Corrigé détaillé Mines Physique 2 PC 2024 (page 2/2 : Partie II (questions 21 à 25) et partie III)

Le bateau B est animé d'un mouvement rectiligne uniforme de vitesse \vec{V} = V_0 \widehat{e}_x dans le référentiel (\mathcal{R}_0). Comme B est en O à l'instant t=0, sa position à l'instant t est donnée par :

Les axes du référentiel (\mathcal{R}) = (Bxyz) étant parallèles à ceux de (\mathcal{R}_0), la relation de Chasles s'écrit :

D'où l'expression du vecteur position \vec{r}' de P dans (\mathcal{R}) :

Les coordonnées du point P dans le référentiel (\mathcal{R}) sont donc :

soit vectoriellement :

Dans le référentiel (\mathcal{R}_0), la surface de l'eau oscille selon :

En y injectant \vec{r} = \vec{r}' + \vec{V} t, on obtient l'amplitude de l'onde exprimée dans le référentiel (\mathcal{R}) du bateau :

D'après la question Q21, l'élévation de la surface de l'eau en un point de vecteur position \vec{r}\,' dans le référentiel (\mathcal{R}) lié au bateau s'écrit :

Pour un observateur lié au bateau, le sillage présente une structure permanente et stationnaire dans le temps. La hauteur d'eau Z(\vec{r}\,', t) en une position \vec{r}\,' donnée de (\mathcal{R}) est donc indépendante de la variable temporelle t :

En dérivant l'expression de Z(\vec{r}\,', t) par rapport à t à \vec{r}\,' fixé, il vient :

Cette condition devant être vérifiée en tout point du sillage et à tout instant, on en déduit immédiatement la relation de Kelvin :

Le bateau, animé de la vitesse constante \vec{V} = V_0 \widehat{e}_x, passe en O à l'instant t = 0. À l'instant t, sa position B vérifie donc :

L'onde émise en O à t = 0 se propage radialement vers le point Q à la vitesse de phase v_\varphi = \omega/k. Le vecteur d'onde associé est colinéaire à la direction de propagation \overrightarrow{OQ} et de même sens :

D'après la relation de Kelvin établie à la question Q22, la stationnarité du sillage dans le référentiel du bateau impose :

En multipliant cette relation par la durée t, on obtient :

Or, d'une part \omega t = (k v_\varphi) t = k \, OQ, et d'autre part :

L'égalité de ces deux expressions conduit immédiatement à :

En décomposant \overrightarrow{QB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OQ}, on calcule enfin :

D'après le résultat de la question précédente, le triangle OQB est rectangle en Q :

Pendant la durée t écoulée depuis le passage de la source en O (t = 0) jusqu'à sa position en B (t) :

• la source s'est déplacée à la vitesse V, d'où la distance parcourue :

  OB = V t

• l'onde émise en O a progressé à la vitesse de phase v_\varphi, d'où la distance au front d'onde :

  OQ = v_\varphi t

Par définition, le demi-angle au sommet du sillage est \theta = \widehat{OBQ}, angle formé au niveau de la source B entre la trajectoire du navire et la ligne de crête du sillage (BQ). Dans le triangle OQB rectangle en Q, on a :

On en déduit directement l'expression de la vitesse de phase de l'onde :

La mesure expérimentale de l'angle d'ouverture du sillage \theta et de la vitesse de déplacement V de la source permet donc de déterminer la vitesse de phase v_\varphi.

1. Sens et vitesse de déplacement de l'éclipse

• Sens de déplacement : d'après les graduations temporelles indiquées sur la trajectoire (10:15 UT en haut à gauche, jusqu'à 10:40 UT plus à l'est), l'ombre de l'éclipse se déplace d'ouest-nord-ouest vers l'est-sud-est (globalement d'ouest en est), ce qui est matérialisé par le vecteur vitesse \vec{V}.

