Corrigé détaillé X ENS Physique MPI 2025 (page 2/2 : Partie II (questions 20 à 37))

L'énoncé précise que l'onde électromagnétique recherchée est transverse de chaque côté de l'interface (ce qui découle de \operatorname{div}\vec{E} = 0 en l'absence de charges volumiques, tant dans le vide que dans le métal).

On a donc, dans chacun des deux milieux :

Avec \vec{k} = k_x \vec{u}_x + k_z \vec{u}_z et \vec{E} = E_x \vec{u}_x + E_z \vec{u}_z, cette relation s'écrit :

Comme k_z \neq 0, on en déduit directement la relation valable aussi bien dans le vide (indice 1) que dans le métal (indice 2) :

Soit, en distinguant explicitement les deux milieux :

L'équation de Maxwell-Faraday \vec{\nabla}\times\vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} est valable universellement, aussi bien dans le vide (milieu 1) que dans le métal (milieu 2). Pour une onde plane monochromatique de pulsation \omega et de vecteur d'onde \vec{k}, elle conduit à la structure d'onde :

Avec \vec{k} = k_x \vec{u}_x + k_z \vec{u}_z et \vec{E} = E_x \vec{u}_x + E_z \vec{u}_z, le calcul du produit vectoriel donne :

D'où l'amplitude du champ magnétique selon y :

D'après la relation de transversalité obtenue à la question Q20, on a E_z = -\dfrac{k_x}{k_z} E_x. En substituant E_z dans cette expression :

Cette relation s'applique de façon identique dans le vide et dans le métal :

soit, en distinguant explicitement les deux milieux :

D'après le résultat de la question Q21, l'amplitude complexe B_y s'écrit :

avec k^2 = \|\vec{k}\|^2 = k_x^2 + k_z^2.

1. Dans le vide (milieu 1) :

La relation de dispersion des ondes électromagnétiques dans le vide est :

En injectant cette relation dans l'expression de B_y, on obtient :

2. Dans le métal (milieu 2) :

D'après la relation de dispersion établie à la question Q18 pour le métal modélisé comme un plasma :

En substituant k^2, il vient :

La seule composante de \vec{E} parallèle à l'interface z = 0 est la composante suivant l'axe x. En z = 0, le champ électrique s'écrit de chaque côté sous la forme d'une onde plane monochromatique :

La continuité de la composante tangentielle du champ électrique impose :

Comme les amplitudes E_{x1} et E_{x2} sont non nulles, cette égalité doit être vérifiée pour tout t et pour tout x. En dérivant successivement par rapport à t puis par rapport à x, on obtient :

• l'invariance temporelle exige l'égalité des pulsations : \omega_1 = \omega_2 = \omega ;
• l'invariance par translation le long de l'interface (selon x) exige l'égalité des composantes tangentielles du vecteur d'onde : k_{x1} = k_{x2} = k_x.

On en déduit également la continuité des amplitudes complexes : E_{x1} = E_{x2} = E_x.

Considérons un cylindre fermé élémentaire de base \mathrm{d}S parallèle à l'interface, de hauteur 2\eta, s'étendant entre z = -\eta (dans le métal) et z = +\eta (dans le vide).

La charge totale contenue dans ce volume s'écrit, à la limite \eta \to 0 où les charges volumiques ne contribuent plus face à l'accumulation surfacique :

D'après le principe de conservation de la charge, la variation temporelle de cette charge est égale au flux entrant de la densité volumique de courant \vec{j} à travers la surface fermée délimitant le cylindre :

Évaluons ce flux lorsque l'épaisseur 2\eta \to 0 :

• la surface latérale a une aire d'ordre \eta, son flux tend vers zéro ;
• sur la face supérieure (z = +\eta dans le vide), le courant volumique est nul : \vec{j}_1 = \vec{0} ;

• sur la face inférieure (z = -\eta dans le métal), le vecteur surface sortant est -\vec{u}_z\,\mathrm{d}S, de sorte que le flux sortant vaut :

  \vec{j}(0^-)\cdot (-\vec{u}_z\,\mathrm{d}S) = - j_z\,\mathrm{d}S

Le bilan de charge s'écrit ainsi :

On en déduit bien :

où j_z est la composante normale de la densité de courant dans le métal en z = 0^-.

