pression régnant dans le ferrofluide ; p_m sera appelée pression magnétique.
Donner la relation liant p_m à f⃗. On pourra utiliser l'analogie avec l'équilibre d'un fluide dans le champ de pesanteur.
Commenter la direction et le sens du gradient de p_m.
I. 5 Force exercée sur un corps immergé.
Un petit corps de perméabilité magnétique μ_0, de volume v , dont la présence ne modifie pas l'excitation magnétique H, se trouve dans le ferrofluide du séparateur (fig. 4).
Fig. 4
I.5.1 En utilisant la question I.4.4, exprimer la force résultante F⃗_m due à la pression magnétique et subie par le petit corps, en fonction de M et H(z). Quelle est l'analogie avec la poussée d' Archimède ?
Commenter la direction et le sens de F⃗_m.
Donner l'expression de F⃗_m sous la forme : F⃗_m = {− v(Ni)^2(A_1 z + A_2)u⃗_z pour H < H_0; − vNiC_1 u⃗_z pour H > H_0
Expliciter les constantes A_1, A_2, C_1.
Pour la suite on prendra
L'énergie magnétique du système considéré est localisée entre les pièces polaires avec une densité volumique W_m = (μH^2)/2 dans le fluide magnétique, et (μ_0 H^2)/2 dans le petit corps.
I.5.2 On note: v_1 le volume du fluide magnétique v le volume du petit corps
et V = v_1 + v
Le corps étant très petit, on peut considérer que l'énergie magnétique dans le domaine du corps est (μ_0 H(z)^2)/2v, où z est la position du centre de masse du corps.
Exprimer l'énergie magnétique du système comme la somme de deux termes, dont l'un sera indépendant de z et se calcule comme une intégrale sur V , et l'autre fonction de z .
I.5.3 Retrouver, par des considérations énergétiques, l'expression de la force F⃗_m.
I.6. Trajectoires des particules dans le séparateur magnétique
On considère un petit corps de perméabilité μ_0, de masse m , volume v et masse volumique ρ, lancé à l'instant t = 0 avec la vitesse initiale V⃗_0 = V⃗_(Ox) + V⃗_(Oz) dans la zone active du séparateur (figure 5).
Fig. 5
On note ρ_1 la masse volumique du fluide et on néglige la force que le fluide oppose au mouvement du petit corps.
I.6.1 Ecrire l'équation différentielle satisfaite par r⃗(t) avec r⃗ = OM^(→−).
I.6.2 On considère le cas H > Ho et on note ρ_l^′ = ρ_l + (NiC_1)/g la masse volumique apparente du fluide magnétique en présence du champ magnétique.
Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire du petit corps x(t) et z(t).
On considère maintenant V⃗_0 = V_0 u⃗_x et on note x∗ la valeur de x pour z = h.
I.6.3 Montrer que dans le cas H > Ho
x^∗ = V_0[(zh)/(g(1 − (ρ_l^′)/ρ))]^(1/2)
1.6.4 Calculer le nombre d'ampères tours N i pour lequel le petit corps reste à la surface du fluide magnétique.
Application numérique: ρ_l = 1500 kg/m3; ρ = 8900 kg/m3 et g = 9, 81 m/s^2
I.6.5 Déterminer z = z(x) pour H < Ho et représenter qualitativement z = z(x).
On note ρ^(′′)_l = ρ + ((Ni)^2 A_2)/g
I.6.6 Pour h < 2g(ρ − ρ^(′′)_l)/(A_1(Ni)^2), donner l'expression de x^∗.
A, (Ni)
I.6.7 Pour Ni = 300 Ampères tours, calculer la valeur minimale ρ_(min) de la masse volumique des particules qui peuvent être séparées.
PROBLEME II - LIGNES DE TRANSMISSION
Dans beaucoup d'applications techniques, l'approximation des paramètres «concentrés» pour l'étude des circuits n'est plus valable. En électroénergétique, comme en télécommunication, la transmission à grandes distances de l'énergie électromagnétique, comme des signaux électriques, se fait à l'aide de conducteurs filiformes parallèles de longueur beaucoup plus grande que la distance qui les sépare. Ce sont les lignes longues ou lignes de transmission.
Pour déterminer la tension u(x, t) et le courant i(x, t) dans une ligne de transmission (figure 1),
Fig. 1
on modélise un élément de longueur dx par le quadripôle représenté dans la figure 2.
Fig. 2
où Ro, Lo, Go, et Co représentent respectivement la résistance, l'inductance, la conductance et la capacité par unité de longueur de ligne. Les bornes 1-l'et 2-2' représentent respectivement l'entrée et la sortie d'une ligne de longueur 1.