• Vitesse de déplacement V : Entre t_1 = 10\text{ h }15\text{ min} et t_2 = 10\text{ h }40\text{ min}, la durée écoulée est :

  \Delta t = 25\text{ min} = 1\,500\text{ s}

  Sur la carte, la distance parcourue par le centre de l'ombre pendant cette durée est d'environ \Delta L \approx 1\,000\text{ km} = 1{,}0\cdot 10^6\text{ m} (mesurée le long de la trajectoire entre les repères d'abscisse). On en déduit :

  V = \frac{\Delta L}{\Delta t} \approx \frac{1{,}0\cdot 10^6}{1\,500} \approx 670\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 7\cdot 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

  Commentaire : cette vitesse est en excellent accord avec la vitesse au sol de l'ombre estimée à la question 7 (v_{\text{sol}} \approx 600\text{ à }650\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} en tenant compte de la rotation de la Terre).

2. Vitesse de phase de l'onde générée Le sillage forme un cône de Mach en V. D'après la géométrie de la figure 5 (droite), pour une avancée longitudinale de \Delta x \approx 600\text{ km}, le demi-écartement transversal est de \Delta y \approx 300\text{ km}, ce qui correspond à un demi-angle au sommet :

En utilisant la relation établie à la question 24, v_\varphi = V\sin\theta :

3. Nature de l'onde

• La vitesse de phase obtenue (v_\varphi \approx 330\text{--}340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) coïncide remarquablement avec la vitesse du son dans l'air calculée à la question 15 (v_g \approx 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}).
• Elle est en revanche totalement incompatible avec la vitesse de phase des ondes de gravité de la question 20 (v \approx 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, qui donnerait un angle \theta \approx \arcsin(20/670) \approx 1{,}7^\circ, bien trop étroit pour correspondre au sillage observé).

Il s'agit donc d'une onde acoustique (ou onde de choc acoustique / onde infrasonore) générée par le déplacement supersonique du spot froid de l'éclipse (V \approx 2\,c_{\text{son}}, soit un nombre de Mach \mathcal{M} \approx 2).

L'atmosphère est modélisée au sol comme un gaz parfait à la température T_0 et sous la pression P_0. L'équation d'état des gaz parfaits s'écrit :

où N est le nombre total de molécules contenues dans le volume V. La densité particulaire n^* = N/V au niveau du sol vérifie donc :

Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

• P_0 = 1\text{ bar} = 1{,}0 \cdot 10^5\text{ Pa} ;
• k_{\mathrm{B}} = 1{,}4 \cdot 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} ;
• T_0 = 270\text{ K} ;

on obtient :

L'air étant au repos dans le champ de pesanteur \vec{g} = -g\widehat{e}_z, la loi de la statique des fluides s'écrit :

En modélisant l'air comme un gaz parfait isotherme à la température T_0, la masse volumique \rho(z) s'exprime en fonction de la densité particulaire n(z) et de la masse moyenne m_0 d'une molécule d'air :

En injectant cette relation dans l'équation de la statique des fluides, il vient :

Par intégration avec la condition au niveau du sol P(0) = P_0, on obtient :

Puisque k_{\mathrm{B}} = R/\mathcal{N}_{\mathrm{A}} et que la masse molaire de l'air vaut M = m_0 \mathcal{N}_{\mathrm{A}} = 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} (donnée de la question 15), la hauteur d'échelle H s'écrit également :

Avec R = 8{,}3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, T_0 = 270\text{ K}, M = 29 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

L'ordre de grandeur de H est ainsi :

D'après la loi barométrique obtenue à la question Q27, pour une atmosphère isotherme à température T_0, la densité particulaire totale de l'air n(z) = P(z)/(k_{\mathrm{B}}T_0) s'écrit en fonction de la densité au sol n^* (calculée en Q26) :

À l'altitude où la densité particulaire des ions est maximale, on a \exp(-z/H) \simeq 10^{-10}, d'où :

D'après l'introduction de la partie III, à cette altitude, environ une particule d'air sur 1\,000 est ionisée par le rayonnement solaire :

Numériquement :

Le champ électrique associé aux oscillations spontanées du plasma est de la forme :

où l'amplitude vectorielle \underline{E}_0\,\widehat{e}_x est uniforme dans l'espace (le milieu est supposé homogène et les électrons oscillent en bloc).