Dans le métal (milieu 2, z < 0), la loi d'Ohm locale s'écrit en notation complexe :

Au voisinage immédiat de l'interface (z = 0^-), la composante suivant z de la densité de courant a donc pour amplitude complexe :

Avec la dépendance temporelle en \mathrm{e}^{i\omega t} adoptée à la question 17, l'opérateur de dérivation temporelle devient \frac{\partial}{\partial t} \to i\omega. L'équation de continuité obtenue à la question 24, \frac{\partial \sigma}{\partial t} = j_z, se traduit donc sur les amplitudes complexes par :

D'après la question 17, la conductivité complexe du plasma d'électrons s'écrit \gamma = \dfrac{N e^2}{i m \omega}. En reportant cette expression, on obtient :

En utilisant l'expression de la pulsation plasma \omega_p = \sqrt{\dfrac{N e^2}{m \epsilon_0}} établie à la question 3, soit \dfrac{N e^2}{m} = \epsilon_0 \omega_p^2, on aboutit à :

L'interface est située en z=0, le métal occupant le demi-espace z < 0 (milieu 2) et le vide le demi-espace z > 0 (milieu 1). Le vecteur normal unitaire dirigé du milieu 2 vers le milieu 1 est \vec{u}_z.

D'après les lois de l'électrostatique (théorème de Gauss sous forme locale ou relation de passage à une interface chargée de densité surfacique \sigma), la discontinuité de la composante normale du champ électrique s'écrit :

ce qui donne directement :

D'après le résultat de la question Q25, l'amplitude complexe de la densité surfacique de charge est :

En injectant cette expression dans la relation de passage :

On en déduit l'expression du rapport des composantes normales :

D'après le résultat de la question 20, la composante suivant z du champ électrique s'écrit de chaque côté de l'interface :

D'après la question 23, la pulsation \omega, la composante tangentielle du vecteur d'onde et la composante tangentielle du champ électrique sont continues à travers l'interface z = 0 :

On en déduit immédiatement le rapport des composantes normales :

En utilisant le rapport déterminé à la question 26, à savoir \dfrac{E_{z1}}{E_{z2}} = 1 - \dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}, on obtient :

D'après la question 22, les amplitudes complexes du champ magnétique s'écrivent :

À l'interface z = 0, la continuité de la composante tangentielle du champ électrique (question 23) impose :

En supposant de plus que la composante B_y est continue en z = 0, soit B_{y1} = B_{y2}, il vient :

En simplifiant par la quantité non nulle \dfrac{\omega}{c^2} E_{x1}, on obtient :

soit immédiatement :

On retrouve bien l'expression obtenue à la question 27.

Rappelons les trois équations du problème en fonction de \epsilon = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} :

• Relation de dispersion de l'onde plane dans le vide (milieu 1) :

  k_x^2 + k_{z1}^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \tag{1}

• Relation de dispersion dans le métal (milieu 2, d'après la question Q18) :

  k_x^2 + k_{z2}^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2} = \left(1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}\right)\frac{\omega^2}{c^2} = \epsilon\,\frac{\omega^2}{c^2} \tag{2}

• Relation de continuité à l'interface (d'après les questions Q27 et Q28) :

  k_{z2} = \epsilon\,k_{z1} \tag{3}

1. Élimination de \omega :

En multipliant l'équation (1) par \epsilon, on exprime la quantité \epsilon\,\frac{\omega^2}{c^2} sous deux formes grâce à l'équation (2) :

2. Élimination de k_{z2} :

En élevant au carré la relation (3), il vient k_{z2}^2 = \epsilon^2 k_{z1}^2. En substituant dans l'égalité précédente, on obtient :

Regroupons les termes en k_{z1}^2 et en k_x^2 :

Comme le métal possède une pulsation plasma non nulle (\omega_p \neq 0), on a \epsilon \neq 1, soit 1 - \epsilon \neq 0. On peut donc simplifier par (1 - \epsilon) :

Pour \epsilon \neq 0 (\omega \neq \omega_p), on en déduit la relation demandée :

3. Relation entre k_{z2} et k_x :

En utilisant à nouveau k_{z2} = \epsilon\,k_{z1}, on a :

soit :

1. Vecteur d'onde de l'onde réfléchie
D'après les lois de Snell-Descartes pour la réflexion à l'interface plane z = 0, la composante tangentielle du vecteur d'onde est conservée (k_{xr} = k_x), tandis que la composante normale change de signe tout en conservant sa norme (k_{zr} = -k_{z1} > 0, puisque k_{z1} < 0). Le vecteur d'onde réfléchi s'écrit donc :

2. Orthogonalité des vecteurs d'onde transmis et réfléchi
Le vecteur d'onde de l'onde transmise dans le métal (z < 0) est :

D'après le résultat de la question Q27, on a k_{z2} = \epsilon k_{z1}. Le produit scalaire entre \vec{k}_r et \vec{k}_t vaut :