II.1. Déterminer le système d'équations aux dérivées partielles satisfait par u(x, t) et i(x, t) en appliquant les lois des mailles et des noeuds sur le quadripôle de la figure 2.
II.2. A quelles grandeurs locales du champ électromagnétique correspondent les grandeurs intégrales u(x, t) et i(x, t) ?
Pourquoi le mode de propagation réalisé par ce système s'appelle transverse électromagnétique (TEM) ?
II.3. On considère, pour une ligne de longueur 1 , le régime sinusoïdal permanent.
On note: γ_–^2 = (R_0 + jωL_0)(G_0 + jωC_0)
avec γ = α + jβ; α = α(ω) > 0; β = β(ω) > 0 où γ est la constante de propagation, α la constante d'atténuation, β la constante de phase. A une grandeur sinusoïdale : u(x, t) = U(x)√2cos(ωt + φ(x)), on associe l'image complexe U_–(x) = U(x)e^(jφ(x)).
II.3.1 Ecrire le système d'équations différentielles satisfait par U_–(x) et I_–(x), puis l'équation différentielle satisfaite par U_–(x).
II.3.2 Exprimer les solutions U_–(x) et I_–(x) en fonction de deux constantes A_–_1 et A_–_2, de γ et de l'impédance caractéristique de la ligne Z_–_C = √((R_0 + jωL_0)/(G_0 + jωC_0)); on posera Z_0 = √((L_0)/(C_0))
II.3.3 Interpréter chaque terme de la solution U_–(x) et donner leur expression en fonction de x et de t. Préciser la vitesse de phase et la longueur d'onde.
II.4. Pourquoi le fait que la vitesse de phase v dépende de ω est dérangeant pour une communication téléphonique? Montrer que si (R_0)/(L_0) = (G_0)/(C_0), la ligne devient sans dispersion.
II.5. Déterminer U_–(x) et I_–(x) en fonction de U_–_1 = U_–(o) et I_–_1 = I_–(o).
II.6. Entre les bornes 2-2', on branche un dipôle d'impédance Z_–.
Calculer l'impédance d'entrée Z_–_e = (U_–_1)/(I_–_1) en fonction de Z_–, Z_–_C, γ_–
Que devient cette expression pour une ligne sans atténuation ( Ro = 0; Go = 0 )? Exprimer U_–(x) et I_–(x) dans ce cas.
II.6.1 Pour une ligne sans atténuation de longueur l = λ/4, déterminer Ze_– si entre le bornes 2-2' on branche un condensateur de capacité C .
II.6.2 Pourquoi un générateur n'apprécie pas une ligne de longueur l = λ/4, sans atténuation, connectée à ses bornes 1-1'?
II. 7 On considère le montage suivant
II.7.1 Déterminer le courant I_–(x) en fonction de E_–, Zg_–, Zc_– et des coefficients de réflexion en
courant ρ_–_1 = (Z_–_C − Z_–)/(Z_–_C + Z_–) côté charge et ρ_–_2 = (Z_–_C − Z_–_g)/(Z_–_C + Z_–_g) côté générateur.
On note I_–_0 = (E_–)/(Z_–_g + Z_–_C) et α = ρ_1 ρ_2 e^(− 2γ_–l)
II.7.2 Pour des charges Z_– passives |α| < 1.
En développant 1/(1 − α) en série, interpréter les termes de I_–(x).
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de physique 2 PC CCINP 2000 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de physique 2 PC CCINP 2000 ?
+
Le premier problème porte sur le magnétisme dans la matière (hystérésis, force magnétique, ferrofluides) et le second sur la propagation guidée le long d'une ligne de transmission électrique.
Les deux problèmes sont-ils indépendants ?
+
Oui, l'énoncé précise explicitement que les deux problèmes sont indépendants.
Comment fonctionne le séparateur magnétique étudié dans le problème I ?
+
Un électroaimant crée dans un ferrofluide un gradient uniforme d'excitation magnétique, qui exerce sur les particules non magnétiques plongées dans le fluide une force dépendant de leur masse volumique, permettant de les trier selon leur trajectoire.
Qu'est-ce que l'impédance caractéristique étudiée dans le problème II ?
+
C'est l'impédance qui relie tension et courant pour une onde progressive se propageant seule le long de la ligne de transmission, utilisée pour exprimer l'impédance d'entrée de la ligne et les coefficients de réflexion aux extrémités.
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Commentaires• CCINP Physique 2 PC 2000
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