Calculons le rotationnel du champ électrique à l'aide de l'expression fournie en fin de sujet :

Puisque le champ électrique n'a de composante que selon \widehat{e}_x et que celle-ci ne dépend ni de y ni de z, il vient immédiatement :

D'après l'équation de Maxwell-Faraday :

Le champ magnétique \vec{B} ne dépend donc pas du temps :

On étudie un électron de charge q = -e et de masse m_e dans le référentiel d'étude supposé galiléen (lié aux ions immobiles). En négligeant le champ magnétique ainsi que le poids de l'électron devant la force électrique, la seconde loi de Newton s'écrit :

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, en notation complexe avec la convention adoptée \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, l'opérateur de dérivation temporelle devient \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \equiv \mathrm{i}\omega :

Les ions étant immobiles, seuls les électrons de densité volumique n_0 contribuent au courant électrique. La densité volumique de courant s'écrit :

En remplaçant l'expression de la vitesse, on obtient :

Cette relation est bien de la forme de la loi d'Ohm locale \vec{j} = \underline{\gamma}(\omega)\vec{E}, avec :

L'équation de Maxwell–Ampère locale s'écrit :

D'après la question Q29, le champ magnétique \vec{B} est négligé dans cette partie, ce qui implique \overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{B} = \vec{0}. L'équation de Maxwell–Ampère impose donc l'annulation de la densité de courant totale (courant de conduction et courant de déplacement) :

En adoptant la notation complexe avec une dépendance temporelle en \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, la dérivée temporelle se traduit par \frac{\partial}{\partial t} \rightarrow \mathrm{i}\omega. En utilisant l'expression de la loi d'Ohm locale obtenue à la question Q30, \vec{j} = \underline{\gamma}(\omega)\vec{E}, il vient :

Pour obtenir une oscillation spontanée non triviale du champ électrique et des électrons (\vec{E} \neq \vec{0} et \vec{v} \neq \vec{0}), le terme entre parenthèses doit s'annuler, soit :

On en déduit la pulsation propre des oscillations, notée \omega_p et appelée pulsation plasma :

D'après l'énoncé, la densité volumique des électrons dans la haute atmosphère vérifie en tout point :

La pulsation de plasma maximale correspondante vaut ainsi :

La fréquence maximale f_{p,\max} associée à ces oscillations de plasma est :

Numériquement, avec 2\pi \simeq 6{,}28 :

La densité électronique variant de n_0 \approx 0 à la base de l'ionosphère jusqu'à sa valeur maximale, le domaine de fréquence des oscillations de plasma s'étend donc de 0 à la valeur maximale :

L'équation (3) provient de l'application de la seconde loi de Newton à un électron de masse m_e et de charge -e dans le référentiel d'étude :

En adoptant la notation complexe à la pulsation \omega et en régime forcé, avec \vec{v} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \mathrm{i}\omega \vec{r}, soit \vec{r} = \frac{\vec{v}}{\mathrm{i}\omega}, on identifie l'origine de chaque terme :

• \mathrm{i} m_e \omega \vec{v} = m_e \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} : terme d'inertie (masse multipliée par l'accélération) ;
• -e \vec{E} : force d'interaction coulombienne, c'est-à-dire la force électrique exercée par l'onde électromagnétique sur l'électron ;
• -m_e \frac{\omega_0^2}{\mathrm{i} \omega} \vec{v} = -m_e \omega_0^2 \vec{r} : force de rappel élastique exercée par le reste de l'atome ou de la molécule sur l'électron optique lié (pulsation propre de résonance \omega_0) ;
• -\frac{m_e}{\tau} \vec{v} : force de frottement fluide phénoménologique modélisant l'amortissement du mouvement par collisions ou rayonnement.

Absence de terme lié au champ magnétique :

La force de Lorentz complète subie par l'électron comprend une composante magnétique \vec{F}_m = -e(\vec{v} \wedge \vec{B}). Pour une onde électromagnétique se propageant dans le milieu à la vitesse v_\varphi \sim c, la relation de structure donne B \sim E/c. Par conséquent :

car le mouvement des électrons est très largement non relativiste (v \ll c). La composante magnétique est donc tout à fait négligeable devant la composante électrique.