Or, d'après la relation obtenue à la question Q29, k_{z1}^2 = \frac{1}{\epsilon} k_x^2, soit k_x^2 = \epsilon k_{z1}^2. On en déduit immédiatement :

Les vecteurs d'onde transmis \vec{k}_t et réfléchi \vec{k}_r sont donc rigoureusement orthogonaux :

3. Représentation graphique
La configuration correspond à l'angle de Brewster en polarisation TM (ou polarisation p) :

Une telle onde, se propageant parallèlement à l'interface tout en étant amortie exponentiellement sans oscillation dans la direction normale, est qualifiée d'onde évanescente (ou onde guidée de surface).

D'après la forme de l'onde plane adoptée à la question 23, la dépendance spatio-temporelle des champs s'écrit sous la forme :

En décomposant k_z en parties réelle et imaginaire, k_z = \operatorname{Re}(k_z) + i \operatorname{Im}(k_z), la dépendance selon la coordonnée z s'exprime par :

• L'onde se propageant uniquement dans la direction x, il n'y a aucun transport ondulatoire suivant z. Le facteur de phase ne doit donc pas dépendre de z, ce qui impose une composante de propagation nulle selon z :

  \operatorname{Re}(k_{z1}) = 0 \quad \text{et} \quad \operatorname{Re}(k_{z2}) = 0

  Les composantes k_{z1} et k_{z2} sont donc purement imaginaires.

• Dans le vide (z > 0), l'amplitude du champ doit décroître lorsque z \to +\infty afin de rester bornée à l'infini. Le terme exponentiel \mathrm{e}^{\operatorname{Im}(k_{z1}) z} doit tendre vers 0 quand z \to +\infty, d'où :

  \operatorname{Im}(k_{z1}) < 0

  On peut donc poser k_{z1} = -i\kappa_1 avec \kappa_1 > 0, de sorte que l'amortissement soit en \mathrm{e}^{-\kappa_1 z}.

• Dans le métal (z < 0), l'amplitude du champ doit décroître lorsque z \to -\infty. Le terme exponentiel \mathrm{e}^{\operatorname{Im}(k_{z2}) z} doit tendre vers 0 quand z \to -\infty, ce qui impose :

  \operatorname{Im}(k_{z2}) > 0

  On peut poser k_{z2} = +i\kappa_2 avec \kappa_2 > 0, de sorte que l'amortissement soit en \mathrm{e}^{+\kappa_2 z} = \mathrm{e}^{-\kappa_2 |z|}.

Pour que l'onde soit un plasmon de surface, l'amplitude doit décroître exponentiellement en s'éloignant de l'interface z = 0 :

• dans le vide (z > 0), l'amplitude varie en \mathrm{e}^{-\kappa_1 z} avec \kappa_1 > 0 ;
• dans le métal (z < 0), l'amplitude varie en \mathrm{e}^{+\kappa_2 z} avec \kappa_2 > 0.

Comme établi à la question Q31, les composantes k_{z1} et k_{z2} sont purement imaginaires avec des parties imaginaires de signes opposés. Leur rapport est donc un nombre réel strictement négatif :

Or, d'après les relations obtenues aux questions Q27 et Q28 :

Il en résulte nécessairement :

Comme les pulsations sont positives, on obtient la condition requise :

Remarque (autre méthode) : On parvient à la même conclusion à partir de la relation établie à la question Q29 :

Puisque le plasmon se propage suivant l'axe x, la composante k_x est réelle et non nulle (k_x^2 > 0). L'onde étant évanescente selon l'axe z, k_{z1} est imaginaire pur non nul (k_{z1}^2 = -\kappa_1^2 < 0). On en déduit immédiatement :

La relation de dispersion pour une onde électromagnétique se propageant dans le vide (z > 0) s'écrit :

D'après la question 29, on a k_{z1}^2 = \frac{1}{\epsilon}k_x^2. En injectant cette relation dans l'équation de dispersion, il vient :

On en déduit l'expression de k_x^2 :

Pour qu'un plasmon de surface existe :

• L'onde se propage selon l'axe x, ce qui impose k_x \in \mathbb{R}^*, soit k_x^2 > 0.
• L'onde est évanescente selon l'axe z des deux côtés de l'interface (question 31), ce qui impose k_{z1}^2 < 0 et k_{z2}^2 < 0.