Signification physique de \tau :

La constante \tau est le temps de relaxation (ou temps libre moyen entre deux collisions successives subies par un électron). Elle caractérise l'échelle de temps nécessaire pour dissiper l'énergie cinétique acquise sous l'action de l'onde.

Particularité du modèle si \tau \to \infty :

Lorsque \tau \to \infty, la force de frottement s'annule : le milieu est modélisé comme un milieu sans collisions, non dissipatif (l'onde électromagnétique s'y propage sans absorption ni pertes d'énergie par effet Joule).

1. Caractère transverse des ondes :

Le milieu possède une densité volumique de charge nulle (\rho = 0). D'après l'équation de Maxwell-Gauss et l'équation de conservation du flux magnétique :

Pour une onde plane progressive harmonique où les champs dépendent de l'espace par le facteur \exp\left[\mathrm{i}\left(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}\right)\right], l'opérateur divergence se traduit par -\mathrm{i}\vec{k}\cdot :

De plus, l'équation de Maxwell-Faraday donne :

Les champs \vec{E} et \vec{B} sont donc tous deux orthogonaux au vecteur d'onde \vec{k} : l'onde électromagnétique est transverse (à la fois transverse électrique et transverse magnétique).

2. Relation constitutive du milieu :

Dans l'approximation non collisionnelle (\tau \to \infty), l'équation dynamique (3) s'écrit :

D'où l'expression du champ de vitesse des électrons :

La densité volumique de courant associée est alors :

En introduisant la pulsation de plasma \omega_p^2 = \frac{n_0 e^2}{\varepsilon_0 m_e} définie à la question Q31 :

3. Équation de dispersion :

Injectons \vec{B} = \frac{\vec{k}\wedge\vec{E}}{\omega} dans l'équation de Maxwell-Ampère :

Le membre de gauche s'écrit, compte tenu de \vec{k}\cdot\vec{E}=0 :

Le membre de droite s'exprime, sachant que \mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2 :

En identifiant les deux termes pour une amplitude non nulle \vec{E} \neq \vec{0}, on obtient :

D'après la question Q34, l'équation de dispersion en l'absence d'amortissement (\tau \to \infty) s'écrit :

Par définition de l'indice optique N, la vitesse de phase est v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{c}{N}, ce qui donne :

Sous la condition \omega \ll \omega_0, effectuons un développement limité au second ordre en \omega/\omega_0 (le terme d'ordre 1 étant nul par parité) :

Par ailleurs, la condition \omega_p \ll \omega \ll \omega_0 implique \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2} \ll 1. On peut alors développer la racine carrée (1+u)^{1/2} = 1 + \frac{u}{2} + o(u) :

On obtient ainsi :

Remarque : Sans faire l'approximation \omega_p \ll \omega_0, le développement en \omega au premier ordre non nul s'écrit de façon équivalente N(\omega) \simeq \sqrt{1 + \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2}}\left(1 + \frac{\omega_p^2 \omega^2}{2\omega_0^2(\omega_0^2 + \omega_p^2)}\right).

Commentaires sur le résultat obtenu :

• Loi de Cauchy : En reliant la pulsation à la longueur d'onde dans le vide \lambda = \frac{2\pi c}{\omega}, l'indice se met sous la forme :

  N(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} \quad \text{avec} \quad A = 1 + \frac{\omega_p^2}{2\omega_0^2} > 1 \quad \text{et} \quad B = \frac{2\pi^2 c^2 \omega_p^2}{\omega_0^4} > 0

  Le modèle de l'électron élastiquement lié permet ainsi de retrouver théoriquement la loi phénoménologique de Cauchy pour les milieux transparents.

• Dispersion normale : Comme B > 0, l'indice N augmente avec la fréquence \omega (ou diminue quand \lambda augmente : \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}\lambda} < 0). La lumière bleue est donc davantage réfractée que la lumière rouge dans la basse atmosphère.
• Ordre de grandeur : Comme \omega_p \ll \omega_0, l'indice N est supérieur à 1 mais reste extrêmement proche de 1, ce qui est conforme à la valeur de l'indice de réfraction de l'air (N_{\text{air}} \simeq 1{,}0003).

En posant \omega_0 = 0 dans l'équation de dispersion établie à la question Q34, on obtient immédiatement l'équation de dispersion d'un plasma non magnétisé et sans collisions :

soit sous la forme canonique :

• Domaine de transparence : Le milieu est transparent si l'onde se propage sans atténuation, ce qui correspond à un vecteur d'onde k réel non nul, soit k^2 > 0. Cela impose :

  \omega^2 > \omega_p^2 \iff \omega > \omega_p

  En termes de fréquence f = \omega / (2\pi), le domaine de transparence est donc :

  \boxed{f > f_p = \frac{\omega_p}{2\pi}}

  Pour f < f_p, k^2 < 0 : le vecteur d'onde est imaginaire pur (k = -\mathrm{i}\alpha), l'onde est évanescente et le milieu est opaque (réflexion totale).

• Caractère dispersif : Dans le domaine de transparence, la vitesse de phase s'écrit :

  v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{c}{\sqrt{1 - \dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}}}

  La vitesse de phase dépend explicitement de la pulsation \omega (ou de façon équivalente, la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = c \sqrt{1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}} \neq v_\varphi). La propagation est donc dispersive.

1. Expression des champs magnétiques

Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant selon un vecteur d'onde \vec{k}, l'équation de Maxwell-Faraday \vec{\nabla}\wedge\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} conduit à la relation :

• Pour l'onde incidente, \vec{k}_i = \frac{\omega}{c}\widehat{e}_z et \vec{E}_i = E_0 \exp\left[\mathrm{i}\omega\left(t - \frac{z}{c}\right)\right]\widehat{e}_x :

  \boxed{\vec{B}_i = \frac{E_0}{c} \exp\left[\mathrm{i}\omega\left(t - \frac{z}{c}\right)\right]\widehat{e}_y}

• Pour l'onde réfléchie, \vec{k}_r = -\frac{\omega}{c}\widehat{e}_z et \vec{E}_r = \underline{\rho} E_0 \exp\left[\mathrm{i}\omega\left(t + \frac{z}{c}\right)\right]\widehat{e}_x :

  \boxed{\vec{B}_r = -\frac{\underline{\rho} E_0}{c} \exp\left[\mathrm{i}\omega\left(t + \frac{z}{c}\right)\right]\widehat{e}_y}

• Pour l'onde transmise, \vec{k}_t = k\widehat{e}_z et \vec{E}_t = \underline{\beta} E_0 \exp[\mathrm{i}(\omega t - kz)]\widehat{e}_x :

  \boxed{\vec{B}_t = \frac{k\underline{\beta} E_0}{\omega} \exp[\mathrm{i}(\omega t - kz)]\widehat{e}_y}

2. Détermination du coefficient de réflexion \underline{\rho}

En l'absence de charges ou de courants superficiels en z = 0, les composantes tangentielles \vec{E}\cdot\widehat{e}_x et \vec{B}\cdot\widehat{e}_y sont continues à l'interface pour tout t :

En substituant \underline{\beta} = 1 + \underline{\rho} dans la seconde relation :

D'où l'expression de \underline{\rho} en fonction de \omega, c et k :

3. Expression en fonction de \omega et \omega_p

La relation de dispersion dans l'ionosphère est k^2 c^2 = \omega^2 - \omega_p^2. Deux situations physiques se présentent :

• Si \omega > \omega_p (milieu transparent), l'onde transmise est propagative vers les z > 0, donc kc = \sqrt{\omega^2 - \omega_p^2} > 0 :

  \boxed{\underline{\rho} = \frac{\omega - \sqrt{\omega^2 - \omega_p^2}}{\omega + \sqrt{\omega^2 - \omega_p^2}}}

• Si \omega < \omega_p (milieu réactif), l'onde est évanescente dans l'ionosphère (z > 0). Pour assurer la décroissance physique du champ quand z \to +\infty, le terme spatial \exp(-\mathrm{i}kz) impose d'adopter la racine kc = -\mathrm{i}\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} :

  \boxed{\underline{\rho} = \frac{\omega + \mathrm{i}\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}}{\omega - \mathrm{i}\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}}}

1. Signification physique de la grandeur R

Le vecteur de Poynting moyen associé à l'onde incidente dans le vide (z < 0) est :

De même, pour l'onde réfléchie se propageant selon -\widehat{e}_z :

La grandeur R = |\underline{\rho}|^2 représente ainsi le facteur de réflexion énergétique (ou coefficient de réflexion en puissance) : c'est le rapport entre le flux de puissance électromagnétique moyen réfléchi et le flux de puissance moyen incident à travers le plan z = 0.