Puisque k_{z1}^2 = \frac{k_x^2}{\epsilon} < 0 avec k_x^2 > 0, on doit impérativement avoir :

De plus, la condition k_x^2 > 0 impose que le quotient \frac{\epsilon}{\epsilon + 1} soit strictement positif. Le numérateur \epsilon étant négatif, le dénominateur doit également l'être :

En remplaçant \epsilon par sa définition \epsilon = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}, cette inégalité devient :

Le plasmon de surface peut donc exister pour toute pulsation \omega < \omega_{sp}, avec :

D'après la question Q33, pour \omega < \omega_{sp} = \frac{\omega_p}{\sqrt{2}}, on a \epsilon = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} < -1, d'où :

Étudions les deux limites de cette fonction k_x(\omega) strictement croissante sur [0, \omega_{sp}[ :

• Pour \omega \ll \omega_{sp} :

  k_x \sim \frac{\omega}{c} \quad \implies \quad \omega \sim c k_x

  La courbe est tangente par le bas à la droite de dispersion de la lumière dans le vide (« ligne de lumière » \omega = c k_x).

• Pour \omega \to \omega_{sp}^- : le dénominateur tend vers 0^+, donc k_x \to +\infty. La courbe présente une asymptote horizontale en \omega = \omega_{sp}.

Puisque \frac{\omega_p^2 - \omega^2}{\omega_p^2 - 2\omega^2} > 1 pour tout \omega \in ]0, \omega_{sp}[, on a constamment k_x > \frac{\omega}{c} : la courbe \omega(k_x) est toujours située sous la droite de lumière.

La vitesse de groupe est donnée par la pente de la courbe de dispersion :

• Dans la limite \omega \ll \omega_{sp}, comme \omega \sim c k_x, la pente est celle de la droite de lumière :

  \boxed{\lim_{\omega \ll \omega_{sp}} v_g = c}

• Dans la limite \omega \to \omega_{sp}, k_x \to +\infty tandis que \omega sature à la valeur finie \omega_{sp} : la tangente devient horizontale, donc \frac{\mathrm{d}k_x}{\mathrm{d}\omega} \to +\infty, d'où :

  \boxed{\lim_{\omega \to \omega_{sp}} v_g = 0}

Pour le plasmon de surface (\omega < \omega_{sp}), la permittivité est strictement inférieure à -1, soit \epsilon = -|\epsilon| < -1. Les composantes normales sont purement imaginaires : k_{z1} = -i\kappa_1 et k_{z2} = i\kappa_2 avec \kappa_1 > 0 et \kappa_2 > 0. Les amplitudes décroissent en \mathrm{e}^{-\kappa_1 z} dans le vide (z > 0) et en \mathrm{e}^{\kappa_2 z} dans le métal (z < 0).

Les longueurs caractéristiques de décroissance (ou profondeurs de pénétration) sont définies par :

D'après la question 29, k_{z1}^2 = \frac{k_x^2}{\epsilon} = -\frac{k_x^2}{|\epsilon|} et k_{z2}^2 = \epsilon k_x^2 = -|\epsilon| k_x^2, ce qui donne :

Comparaison entre \delta_1 et \delta_2 : Le rapport des longueurs de décroissance vaut :

Puisque le plasmon n'existe que pour \omega < \omega_{sp} = \omega_p/\sqrt{2}, on a constamment |\epsilon| > 1, d'où :

L'onde s'étend toujours plus profondément dans le vide que dans le métal.

Comparaison avec la longueur d'onde : En notant \lambda_x = \frac{2\pi}{k_x} la longueur d'onde guidée selon l'axe x, on a :

En utilisant l'expression de k_x^2 = \frac{|\epsilon|}{|\epsilon|-1}\frac{\omega^2}{c^2} (question 33), on exprime également :

Limite basse fréquence \omega \ll \omega_{sp} : Dans cette limite, |\epsilon| \approx \frac{\omega_p^2}{\omega^2} \gg 1 et k_x \approx \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda_0} (où \lambda_0 est la longueur d'onde dans le vide) :

Dans le vide, l'onde est quasi-plane et rase la surface sans décroissance notable sur une longueur d'onde (\delta_1 \gg \lambda_x). Dans le métal, le champ pénètre sur la profondeur de peau plasma \delta_p = c/\omega_p, très petite devant la longueur d'onde. On a donc la hiérarchie :

Limite à la résonance \omega \to \omega_{sp} : Dans cette limite, |\epsilon| \to 1^+, ce qui entraîne k_x \to +\infty et \lambda_x \to 0 :

On a donc :

Les deux longueurs de décroissance deviennent comparables entre elles et à la longueur d'onde \lambda_x (très raccourcie) : l'onde est extrêmement confinée au voisinage immédiat de l'interface z = 0.

Dans le cadre de la convention temporelle en \mathrm{e}^{i\omega t} adoptée depuis la question 17, le champ électrique complexe associé à l'onde plane s'écrit sous la forme générale :

Par continuité de la composante tangentielle en z=0 (question 23), choisissons l'origine des phases telle que l'amplitude commune soit réelle : \underline{E}_{x1}(0) = \underline{E}_{x2}(0) = E_0 \in \mathbb{R}^+.

Rappelons que \epsilon = 1 - \omega_p^2/\omega^2 < 0, de sorte que |\epsilon| = -\epsilon. D'après les questions 29 et 31 :

1. Dans le vide (z > 0) :

• Le facteur spatial suivant z est \mathrm{e}^{-i k_{z1} z} = \mathrm{e}^{-\kappa_1 z}.

• La relation de transversalité (question 20) donne :

  \underline{E}_{z1} = -\frac{k_x}{k_{z1}} \underline{E}_{x1} = -\frac{k_x}{-i\kappa_1} E_0 = -i \frac{k_x}{\kappa_1} E_0 = -i\sqrt{|\epsilon|}\, E_0

• Les composantes complexes du champ électrique sont donc :

  \begin{aligned} \underline{E}_{x1}(x,z,t) &= E_0 \, \mathrm{e}^{-\kappa_1 z} \, \mathrm{e}^{i(\omega t - k_x x)} \\ \underline{E}_{z1}(x,z,t) &= -i \sqrt{|\epsilon|}\, E_0 \, \mathrm{e}^{-\kappa_1 z} \, \mathrm{e}^{i(\omega t - k_x x)} \end{aligned}

En prenant la partie réelle (avec \operatorname{Re}[-i\mathrm{e}^{i\phi}] = \sin\phi) :

2. Dans le métal (z < 0) :

• Le facteur spatial suivant z est \mathrm{e}^{-i k_{z2} z} = \mathrm{e}^{+\kappa_2 z}.

• La relation de transversalité donne :

  \underline{E}_{z2} = -\frac{k_x}{k_{z2}} \underline{E}_{x2} = -\frac{k_x}{+i\kappa_2} E_0 = i \frac{k_x}{\kappa_2} E_0 = i \frac{E_0}{\sqrt{|\epsilon|}}

• Les composantes complexes s'écrivent :

  \begin{aligned} \underline{E}_{x2}(x,z,t) &= E_0 \, \mathrm{e}^{\kappa_2 z} \, \mathrm{e}^{i(\omega t - k_x x)} \\ \underline{E}_{z2}(x,z,t) &= i \frac{E_0}{\sqrt{|\epsilon|}} \, \mathrm{e}^{\kappa_2 z} \, \mathrm{e}^{i(\omega t - k_x x)} \end{aligned}

En prenant la partie réelle (avec \operatorname{Re}[i\mathrm{e}^{i\phi}] = -\sin\phi) :

Une ligne de champ est en tout point tangente au vecteur champ électrique \vec{E}. Dans le plan (x,z), son inclinaison (ou pente locale) est donnée par :

1. Dans le vide (z > 0) : D'après les composantes obtenues à la question Q36 :

Le facteur d'atténuation \mathrm{e}^{-\kappa_1 z} se simplifie : l'inclinaison ne dépend que de x et t, elle est donc strictement indépendante de z.

2. Dans le métal (z < 0) : De même, à partir des composantes de la question Q36 :

Le facteur \mathrm{e}^{\kappa_2 z} se simplifie également : l'inclinaison est également strictement indépendante de z.

3. Tracé des lignes de champ à un instant t fixé : Fixons arbitrairement t = 0.

• À l'interface z = 0, la densité surfacique de charge vaut :

  \sigma(x,0) = \epsilon_0 \bigl(E_{z1}(x,0,0) - E_{z2}(x,0,0)\bigr) = -\epsilon_0 E_0 \left(\sqrt{|\epsilon|} + \frac{1}{\sqrt{|\epsilon|}}\right) \sin(k_x x)

  Elle est positive là où \sin(k_x x) < 0 et négative là où \sin(k_x x) > 0.

• Les composantes normales E_{z1} et E_{z2} ont des signes opposés : les lignes de champ partent des charges positives de l'interface en s'éloignant de part et d'autre vers le vide (z > 0) et le métal (z < 0), puis s'incurvent pour converger vers les charges négatives de l'interface.
• L'amplitude du champ décroît exponentiellement dès que l'on s'éloigne de l'interface |z| \to \infty.