2. Allure qualitative de la courbe \omega \mapsto R(\omega)

D'après les résultats de la question Q37 :

• Pour \omega \leqslant \omega_p, le vecteur d'onde dans le plasma est imaginaire pur (kc = -\mathrm{i}\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}), d'où :

  \underline{\rho} = \frac{\omega + \mathrm{i}\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}}{\omega - \mathrm{i}\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}} \implies |\underline{\rho}| = 1 \implies R(\omega) = 1

  Il y a réflexion totale : l'onde est évanescente dans l'ionosphère et aucune puissance moyenne n'y pénètre.

• Pour \omega > \omega_p, kc = \sqrt{\omega^2 - \omega_p^2} est réel, donc \underline{\rho} est réel :

  R(\omega) = \left( \frac{\omega - \sqrt{\omega^2 - \omega_p^2}}{\omega + \sqrt{\omega^2 - \omega_p^2}} \right)^2

  Pour \omega = \omega_p, R(\omega_p) = 1. Lorsque \omega \gg \omega_p, \sqrt{\omega^2 - \omega_p^2} \simeq \omega \left(1 - \frac{\omega_p^2}{2\omega^2}\right), ce qui conduit à \underline{\rho} \simeq \frac{\omega_p^2}{4\omega^2} \to 0, d'où R(\omega) \to 0. La fonction R(\omega) décroît de façon monotone de 1 à 0.

3. Condition d'observation d'un écho ionosphérique

On observe un écho ionosphérique franc et de forte intensité lorsque l'onde est totalement réfléchie par la couche ionisée, c'est-à-dire dans le domaine des pulsations inférieures à la pulsation de coupure du plasma :

La basse atmosphère étant assimilée au vide, l'onde s'y propage à la vitesse c. Pour atteindre la surface de réflexion située à l'altitude h et revenir au sol, le signal parcourt un trajet aller-retour de distance 2h. La durée de ce parcours vaut :

Pour que la mesure de la durée séparant l'émission et la réception permette de déterminer précisément l'altitude h, le choix de la durée \Delta t de l'impulsion doit satisfaire un double critère :

• Résolution temporelle et séparation des signaux (borne supérieure) : L'écho ne doit pas se superposer au signal émis afin d'éviter tout chevauchement (ce qui permet notamment d'utiliser la même antenne en émission et en réception) et pour garantir une incertitude spatiale sur l'altitude \delta h \sim \frac{c\,\Delta t}{2} petite devant h. Il faut donc :

  \Delta t \ll \tau = \frac{2h}{c}

• Définition spectrale de la pulsation de sonde (borne inférieure) : La réflexion à l'altitude h repose sur la condition de coupure locale \omega = \omega_p(h) (d'après les questions Q36 à Q38). Pour que le signal sonde sélectivement cette altitude, sa largeur spectrale \Delta\omega \sim \frac{1}{\Delta t} doit être très faible devant \omega, ce qui implique que l'impulsion contienne un grand nombre d'oscillations de la porteuse :

  \Delta t \gg T = \frac{2\pi}{\omega}

En synthèse, la durée de l'impulsion \Delta t doit respecter l'encadrement :

Application numérique : Pour une altitude ionosphérique typique h \sim 100\text{ km}, le temps de vol vaut :

Pour des ondes radio du domaine HF de fréquence f \sim 5\text{ MHz} (compatible avec la fréquence de plasma maximale f_{p,\max} \simeq 8{,}9\text{ MHz} trouvée à la question Q32), la période propre de l'onde vaut T = 1/f \simeq 0{,}2\ \mu\text{s}.

Une valeur de \Delta t de l'ordre de 10\text{ à }100\ \mu\text{s} satisfait idéalement ce compromis.